Исследование влияния параметров короткого импульса на интенсивность оптического предвестника

С появлением Ti:Sa лазеров стала возможна генерация импульсов длительностью менее десятка фемтосекунд, содержащих всего несколько колебаний светового поля [1, 2]. На данный момент такие ультракороткие импульсы (УКИ) получили широкое применение в волоконной оптике [3], микроскопии [4, 5], прецизионной обработке материалов [6, 7] и медицине. Фемтосекундные импульсы применяют для генерации ультрафиолетового света [9] и аттосекундных импульсов [10–13], в качестве «оптических пуль» [14].

Одним из фундаментальных свойств прямоугольных импульсов, распространяющихся в среде с частотной дисперсией, является феномен распространения волнового фронта в среде со скоростью света в вакууме. Данное явление было названо оптическим предвестником и предсказано Зоммерфельдом и Бриллюэном в 1914 году [15, 16]. Рассмотрев распространение синусоидального сигнала, умноженного на функцию Хевисайда, в среде с одним резонансом Лорентца, с помощью асимптотического метода седловой точки они показали, что в точку наблюдения последовательно придут: высокочастотный предвестник (предвестник Зоммерфельда – ПЗ), распространяющийся со скоростью света в вакууме; низкочастотный предвестник (предвестник Бриллюэна – ПБ) – с фазовой скоростью; несущий импульс (НИ) – с групповой скоростью. В [17] измерили скорость распространения в дисперсионной среде переднего фронта короткого импульса, которая отличалась от скорости света всего на 0,01%.

Как правило, исследование параметров и характеристик оптических предвестников проводится в однополюсных средах (средах с одним резонансом) [18– 21]. В [18] рассматривался 1D (FD)2TD-метод (FDTD-метод, обобщённый на случай частотной дисперсии) и моделировались предвестники в однополюсной среде Лорентца. В [19] моделировались предвестники в промежуточном спектральном режиме: несущая частота импульса не была равна частоте резонанса и не была много меньше его, как в [18]. В [20–21] предвестники исследуются аналитически также для однополюсной среды Лорентца. Показано, что амплитуда

ПЗ описывается функцией Бесселя первого порядка, а ПБ – функцией Эйри.

В работе [22] численное моделировании распространения фемтосекундного импульса с резким передним фронтом в планарном волноводе из материала, частотная дисперсия которого описывается на базе модели Селлмейера [23] с тремя резонансами, показало наличие разделённых во времени предвестников Зом-мерфельда и Бриллюэна, интенсивность которых в 100 раз меньше интенсивности основного импульса, а среднеквадратическое отклонение (СКО) времени появления предвестников, полученного с помощью теоретических формул, от времени, полученного при моделировании, составило для ПЗ и ПБ 20% и 3%.

В данной работе моделируется распространение ПЗ и ПБ в 2D волноводе из кварцевого стекла, модель которого также описывается трёхполюсной моделью Селлмейера. Авторами проведено численное исследование зависимости формы оптического предвестника и его количественных характеристик от параметров входного излучения: длительности, несущей частоты, формы. Показано, что возможно увеличить интенсивность оптического предвестника вплоть до того, что его интенсивность станет величиной одного порядка с интенсивностью несущего импульса.

Распространение импульса в волноводе из кварцевого стекла

Проведём моделирование процесса прохождения ультракороткого импульса света внутри планарного волновода из кварцевого стекла с оболочкой из идеально отражающего материала ( n=100 ) шириной l x и длиной l z . Для учёта зависимости диэлектрической проницаемости от частоты излучения воспользуемся моделью Селлмейера [23]:

ё ( x , z , to ) = 1 + £

m

^Аё m ( x, z W ^ 2 -^ m ( x , z )

где ∆ε m (x,z) – величина резонанса; λ m (x,z) – резонансная длина волны.

Параметры модели Селлмейера для кварца представлены в таблице 1 [23]:

Таблица 1. Параметры модели Селлмейера для кварцевого стекла

m	Δεm, мкм	λm, мкм
1	0,69616630	0,068404300
2	0,40794260	0,11624140
3	0,89747940	9,8961610

В работе [22] было показано, что в ходе распространения ультракороткого импульса с резким передним фронтом наблюдаются оптические предвестники. Проведём численное исследование зависимости формы оптического предвестника и его количественных характеристик от параметров входного излучения.

Зададим импульс в виде:

v ( x , t )

= cosl™ I rect ( t ) . sin (_ю t )

I lx )      '             0

где t s – время подачи сигнала; ω 0 =2πc/λ 0 – центральная частота излучения, c – скорость света в вакууме, λ 0 – центральная длина волны.

Для расчётов использовались следующие параметры входного излучения: λ 0 = 532 нм; волновода: l x = 1 мкм, l z =15 мкм; и сетки: h x = 0,004 мкм, h z = 0,002 мкм, h τ = 0,001 мкм. Длительность импульса t s варьировалась от 1,775 фс до 7,098 фс (таблица 2). Значение диэлектрической проницаемости для выбранной длины волны (532 нм) равно 2,13.

Таблица 2. Длительность импульса

ts, мкм	ts, фс
1∙λ 0	1,775
1,25∙λ 0	2,218
1,5∙λ 0	2,662
1,75∙λ 0	3,105
2∙λ 0	3,549
2,25∙λ 0	3,993
2,5∙λ 0	4,436
2,75∙λ 0	4,880
3∙λ 0	5,324
3,25∙λ 0	5,767
3,5∙λ 0	6,211
3,75∙λ 0	6,655
4∙λ 0	7,098

На рис. 1–3 приведены графики интенсивности и амплитуды спектров для выборочных входных импульсов. Отметим, что для импульсов, длительность которых представляет собой n∙λ₀ (чётное количество пиков) или ( n+0,5)∙λ 0 (нечётное количество пиков), где n – целое число, кривая интенсивности, хоть и имеет «резкий» задний и передний фронт, но начинается и заканчивается нулевыми значениями, а импульсы длительностью 0,5(n+0,5) λ 0 обрываются на единичном значении амплитуды (рис. 2 а ).

Из рис. 1 б –3 б видно, что более короткие импульсы обладают более широким спектром. Также видно, что максимальные значения амплитуды спектра не совпадают с несущей частотой ω₀ и смещены в область более низких частот. Это отклонение частот для импульса длительностью λ 0 составляет 15,84%, а для импульса длительностью 4∙λ 0 составляет 0,3%.

Рис. 1. Входящий импульс длительностью 1∙λ0 (λ0=0,532 нм): а) интенсивность; б) амплитуда спектра

(λ0=0,532 нм): а) интенсивность; б) амплитуда спектра

Анализ результатов моделирования показал, что в ходе распространения вышеприведённых ультракоротких импульсов наблюдается появление оптических предвестников Зоммерфельда и Бриллюэна.

При этом если импульс «обрывался» на максимальной амплитуде (как на рис. 2 а ), то интенсивность ПЗ возрастает в десятки и сотни раз по сравнению с импульсом, который имеет нулевое значение амплитуды в начальной и конечной точках. Так, для импульса длительностью λ 0 (рис. 1 а ) на расстоянии z= 15 мкм оба предвестника имеют максимальную интенсивность |E|² max = 0,409∙10^-3 в относительных единицах, а для импульса длительностью 1,25 ∙λ 0 (рис. 2 а ) аналогичная интенсивность |E|² max = 46,861∙10^-3. При этом максимальная интенсивность НИ в обоих случаях отличается друг от друга незначительно: 2,672 для импульса длительностью λ₀ и 3,605 – для 1,25 λ₀ .

(λ0=0,532 нм): а) интенсивность; б) амплитуда спектра

На рис. 4 показана интенсивность импульса длительности t S =1,75λ 0 на расстоянии z= 15 мкм и амплитуда его спектра. На рис. 4 а вертикальными линиями отмечены границы временных отрезков, соответствующих временам появления ПЗ ( t Z ), ПБ ( t B ) и НИ ( t GR ). Линия для ПЗ совпадает с левой границей рис. 4 а . Для рис. 4 максимальная интенсивность ПЗ составляет 1% от максимальной интенсивности НИ.

По результатам моделирования были рассчитаны усреднённые значения частот (длин волн) предвестников и НИ, и входящего импульса (ВИ) (таблица 3).

Таблица 3. Спектральные параметры импульсов

Тип излучения	ω, ПГц	λ, нм
ПЗ	107,64	18
ПБ	49,18	38
НИ	3,31	570
ВИ	3,54	532

б)                     ы, ПГц

Рис.4. Результат моделирования при z=15 мкм для импульса длительностью 1,75∙λ0 (λ0=532 нм):

• а)    интенсивность (вертикальные линии соответствуют времени прибытия ПЗ (t_Z), ПБ (t_B) и НИ (t_GR));

• б)    амплитуда спектра (вертикальные линии соответствуют времени частотам ПЗ (ω_Z), ПБ (ω_B) и НИ(ω_GR))

Необходимо отметить, что предвестник Бриллюэна накладывается на импульс, а предвестник Зом-мерфельда имеет структуру повторяющихся «импульсов», первые по времени из которых имеют достаточно низкую интенсивность (3∙10-7).

Моделирование распространения коротких прямоугольных импульсов с другой длительностью также показало, что интенсивность предвестников мала в сравнении с интенсивностью основного импульса. Выберем длину волны, которая будет близка к одной из резонансных длин волн (таблица 4). Так как первый и третий резонансы находятся в области экстремального ультрафиолета и инфракрасного излучения соответственно, то наиболее интересным представляется второй резонанс с длиной волны 120 нм. На рис. 5 приведены графики интенсивности и амплитуды спектра для входного импульса длительностью 1,75λ₀ .

Моделирование показало, что для короткого импульса с несущей длиной волны λ 0 = 120 нм, близкой к резонансу дисперсионной кривой ( λ m = 116,2414 нм), предвестники по интенсивности оказываются сравнимы и даже превышают интенсивность НИ. Так, например, интенсивность |E|² max такого «резонансного» импульса длительностью 1,25 λ 0 на расстоянии z= 15 мкм равна 0,109 в относительных единицах, а интенсивность несущего импульса в 4 раза меньше ( |E|² max =0,027).

Таблица 4. Длительность импульса

t s , мкм	t s , фс
1∙ λ 0	0,400
1,25∙ λ 0	0,500
1,5∙ λ 0	0,600
1,75∙ λ 0	0,700
2∙ λ 0	0,801
2,25∙ λ 0	0,901
2,5∙ λ 0	1,001
2,75∙ λ 0	1,101
3∙ λ 0	1,201
3,25∙ λ 0	1,301
3,5∙ λ 0	1,401
3,75∙ λ 0	1,501
4∙ λ 0	1,601

10   ™« 20       30       40       50

• б)                         ю, ПГц

Рис.5. Входящий импульс длительностью 1,75∙λ0: а) интенсивность; б) амплитуда спектра (вертикальные линии соответствуют несущей частоте и длине волны)

На рис. 6 показана интенсивность импульса с резонансной несущей частотой (несущая длина волны λ 0 = 120 нм) и длительностью 1,75 λ 0 на расстоянии z= 15 мкм и амплитуда его спектра. На рис. 6 а вертикальными линиями отмечены границы временных отрезков, соответствующих временам появления ПЗ ( t Z ), ПБ ( t B ) и НИ ( t GR ). Линия для ПЗ совпадает с левой границей рис. 6 а . Из рис. 6 видно, что максимальная интенсивность ПЗ в 4 раза больше максимальной интенсивности НИ.

По результатам моделирования были рассчитаны усреднённые значения частот (длин волн) предвестников и НИ, и ВИ (таблица 5).

Рис.6. Результат моделирования при z=15 мкм для импульса длительностью 1,75∙λ0 (λ0=120 нм): а) интенсивность (вертикальные линии соответствуют времени прибытия ПЗ (tZ), ПБ (tB) и НИ (tGR)); б) амплитуда спектра (вертикальные линии соответствуют частотам ПЗ (ωZ), ПБ (ωB), НИ(ωGR) и несущей (ω0))

Таблица 5. Спектральные параметры импульсов

Тип излучения	ω, ПГц	λ, нм
ПЗ	107,64	18
ПБ	49,18	38
НИ	3,49	540
ВИ	15,7	120

Для сравнения также было проведено моделирование распространения непрерывного электромагнитного излучения с рассматриваемыми длинами волн λ 0 = 532 нм и λ 0 = 120 нм и резким передним фронтом (2). Для расчётов использовались следующие параметры волновода: l x =1 мкм, l z =15 мкм; и сетки: h x = 0,004 мкм, h z = 0,002 мкм, h τ = 0,001 мкм.

В таблицах 6-7 приведена максимальная интенсивность основного импульса и предвестников.

Таблица 6. Максимум интенсивности предвестников

λ0 , нм	|E|2, a.u. ( z=3 мкм)	|E|2, a.u. ( z=7 мкм)	|E|2, a.u. ( z=11 мкм)	|E|2, a.u. ( z=15 мкм)
532	8,527 ∙10-5	6,977 ∙10-5	1,189 ∙10-4	1,705 ∙10-4
120	0,008	0,006	0,012	0,016

Таблица 7. Максимум интенсивности несущего излучения

λ 0 , нм	|E|2, a.u. ( z= 3 мкм)	|E|2, a.u. ( z= 7 мкм)	|E|2, a.u. ( z= 11 мкм)	|E|2, a.u. ( z= 15 мкм)
532	2,339	1,847	2,729	4,373
120	0,051	0,034	0,029	0,042

На рис. 7 приведены графики результатов моделирования для распространения входного импульса длительностью, соответствующей максимальному значению отношения максимальных интенсивностей предвестника и несущего импульса. На рис. 7 вертикальными линиями отмечены границы временных отрезков, соответствующих временам появления ПЗ ( t_Z ), ПБ ( t_B ) и НИ ( t_GR ). Линия для ПЗ совпадает с левой границей рис. 7 а и рис. 7 б .

|£f »■"■

Рис.7. Интенсивность непрерывного излучения с резким передним фронтом при z=11 мкм и несущей длиной волны, находящейся: а) далеко от резонанса (λ0 =532 нм); б) близко к резонансу (λ0 =120 нм); (вертикальные линии соответствуют времени прибытия ПЗ, ПБ и НИ)

По результатам моделирования были рассчитаны усреднённые значения частот (длин волн) предвестников. Частота ПЗ равна 107,54 ПГц (18 нм), ПБ – 49,18 ПГц (38 нм).

В ходе моделирования получено, что максимальной интенсивностью предвестников обладают импульсы с длительностью (0,5n+0,25)λ 0 , n – целое число, у которых входящая интенсивность обрывается на максимальном значении. Интенсивность предвестников таких импульсов увеличивается в среднем в 230 раз для λ₀ = 532 нм (далеко от резонанса) и в среднем в 10 раз для λ 0 = 120 нм (близко к резонансу). Наибольшее отношение максимальных интенсивностей предвестников и несущего излучения также характерна для импульсов длительностью ( 0,5 n+ 0,25 )λ 0 .

Из приведённых результатов численного моделирования видно, что при выборе несущей длины волны входящего излучения, близкой к резонансной длине волны, возможно получить предвестники, по интенсивности сравнимые с НИ или даже превосходящие его (в 2–4 раза), вне зависимости от типа излучения: полубесконеч-ное или импульсное, а относительная интенсивность предвестника (по сравнению с несущим излучением) увеличивается в среднем в 2500 раз по сравнению со случаем выбора несущей длины волны вдали от резонанса.

Также необходимо отметить, что в ходе распространения импульсного излучения в волноводе предвестники увеличивают свою максимальную интенсивность в среднем в 200 раз для λ₀ = 532 нм (далеко от резонанса) и в среднем в 2 раза для λ₀ = 120 нм (близко к резонансу).

Из таблиц 3–5 и результатов моделирования для «полубесконечного» импульса видно, что параметры входного излучения не влияют на частоту (длину волны) ПЗ и ПБ.

Увеличение амплитуды ПЗ по отношению к амплитуде НИ можно объяснить следующим образом: выбор несущей частоты ω0 вблизи резонанса приводить к тому, что НИ, который распространяется с групповой скоростью, «теряет» большую часть своей начальной энергии, т.к. групповая скорость вблизи резонанса во много раз меньше, чем групповая скорость вдали от резонанса. То есть не ПЗ возрастает по амплитуде, а амплитуда НИ уменьшается из-за того, что его частоты вблизи несущей частоты «выходят из игры» из-за своего медленного распространения.

Заключение

В ходе выполнения работы были получены следующие результаты:

• -    численное моделирование предсказывает появление оптического предвестника как в случае импульсного излучения, так и в случае полубесконечной волны с резким передним фронтом (передний фронт всегда начинается с нулевой интенсивности);

• -    в случае «обрыва» заднего фронта входящего излучения на ненулевом значении интенсивности, интенсивность предвестника увеличивается в среднем в 230 раз для λ 0 =532 нм (далеко от резонанса) и в среднем в 10 раз для λ 0 =120 нм (близко к резонансу);

• -    в случае выбора несущей длины волны близко к резонансу дисперсионной кривой относительная интенсивность предвестника (по сравнению с НИ) увеличивается в среднем в 2500 раз, предвестники становятся сравнимы по интенсивности с НИ, а в некоторых случаях даже превосходят его в 2-4 раза;

• -    при удалении точки наблюдения от источника (начала координат) интенсивность предвестников увеличивается в среднем в 200 раз для λ 0 = 532 нм (далеко от резонанса) и в среднем в 2 раза для λ 0 = 120 нм (близко к резонансу);

• -    параметры входного излучения (длительность, несущая длина волны, задний фронт) не влияют на частоту (длину волны) ПЗ и ПБ, которые для кварца равны 107,54 ПГц (18 нм) и 49,18 ПГц (38 нм) соответственно.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РоссийскойФедерации и гранта РФФИ (13-07-97008).