Исследование влияния периодической продольной неоднородности на формирование волнового фронта излучения, распространяющегося в градиентных волноводах

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ПРОДОЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ НА ФОРМИРОВАНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА ИЗЛУЧЕНИЯ, РАСПРОСТРАНЯЮЩЕГОСЯ В ГРАДИЕНТНЫХ ВОЛНОВОДАХ

В настоящее время практический интерес представляют вопросы разработки и создания интегрально-оптических средств обработки информации, отличающихся как высокими быстродействием, информативностью, так и миниатюризацией геометрических размеров. В этой связи важное значение имеют задачи формирования волновых пакетов с заданными волновыми фронтами. Известно, что знание модового состава излучения, распространяющегося в оптическом волноводе, коэффициентов трансформации между модами позволяет эффективно управлять волновым фронтом излучения. Однако моды вводятся для однородных в продольном направлении (направлении распространения излучения) волноводов [1]. Целью настоящего сообщения является исследование в параксиальном приближении влияния периодической продольной крупномасштабной (Т » X, X - длина волны, Т - период неоднородности) неоднородности на формирование волнового фронта излучения, распространяющегося в градиентном волноводе. Для решения указанной задачи удобно ввести представление квазимод градиентного перио-дически-продольно-неоднородного волновода. Под квазимодой градиентного периодически-продольно-неоднородного волновода будем понимать решение уравнений Максвелла для напряженностей поля, удовлетворяющее всем граничным условиям задачи и имеющее вид:

EZ (x-i , х2, z; t) = Ez (х, , х2, z) exp {i (ы t - Bz)} z                          z                                    ~                       (1)

H (xi, x2, z; t) = H0(x-i, x2, z) exp fi (co t - @z )}, где собственное значение (3 будем называть квазипостоянной распространения, Ez , HZ - периодические по z функции, период которых совпадает с периодом Т периодической продольной неоднородности волновода. При замене z — z+T квазимоды удовлетворяют условию:

E(x1f х2, z+T) = E(xi, х2, z) exp {-ip T]

H(xi, xa, z + T) = H(x1f x2 , z) exp { - i P T} , т.е. повторяют себя с точностью до фазы на расстояниях, равных периоду Т периодической продольной неоднородности, напоминая тем самым свойство мод повторять себя в точках z = 2пN/Р (3 - постоянная распространения). В случае слабонеоднородной среды (XIVn|/n « 1 (п - показатель преломления волновода) уравнения Максвелла могут быть сведены к скалярному Уравнению Гельмгольца [1]:

гдегСхт, х2, z} - декартова система координат;

Е - одна из компонент поля;

• к = 2п/Х_о - волновое число в вакууме.

Подставляя выражение для напряженности поля квазимоды (1) в уравнение (3), можно получить уравнение, которому должны удовлетворять ква-эимоды:

• _{+      +} Э^ . _2ig3E.= ₊ [_k,_n,_(x,_ „, .J-^jE^O. (4)

• а х² а х= a                а ²

• 1             2

Возможные значения квазипостоянной распространения определяются из граничных условий. В том случае, когда продольная неоднородность отсутствует, квазимоды переходят в моды волновода с соответствующим переходом спектра квазипостоянных распространения в спектр постоянных распространения. С математической точки зрения квазимоды градиентного перио-Дически-продольно-неоднородного волновода в параксиальном приближении аналогичны квазиэнергетическим состояниям (КЭС) квантовых систем, их можно описать с помощью уравнения Шредингера с периодическим во времени гамильтонианом [2,3]. В этом нетрудно убедиться, если учесть, что в параксиальном приближении уравнение Гельмгольца (3) может быть сведено к уравнению типа нестационарного уравнения Шредингера, в котором роль времени играет продольная координата Е и h —1/k [4]:

1  ( 1Ц, + |^) + 1(П2 _ П2)ф = нф, к э Е 2k Э х2 Эх2 2о где:

ф(х1г х2, z) = По Е(Х1, х2, z) exp(-ik / n0(z)dz);(6)

z

Е = / n~1(z)dz; no = n(0, 0, z) - показатель преломления на оси z. Таким образом, с учетом (1), (6) в параксиальном приближении квазимоды, подобно КЭС, образуют в каждой точке продольной оси z полный набор ортогональных базисных функций, что позволяет разложить произвольное поле в таких волноводах по полному набору кваэимод в каждой точке продольной оси и тем самым свести задачу к исследованию свойств кваэимод. Перечисленные свойства кваэимод позволяют рассматривать их как некие моды соответствующего эффективного продольно-однородного волновода. Для решения системы (5) могут быть применены известные квантовомеханические методы: метод интегралов движения, метод когерентных состояний, метод динамической группы симметрии [5, б] .

В качестве конкретного примера рассмотрим планарный градиентный волновод с параболическим профилем показателя преломления:

n²(x, Е) = n²(x, Е) - 2(E)x² - 2f(E)x,                             (7)

где <о2(Е) ~ градиентный параметр и функция (Е), описывающая искривление оси волновода есть периодические функции Е с периодом Т

Е

= Т' .

Явные

выражения для напряженностей полей кваэимод будем представлять через решения уравнения движения для классического осциллятора:

ё + ш²(Е)е = 0; ш²(Е + Т') = со²(Е) .                                   (8)

Согласно теореме Флоке решения уравнения (8) могут быть разбиты на два типа - устойчивые и неустойчивые. Устойчивые решения имеют вид:

е(Е + Т') = е (Е) exp {i хТ' к}; е* (Е + Т') = е* (Е) ехр{- i хТ* к}, (9)

т1

1      1      — 2

где точка в (8) означает дифференцирование по Е; х ⁼ ^тг • / Ie| dr - дейст-Т К о вительное число.

Следуя [5,7], приведем явное выражение для напряженностей полей на правляемых кваэимод градиентного периодически-продольно-неоднородного волновода с показателем преломления (7):

E_n(z) = п₀² (^ ^(nln^ k ¹ е) exp (iк / n₀ (z)dz} ехр{^- kn_tf (х-д)²} ^х X exp { i и* n_ok(x-n) + i к Г [| п^,2п² - ^ ш²п² + f (т) п] 5^у}^н_п<"

где:

Hn - полиномы Эрмита;

П - вещественное решение уравнения.

ri + cd2 (Е)п = f (Е) •

Выбирая в качестве п(Е) периодическое решение (11), нетрудно получить спектр квазипостоянных распространения В:

Bn = k-k< 1/n0 > X(n + Vz) - дВ,(12)

где:

АВ = -----г2- • г [ уП2 - I ш2(Е)п2 + f(e)n ]d Е •(13)

1 Т'Т

< По>= ^ • / n0(z)dz; <1/По> = £ £ n01(z)dz.

Спектр квазипостоянных распространения Рп (12) для направляемых квазимод оказывается чисто дискретным.

Излучательные квазимоды, отвечающие неустойчивым решениям уравнения (8) :

Ei(E+T') = ei(E) exp{-xT'k}; е₂(Е+Т’) = е₂ (Е) expfxT'k}, (14)

где е_1г е₂ - два линейно независимых решения (8), причем е₂Ё₁ - е₁£₂ = 1;

X2 > 0 имеют вид:

-т/,          1       .     , i к (х-п)2.

Е ±(x,z) = n0 /2 IO,z>r(i - iv) exp {     ----- }

Ui             *                                 ч с1^2

(Ik ~) i+iv exp(ik/nodz} е 1                          о exp(i и ' п0 к (х-п) +

, ±/ ik(x-n )

+ ik/[?n-2n0 - ?^nJ + f(T)n] dT/no T}D где:

d_|+£V ~ функция параболического цилиндра;

v - вещественное число, вакуум IO,z>= (к/2п е , ехр {у^^{-1 п}₀^х2^ (штрих у е, и означает дифференцирование по z) .

Спектр квазипостоянных распространения В для излучательных квазимод

В = k - kX v - АВ,                                     (16)

где дВ, данное по (13), оказывается непрерывным и двухкратно вырожденным.

Непрерывность спектра (16) есть следствие того, что в области неустойчивых решений (14) среда, в которой происходит распространение излучения, перестает обладать волноведущими свойствами и излучает падающий на нее свет во всех направлениях в плоскости [x,z], согласно (15).

Из (12) , (13) , (16) следует, что периодическое искривление оси волновода не меняет характера решений, а приводит к общему смещению спектра квазипостоянных распространения 0 на величину Д0 (13) . Соотношение (12)

позволяет оценить величину смещения спектра квазипостоянных распространения Вп направляемых квазимод относительно соответствующего спектра постоянных распространения 0п. Так, в случае, когда градиентный параметр со(Е) есть функция, мало отличающаяся от постоянной величины м0 - градиентного параметра продольно-однородного волновода:

со2 (Е) = Mgd + 4h cos “^ '                                          <17> где ы = ^т, 14h I « 1, величина кванта х при h - 0 дается выражением [7] :

/е²-Н² , to = 2to_o(1 + е) , Е — О

Ограничиваясь значениями ш, близкими к 2со0, т.е. учитывая члены первого порядка малости по h и Е, можно определить интервал изменения со, соответствующий зоне устойчивости:

оо0 < о < 2ш0 (1

- ^ < е < -Ihl

- Ihl)

h ₌ 6to_ ₌ 6 n . _{П п} ^2шо 2ш²а² '

(19 )

6 n0 - индуцированное изменение показателя преломления на оси волновода п0 ;

б оз - амплитуда изменения градиентного параметра ш(Е)=и₀+6сособ со Б ; а - глубина волновода.

Таким образом, величина смещения спектров

Д6т ’ Вт " 6т ° ^<" + ? t"7^ ' 1)

пропорциональна номеру квазимоды т (п0 предполагается независящим от Е) ■ При со далеких от 2соо величина смещения спектров определяется следу ющим соотношением:

~         ton         1 4со2 h2

^_m = ^m " ^Рш ⁼ " ^ ^{(m +} ?^} * ^2^ *

Смещение спектров (20) и (21) относительно спектра постоянных распространения происходит в противоположных направлениях. Величина смещения Д@т существенно зависит от величины параметра h, в основном определяющейся значениями индуцированного изменения показателя преломления 6 п0 на оси волновода и ограничена техническими возможностями. Так, для волновода, сформированного в LiNbO3 показатели преломления на оси по = Дп + ng ~ 2,2, где Дп = 2-10-2 - градиент показателя преломления, ng = пе = 2,17 - показатель преломления на оптической оси LiNbO3 глуби- ной a=5 мкм c on 0  10  , градиентный параметр coos ---2--- = 8-10 и, таким образом, h ~10 “. Увеличение h(6n0 ) при постоянном е приводит к тому, что возрастает чувствительность низших квазимод. Следует отметить что в пределе, когда e=h, тогда величина х=0, что соответствует случаю, возникающему на границе областей устойчивости и неустойчивости уравнения (8) . При этом направляемые квазимоды переходят в излучательные, спектр которых становится непрерывным. Использование призменного метода ввода-вывода излучения в волновод позволяет оценить угловое смещение спектров:

• &                 &

де = е - ё = arc sin ;—— - arc sin =—— ,                   (22)

m m m           k n             k n np             np

Так, для указанного волновода для о близких к 2w₀ при е — h величина Дв_т для нулевой квазимоды составляет Д6₀ = 6’, а для ш=5, Д© = 1° при угловом расстоянии между соседними модами Д©_{о 1}=10' (показатель преломления призмы п -2,5; X = 0,63 мкм и Д6_0/1 = ©g-в^ Таким образом, изменяя период продольной периодической неоднородности градиентного волновода, можно управлять спектром квазипостоянных распространения, возбуждая тем самым, различные группы мод соответствующего эффективного продольно-однородного волновода. Это дает возможность формировать различные фронты излучения, распространяющегося в градиентном периодически-продольно-неоднородном волноводе. Необходимо отметить, что отклонение профиля показателя преломления от параболического может нарушить эквидистантность спектра квазипостоянных распространения [12] и привести к возникновению межквазимодовой дисперсии d3/d к, где k - волновой вектор. Таким образом, появляется возможность управления формой сигнала, передаваемого по оптическим волноводам, что представляет практический интерес для волоконно-оптических линий связи.