Исторические аспекты развития зарубежных подходов к анализу безубыточности

Классическая модель CVP (cost-volume-profit, на русском «затраты-объем-прибыль») анализа общеизвестна. Она заключается в построении линейного уравнения прибыли, равной разнице между выручкой и суммой совокупных переменных и постоянных затрат. По данным исследования 2019 года, представленного российскими учеными, 21% российских компаний использует анализ безубыточности (или CVP-анализ) [1]. В тоже время, как показывает практика, наличие у компании положительного финансового результата в текущем периоде может не подразумевать прибыль в следующем. Особенно остро данная ситуация наблюдается в условиях неопределенности – возникает необходимость в развитии классической модели анализа безубыточности в силу её ограничений. Целью данной работы является выявление основных подходов к анализу безубыточности и их особенностей.

Развитие стохастического подхода к CVP (затраты-объем-прибыль) модели анализа началось в 1964 году со статьи Джаэдика и Робичека «CVP анализ в условиях неопределенности» [2]. Именно на них, как первых, кто пошел в этом направлении, ссылаются последующие исследователи.

В качестве обоснования необходимости дополнения классического анализ они привели в пример проблему выбора ме- история, реальные опционы, нечеткая логи- неджментом проекта. Так, предлагались идентичные проекты А и В, единственным различием между ними была изменчивость доходов, остальные параметры совпадали. Они предположили, что параметры системы – переменные издержки, объем реализации и прочее распределяется нормально, а проекты должны выбираться исходя из отношения менеджмента к риску.

Джаэдик и Робичек считали, что итоговая функция прибыли будет нормально распределена, однако в 1972 году в статье «Нормальность прибыли в модели Джа-эдика-Робичека» В. Ферра, Дж. Гайя и Найчман Д. установили, что статистически (с помощью критерия хи-квадрат) это будет признаваться только если сумма коэффициентов вариации объема продаж и удельной маржинальной прибыли меньше или равны 12 процентам [3]. Схожий эффект наблюдали и российские ученые [4].

Дальнейшие изыскания ученых в этой области были преимущественно посвящены уточнению распределения параметров уравнения. Так Хиллиард и Лейч в 1975 году выпустили статью «CVP анализ в условиях неопределённости: логарифмиче-ски-нормальный подход» [5, 6]. В рамках данной статьи, они обратили внимание на проблему несоответствия реальной ситуации допущения о взаимной независимости распределений параметров.

В качестве решения они предложили использовать логнормальное распределение. Данный подход также позволял: не брать во внимание высокие коэффициенты вариации параметров, исключать возможность появления отрицательных результатов.

Аналогично модель с нормальным распределением критиковали: Эми Хин-Лин Лау и Хон-Чанг Лау в статье «CVP анализ в условиях неопределенности – логнормальные подход – комментарий» (1976); Джон Коттас и Эми Хин-Лин Лау в статье «Стохастический анализ безубыточности» (1978) [7, 8].

Также проблема выбора распределения освещалась в 1974 году в статье С. Базби «Расширение применимости вероятностных моделей планирования и управления» – с целью избегания необходимости установления точной формы распределения он предложил использовать неравенство Чебышева, представленное формулой [9]:

Р(|X-m|≤ε)≥1-^{2 (} 2 ⁾ ,      (1)

где D(X) – дисперсия случайной величины Х;

m – математическое ожидание случайной величины Х;

ε – вменяемое случайной величине Х значение (ε >0).

В 2016 году в качестве распределения было рассмотрено Бета-PERT Саидом Хасссан в статье «Использование различных вероятностных распределений для методики управленческого учета: CVP анализ», им же – распределение Кумарасвами, частный случай Бета-PERT распределения [10].

Плотность бета распределения строится по формуле:

^fX(x)=5( ,5)^x“-¹(1-х)_P-i,        (2)

где α, β – произвольные фиксированные параметры (α, β>0);

B(α, β) – бета-функция.

Бета-функцию можно найти по формуле:

Β(α,β)=∫ х «-1(1-х)р-1 .

α рассчитывается по формуле: m-a ( m-a )( b-m )

α= b-a ∗ a2 ), где m – математическое ожидание случайной величины Х;

σ – дисперсия случайной величины Х.

β можно найти по формуле :

n b-m ( m-a )( b-m ) β= b-a ^∗      ---

-

m можно найти по формуле [11]:

m=

a+A ∗ m+b

Л+2  ,

где a – наименьшее экспертно устанавливаемое значение (пессимистичное) случайной величины Х;

m – наиболее вероятное экспертно устанавливаемое значение случайной величины Х;

b – наибольшее экспертно устанавливаемое значение (оптимистичное) случайной величины Х;

λ – коэффициент эксцесса.

Зачастую λ приравнивают к 4, и, действительно, это значение является оптимальным [11]. σ можно найти по формуле:

^σ2 = ^{( b};: ⁾ - . (7)

Плотность распределения Кумарасвами рассчитывается по формуле:

f(x) = αβx «-1(1-х«) p-1. (8)

Это частный случай бета распределения при α и β, равных 1 и 1 соответственно, что было описано Надараяхом в 2008 году в статье «Распределение Кумарасвами» [10].

В 2009 году модель CVP анализа была рассмотрена в рамках нечеткой логики китайским ученым Фон-Чинг Яном в статье «Использование моделей нечеткой логики в CVP анализе в условиях неопределенности» [12].

Принцип нечеткой логики иллюстрируется следующим примером: в бытовой жизни разная температура, скажем, воды может ощущаться холодной, теплой, горячей. Четко разделить данные понятия на соответствующие диапазоны нельзя. Очевидно, что вода температурой 100 градусов по Цельсию считается горячей, однако при 40 градусах ответ становится менее однозначным.

В терминах реальных опционов впервые модель была рассмотрена в 2001 году итальянским ученым Джузеппе Алесси в публикации «Кулатика-88 как CVP анализ в рамках реальных опционов: обзор", позднее, в 2012 году, Д. Стефаном в статье «Развитие модели CVP в системе производственных решений на основании MAD модели реальных опционов» [13, 14]. Стефан провел аналогию между параметрами применяемой модели реальных опционов и параметрами модели CVP, что подробно раскрыто в таблице 1.

Таблица 1. Аналогия между методологией реальных опционов и модели CVP

Параметры модели реальных опционов	Параметры для CVP анализа в рамках модели реальных опционов
Текущая стоимость денежных потоков проекта	Текущая стоимость дисконтированной прибыли
Приведенная стоимость денежных потоков от инвестирования	Цена исполнения, точка безубыточности
Будущая безрисковая процентная ставка	Будущая безрисковая процентная ставка
Длительность реального опциона	Период прогнозирования
Будущая волатильность денежных потоков проекта	Волатильность прибыли

Как видим из таблицы 1, при сохранении концепции модели реальных опционов, параметры классической модели были интерпретированы в рамках модели CVP. Таким образом, классическая модель анализа безубыточности, начав своё развитие со стохастического подхода, продолжила изменяться в соответствии с развитием математических и экономических областей

Среди подходов к анализу безубыточности можно выделить:

– классический подход;

– вероятностный подход;

– подход, основанный на реальных опционах;

– подход, основанный на использовании нечеткой логики.

знаний.