История и счет египетских дробей в Древнем Египте

Представление рациональных чисел в виде сумм единичных дробей начинаются со времен Древнего Египта. Сегодня эта тема сохранилась в основном как источник математических головоломок и задач абстрактной теории чисел, но эта тема представляет исторический и антропологический интерес, поскольку проливает свет на мыслительные процессы людей, живших в древние времена.

В начале почти каждой истории математики ученые находят описание того, как древние египтяне оперировали дробями в единичных долях. Например, вместо того, чтобы сказать, что ² моей земли было за,           5

топлено, они говорили, что - + — моей земли было затоплено. Одна из самых ранних письменных записей из Древнего Египта (переписанная примерно в 1650 г. до н.э. из источника, который, как считается, датируется примерно 1850 г. до н.э. или ранее) известна как Математический папирус Райнда [1]. Папирус содержит таблицу, выражающую дроби формы - как суммы две, три или четыре единичные дроби с разными знаменателями. Таблица охватывает - для я до 101, хотя дроби с «четными» знаменателями, например,2 , 2 4  6

и т. д., опущены, показывая, что египтяне ясно осознавали очевидную эквивалентность с сокращенными формами. - , ¹ и т.д.

Из оставшихся значений таблицы, -присвоили выражение - + :—. Всем другим знаменателям таблицы, кроме одного, которые делятся на 5, присваивается простое 2 кратное этому выражению, т. е. для — используется — + -1—. Точно так же присво-3k   15k или - + — элементу таблицы -, а затем отсеяли все оставшиеся знаменатели, делящиеся на 7, используя выражения вида — + -1—. Наконец, они присвоили 1 + — 4k   28k                        1             6   66

элементу таблицы —, а затем использовали -т + —г для -²- где к = 5. 6k 66k     11k

Для каждого из малых простых чисел 3, 5,7, 11 египтяне выражали - как сумму двух единичных дробей, используя простую формулу

2 _     1           1

р (р + 1)/2 + р(р + 1)/2

Как только эти простые числа и их кратные были известны, определяли представления с использованием тождества

2   1 2а - р                                    (2)

р а    ар где а — некоторое удобное «круглое» число, большее р.

’                  2

Чтобы найти остальные члены, разбивали величину 2а — р на одну, две или три различные части так, чтобы каждая часть была делителем числа а. Например, при п = 89 выбрали а = 60, что дает разность 31. Таким образом, выражали число

31 как сумма трех или менее различных целых чисел, каждое из которых делит 60. Одно такое разбиение равно 31 = 15 + 10 + 6, что приводит к представлению, которое появляется в папирусе Райнда для 2 _ 89 :

2 _ 1     1     1     1

89 = 60 + 356 + 534 + 890

На этой основе обобщали таблицу 2 в    кого что 2 = 1 + 1 + ( 1 + ( 1 )). Значе- п                     р    а    6    \с    kd// папирусе Райнда, указав значения а, Ь,    ния представлены в таблице ниже (табл. (с, (d)) для каждого простого числа р, та- 2 Таблица 1. Краткое изложение значений в папирусе Райда
Р	2а — р	а	Ь	с	d
3	1	2	6
5	1	3	15
7	1	4	28
11	1	6	66
23	1	12	276
13	3	8	52	104
17	7	12	51	68
19	5	12	76	114
31	9	20	124	155
37	11	24	111	296
41	7	24	246	328
47	13	30	141	470
53	7	30	318	795
59	13	36	236	531
67	13	40	335	536
71	9	40	568	710
97	15	56	679	776
29	19	24	58	174	32
43	41	42	86	123	01
61	19	60	244	488	10
73	47	60	219	292	35
79	41	60	237	316	90
83	37	60	332	415	98
89	31	60	356	534	90
35	25	30	42
91	49	70	130
95	25	60	380	570
101	1111	606	101	202	03

Представленная таблица (табл. 1) показывает две вещи. Во-первых, египтяне использовали формулы (2) для определения своих общих представлений единичной дроби 2 , где р большое простое число.

Во-вторых, объяснения четырех исключительных случаев. Первые три - это составные числа 35, 91 и 95, которые по каким-то причинам не были отсеяны из таб- 2       2

лицы. Случай — = ^^ должен был быть отсеян малым простым числом р = 5, что 1,1, дает ему представление — + — с к =

19. Вместо этого получается, что его представление явно основано на простом числе р = 19, т. е. оно имеет вид ^- + 11

— + 114k при К = 5-

Случаи — и — еще более необычны. Это 35   91

единственные две дроби, представления которых не являются простыми кратными чисел одного из их простых множителей. В этих двух случаях египтяне, вернулись от обычного мультипликативного разложения к тому, что можно было бы назвать «гармонически-арифметическим» разложением [2].

Среднее арифметическое: А(р, q) = ^^

Среднее геометрическое: G^, q) = ^ppq

Гармоническое среднее: Н(р, q) = 1 2 1

р q

Гармоническое среднее, выглядит египетским, учитывая их близость к единичным дробям. В любом случае G(p, q) это не только среднее геометрическое p и q, но и среднее геометрическое А(р, q) и Н(р, q), что следует просто потому, что

2 _      2_ pq А(p,q)Н(p,q)

где, старший множитель справа — это дробь единицы, потому что р + q четное.

2_ 1/1

5*7 = 6(5 + 2-1/1

7* 13 = 10(7 +

Таким образом, каждая составная запись в таблице папирусе Райнда 2 основана на разложении числа п на его простые множители. В большинстве случаев использовалась простая геометрическая фак- pq = А(p,q) * Н(p,q)

Другими словами, А * Н дает альтернативное разложение составного числа pq. Это приводит к формуле

Ш(р + 1)

Формула дает представления папируса Райнда.

1^_11

• 7)    = 30 ⁺ 42

1^_11

137   70 + 130

торизация pq, но в двух случаях использовал произведение А * Н. Это оставляет только последнюю запись в таблице 2 п

2  _  1     1     11

101 = 101 + 202 + 303

Запись построена по формуле (2) с а = писей таблицы тем, что она кратна 1. Воз-606 и разбиением 1111 = 202 + 303 +, можно, эта запись была просто формаль-606, но она выделяется среди других за- ностью, предполагающей, что для любого n, не включенного в таблицу (т. е. больше

100), используется четырехчленное разложение:

2 _ 1   1    1    1

n n  2n  3n   6n

Таким образом, это фактически «завершает» таблицу, позволяя сказать, что она обеспечивает представление единичной дроби - для всех целых чисел n. Интересно, что формулу (4) можно рассматривать как иллюстрацию «совершенства» числа 6 в том смысле, что сумма делителей равна удвоенному числу, т. е. 1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 * 6.

Можно сделать вывод что, таблица - в папирусе Райнда, датируемая более чем за тысячу лет до Пифагора, показывает знание простых и составных чисел, грубую версию «Решета Эратосфена», знание арифметические, геометрические и гармонические средства. Все это показывает о большом знание чисел у древних египтян.