История использования математических методов в научном познании действительности

Определений, что такое математика, существует достаточно много, но самое ёмкое и употребляемое из них - определение Ф. Энгельса в обработке академика А.Н. Колмогорова: « Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира » [1, c. 560]. На наш взгляд, оно убедительно отражает самую суть взаимоотношений математики с практикой, которые изменялись в ходе исторического развития человечества.

Математика, как особая отрасль знаний, появилась в связи с запросами практики, причем долгое время отношения между ними складывались следующим образом: практика ставила задачи, а математика искала способы их решения (VI-V вв до н.э. – XVII в.н.э). Но постепенно с появлением математики переменных величин (XVII-XVIII вв.) и переменных отношений (XIX-XX) связи между практикой и математикой коренным образом трансформировались. Математика, находясь в непрерывном развитии, становится языком науки и сама влияет на изменения в жизни общества – в технике, экономике, управлении и пр.[2]. Именно в этот период математику стали делить на «чистую» и «прикладную». В современной науке эти термины являются постоянными причинами дискутирования, но из научного оборота не уходят.

Прикладная математика при этом понимается как область математики, рассматривающая применение математических методов, алгоритмов в других областях науки и техники [3] . Её наличие трудно игнорировать после появления множества «пограничных» наук: математической физики, математической экономики, математической лингвистики, биоматематики, биоинформатики, математической психологии и пр., и наконец, математической педагогики.

Но вопрос, что в математике является «прикладной», а что «чистой» частью этой науки, не имеет однозначного ответа, так как абстрактные теории «впрок», появлявшиеся в ней с XVIII века (теория групп Галуа, теория параллельных Лобачевского и т.д.), с дальнейшим развитием научного знания находят порой весьма неожиданные применения.

Прикладные аспекты математики связаны с двумя основными моментами в истории ее развития:

• 1 ) Человечество давно пришло к мысли, что «… ни одна наука не может быть познана без математики », это пророчество, высказанное английским философом Р. Бэконом еще в XIII веке, начало подтверждаться на рубеже XX - XXI столетий [4, c.862-876]. Математика выработала такую методологию, которая является частью более общей методологии науки вообще, поэтому и позволяет найти путь к раскрытию конкретного содержания процессов, происходящих в окружающей действительности. Особая роль в познании с помощью математических методов принадлежит моделированию. Математика строит и изучает математические модели, разрабатывает специальные методы их изучения.

• 2 ) Эффективность применения математики в процессе научного познания реального мира кроется в том, что служа этому процессу, она является языком любого знания. Кроме того, как утверждал греческий философ Прокл, - « математика – это единственный язык, посредством которого мы можем познать всё сущее » [5, c. 8]. Любая отрасль науки, развиваясь, настолько оттачивает систему своих основных понятий и достигает такого уровня, что может быть подвергнута моделированию и изучению строгими абстрактными математическими методами. Такое

изучение, в свою очередь, позволяет уточнять, расширять эти основные понятия, а, следовательно, и успешно двигать эту отрасль далее.

Таким образом, сложившиеся стандартные отношения между математикой и практикой можно выразить следующей формулой: « от квантификации (сведения качественных характеристик к количественным) к моделям и к математике как языку исследования » [6, с.15].

История применения математических методов в различных науках сложна, многогранна и насчитывает, по меньшей мере, более двух десятков веков. Для характеристики процессов за такие промежутки времени история математики применяет обычно свой специфический метод – метод периодизации , позволяющий выявить основные изменения в развитии изучаемой проблемы. Ввиду отсутствия такой периодизации в специальной литературе мы выделили следующие этапы в истории использования математических методов в научном познании действительности:

I этап – донаучный (от появления первых сведений об объектах окружающего мира до XVI в.) - характеризуется применением математических сведений в области счета и измерения к нуждам « натуральной философии » (совокупности элементов знаний по начаткам механики, физики, науки о Земле, астрономии и даже физиологии).

Натурфилософия создавала некоторые теоретические модели, например, модели геоцентрической системы мира, но уровень развития математики был недостаточен для их проверки. Особо ценным в этот период был тезис, провозглашенный пифагорейцами: все природные явления подчиняются математическим законам (« все есть число »).

• 2    этап – экспериментальный (XVI-начало XVII вв.) – связан с быстрым техническим прогрессом XVI в. и открытиями И. Кеплера, Г. Галилея, Р. Декарта, Х. Гюйгенса, И. Ньютона в области астрономии, механики и физики.

Отметим, что именно Галилей провозгласил тезис о необходимости применять математику в научных изысканиях: «Тот, кто хочет решить вопросы естественных наук без помощи математики, ставит неразрешимую задачу. Следует измерять то, что измеримо, и делать измеримым то, что таковым не является» [7, c. 232]. К XVI веку исследование движения стало центральной задачей естествознания. Стремление теоретического построения перечисленных наук и использование для проверки теорий экспериментального метода, как основного, привело к потребности создания математического аппарата, способного теоретически обосновать естественнонаучные открытия. Построение Ф. Виетом, П. Ферма и Р. Декартом аналитической геометрии дали возможность при изучении физических и механических проблем на основе наблюдений строить математическую модель, а затем отыскивать их «первопричины» (путь познания от анализа к синтезу).

• 3    этап – этап научной математизации естественных наук (середина XVII-XVIII вв.) – характеризуется применением в естественных науках математики «переменных величин» (дифференциального и интегрального исчислений) – нового аппарата, оформленного в трудах И. Ньютона и Г.-В. Лейбница, способного исследовать процессы в движении.

При этом Ньютон в сочинении «Математические начала натуральной философии» (1684) разработал математический аппарат для объяснения и описания именно физических явлений, завершив, по существу, создание классической механики. Лейбниц же в основной своей работе «Новый метод максимумов и минимумов…» (1764), в отличие от Ньютона, исходил из геометрических представлений и тем самым способствовал развитию аналитической и появлению дифференциальной геометрий. В этот временной период происходит дифференциация знаний, что ярко отражается в бурном расширении отраслей физики, механики, и математики, возникают пограничные науки. Так, например, требования динамики, созданной Ньютоном, вызвали к жизни математическую физику, успехи аналитической и дифференциальной геометрии во многом способствовали развитию оптики, а созданная усилиями Л. Эйлера и Ж. Лагранжа аналитическая механика завершила превращение теоретической механики в раздел математического анализа.

• 4    этап – этап всеобщей математизации науки по естественнонаучной схеме (XIX-XX вв.) – характеризуется использованием всевозможных отраслей математики для обоснования, развития и прогнозирования во всех направлениях научных знаний.

В этот временной период происходило явление, обратное дифференциации, а именно, интеграция наук в разделы, объединяемые по принципу применения сходного математического аппарата для их развития. Математические методы проникают в химию, геологию, биологию, медицину и т.д. Стандартную схему математизации естественных наук, проверенную временем, исследователи пытались переносить на науки гуманитарные. Появление и развитие таких отраслей математики как математическая статистика и теория вероятностей расширили возможности математизации наук: математические методы стали применяться в некоторых общественных науках, занимающихся изучением общества и человеческих отношений (экономика, лингвистика, география, философия, психология и пр.). В свою очередь, в самих используемых отраслях математики возникли новые направления исследований, связанные с доказательствами корректности привлечения каждого метода, с изучением допущений и ограничений при решении содержательных задач, с взаимодействием методов математики с другими методами исследования, с интерпретацией полученных результатов и т.д.

• 5    этап – этап альтернативной математизации (с конца XX в.) – характеризуется попытками расширения стандартной естественнонаучной схемы математизации наук: « от квантификации к языку ».

Причина возникновения альтернативной математизации заключается в обнаружении в указанный период таких областей познания, которые « плохо математизируются » и не укладывались в эту стандартную схему. Речь идет о трудностях в применении математических методов в тех гуманитарных, в частности, социальных дисциплинах, где «… исследуемые в них феномены – сюжеты, эмоции, образы, межсубъектные взаимодействия, социальные нормы, управленческие действия и т.п .» [6, c.16]. Причем математические методы в них используются, но из тех новейших разделов математики, которые связаны с вариативностью мышления и поведения субъекта, с оценкой межсубъектного взаимодействия (некоторые разделы теории вероятностей и математической статистики, топология, теория нечетких множеств, теория графов как основа построения системных альтернатив и т.д.). Таким образом, обнаруживается тесное взаимовлияние математики и этих «плохо математизируемых» наук – они направляют дальнейшее развитие математики по неклассическому пути, заставляя совершенствовать её методологию для адекватного применения в гуманитарных и социальных науках.

Разумеется, выделенные этапы не имеют точно определенных временных границ, так как, с одной стороны, они часто могут сосуществовать друг с другом, а с другой стороны, временные рамки этапов зависят от особенностей развития математики и других отраслей науки в различных научных школах, нациях и государствах.