Итерационные методы статического анализа четырехдроссельной электро-гидравлической рулевой машины ракетных блоков

Данная статья является продолжением работы [1] и содержит результаты разработки методов статического анализа, включающего итерационные методы расчета статических характеристик автономных однокаскадных электро-гидравлических рулевых машин (РМ) с четырехдроссельным электрогидрав-лическим усилителем (ЭГУ), предназначенных для проведения параметрической оптимизации и основанных на применении итерационных методов решения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений модифицированным методом Зейделя. Рулевая машина данного типа была разработана для ракеты-носителя Н1 и нашла применение в разгонных блоках типа Д и ДМ [2].

Состав статических характеристик, факторы, оказывающие на них существенное влияние, и принципы, положенные в основу разработки методов статического анализа РМ, приведены в работе [1]. Расчетная схема принятой к разработке методов статического анализа РМ представлена на рис. 1, а расчетная схема ее ЭГУ — на рис. 2.

Математические модели статических режимов работы РМ получены из дифференциальных уравнений динамических режимов работы РМ путем приравнивания нулю их старших производных.

Рис. 1. Схема рулевой машины: 1 — поляризованное реле (электромеханический преобразователь); 2 — коромысло; 3 — плоская нагрузочная пружина; 4 — золотниковый плунжер; 5 — предохранительный клапан; 6 — трехшестеренный насос; 7 — входной канал трубопровода; 8 — электродвигатель; 9 — трубопровод; 10 — выходной канал трубопровода; 11 — силовой гидроцилиндр

Рис. 2. Схема электрогидравлического усилителя (ЭГУ) рулевой машины: 1 — поляризованное реле (электромеханический преобразователь); 2 — коромысло; 3 — золотниковый плунжер; 4 — гильза (вращающаяся ось насоса); 5 — полость нагнетания ЭГУ; 6 — круглое отверстие в гильзе; 7 — канал зазора между штоком золотникового плунжера и гильзой; 8 — наливное дроссельное окно; 9 — сливное дроссельное окно; 10 — рабочая полость ЭГУ; 11 — прямоугольное окнообразующее отверстие в гильзе; 12 — канал гильзы; 13 — канал слива

математическая модель статического режима работы и метод расчета силовой характеристики рм

Под силовой характеристикой РМ понимается зависимость усилия, развиваемого силовым гидроцилиндром РМ, от командного тока. Силовую характеристику РМ определяют при условии предположения о заторможенном поршне силового гидроцилиндра, которое выражается соотношениями: V _п =  0;

кт1 т1 кт3 кт4 т2 кт2 ^; р _р1 = р _т1 = р _т3 = р _ц1; р _р2 = р _т2 = р _т4 = р _ц2, где V _п — скорость движения поршня силового гидроцилиндра РМ; Q _кт1, Q _кт2, Q _кт3, Q _кт4 — расходы рабочей жидкости в каналах трубопроводов; Q _т1, Q _т2 — расходы рабочей жидкости в трубопроводах; р ₁, р ₂ — давления в рабочих полостях Э^рГУ; ^р р _т1, р _т2 — давления в началах трубопроводов; р _т3, р _т4 — давления в концах трубопроводов; р _ц1, р _ц2 — давления в полостях силового гидроцилиндра РМ.

Математическая модель статического режима работы для расчета силовой характеристики включает:

• •    уравнение линейного перемещения золотникового плунжера и ограничения на него, приведенные в работе [1];

• •    уравнения, определяющие угловую скорость вращения вала электродвигателя (вала насоса) и потребляемый электродвигателем ток [3]:

m = ( K 1 - К 2 K 3 - К 2 K5) н ) /(1 + К 2 K 4 Р н.Ун. _с); (1)

I э = ( K 3 ⁺ K 1 K 4^ » + K 5 ) н )/( ¹ + K 2 K P „^ (2) где m — угловая скорость вращения вала электродвигателя; I _э — потребляемый электродвигателем ток; P _hc , v _hc — средние значения плотности и вязкости рабочей жидкости в зазоре клапана; р _н — давление нагнетания; K ₁… K ₉ — здесь и далее — постоянные коэффициенты, определяемые как

K 1 = U э / K ээ ; K 2 = R э / K ээ ;

K 3 = ( M ст.э + M ст.н )/ K мэ ;

K ₄ = [ C _ж bm ²( z + 1)]/(2 K _мэ);

K ₅ = [( C_f + 1) bm ²( z + 1)]/ K _мэ;

K ₆ = bm ²( z + 1) – C_n ; K ₇ = C_рbm ²( z + 1);

K8 = nо 2; K9 = 2, где Uэ — напряжение питания электродвигателя; Rэ — активное сопротивление якорной цепи электродвигателя, определяемое как Rэ = Rэ0 + Ktt, здесь Rэ0— значение активного сопротивления якорной цепи при 20 °С; Kt — температурный коэффициент, t — температура, °С; Kээ — коэффициент электромагнитной скоростной связи электродвигателя; Kмэ — коэффициент моментной характеристики электродвигателя; Mст.э — момент сухого трения движения в электродвигателе; Mст.н — момент сухого трения движения в насосе; Cж — коэффициент жидкостного вязкого трения; Cf — коэффициент сухого трения, обусловленного давлением рабочей жидкости; b — ширина зубчатого венца шестерни насоса; m — модуль зацепления; z — количество зубьев шестерни насоса; Cn — коэффициент утечек, зависящих от скорости вращения вала насоса; Cp — коэффициент утечек, зависящих от перепада давления.

• •    уравнения, определяющие давления в узловых точках ЭГУ РМ (давление в полости нагнетания и давление в рабочих полостях ЭГУ РМ) [4]:

р н = a 4 ^- a ₅ ⁽¹ + a б Р н. ^ХР^Л^Г^ h^{2 -}

• ^- a 7 ^{(1 +} a 6 P h.c ^V h.c^{)(1/ K} вк.м^ Vl P н   P pj ^X

X Vl P н - P р2| Sign(P н - P p2) - a 8(1 + a бРн.^нХ X x ^к5кVvW Vx;         (3)

p p1 = ( K вк.м3 p н )( K вк.м1 + K вк.м3 ); (4)

p _p2 = ( K _вк.м4 p _н)( K _вк.м2 + K _вк.м4), (5) где a ₄… a ₈ — постоянные коэффициенты, определяемые как а ₄ = ( K ₁ – K ₂ K ₃)/( K ₂ K ₅); а ₅ = K ₇/( K ₂ K ₅ K ₆); а ₆ = K ₂ K ₄; а ₇ = K ₈/( K ₂ K ₅ K ₆); а 8 = K 9 /( K 2 K 5 K 6 ); K вк.м1 , K вк.м2 , K вк.м3 , K _вк.м4 — коэффициенты квадратичного вязкого трения комплексных магистралей нагнетания и слива ЭГУ РМ, определяемые следующим образом [4]:

K вк.м1    ⁽ a 9 ⁺ a 10 ^ кн1 ^{) Р} н.н1 ⁺

⁺ a 13 ^(1/PL⁾ Р н1 . 1 ^{+ (} a 11 ⁺ a Az> z 1. z 3 ⁺

+ a 14^^15 2о1)]Р z 3.р1;(6)

^K вк.м2    ⁽ a 9 ⁺ a 10 ^ кн2 ^{) Р} н.н2 ⁺

⁺ a 13 ^(1/Ро г2 ) Р

н2 .z 2

^{+ (} a 11 ⁺ a 12 Х к z 2 ^{) p} z 2. z 4

+

+ a 14[1/(ц^522)]Р z 4.р2;(7)

^K вк.м3    ⁽ a 15 ⁺ a 16 ^ кг1 ^{) Р} г1.г3 ^{+ (} a 17 ⁺ a 18 ^ кс1 ^{) Р} г3.с ⁺

+ a 14^^о3523)]РрШ;(8)

K вк.м4    ⁽ a 15 ⁺ a 16 ^ кг2 ^{) р} г2.г4 ^{+ (} a 17 ⁺ a 18 ^ кс2 ^{) Р} г4.с ⁺

+ a 14[1/(р2о45\)|Р.. .-(9)

где р _нн1, р _нн2 — средние значения плотности рабочей жидкости в каналах нагнетания; Р _{н1 1}, P _{h2 z 2} — средние значения плотности рабочей жидкости в отверстиях гильз;

Р z _{1 z} 3 , Р z_{2 z} 4 — средние значения плотности рабочей жидкости в полостях между штоками золотниковых плунжеров и гильзами; р z _3р1, р z _4р2 — средние значения плотности рабочей жидкости в нагнетательных дроссельных окнах; Р _г1г3, Р _г2г4 средние значения плотности рабочей жидкости в каналах гильз; р _г3с, р _г4с — средние значения плотности рабочей жидкости в каналах слива; Р _р1г1, Р _р2г2 — средние значения плотности рабочей жидкости в сливных дроссельных окнах; a ₉… a ₁₈  — постоянные коэффициенты,

n определяемые как a9 = ^ZKHi/(2S|н);

n а10 = lкн/(2dкнS2кн); a11 = Σζкz.i/(2S2кz);

=1

а 12 = l к z /(2 δ к z S ² к z ); а 13 = 1/(2 m ² ог S ² ог );

n а 14 = 1/(2 n о); a 15 = ^/(2 Sкг);

n а 16 = 1„/(2dкгSкг); a 17 = ,=^„/(2Sкс);

а18 = lкс/(2aксS2кс), n         n         n         n где 5Zkh.i, 5ZKr.i, г§Zкс.i, Жz.i — суммы, СоОТветственно, коэффициентов местных гидравлических сопротивлений, обусловленных изменениями параметров русла каналов нагнетания, гильз, слива и зазоров между штоками золотниковых плунжеров и гильзами, каналов гильз и каналов слива; lкн, lкг, lкс, lкz — длины, соответственно, каналов нагнетания, гильз, слива и зазоров между штоками золотниковых плунжеров и гильзами; Sкн, Sкг, Sкс, Sкz — площади проходных сечений, соответственно, каналов нагнетания, гильз, слива и зазоров между штоками золотниковых плунжеров и гильзами; dкн, dкг — диаметры, соответственно, каналов нагнетания и каналов гильз; δкz — гидравлический диаметр канала зазора между штоком золотникового плунжера и гильзой; mог — количество нагнетательных отверстий в гильзе; Sог — площадь проходного сечения нагнетательного отверстия в гильзе (Sог = πd2ог/4, здесь dог — диаметр нагнетательного отверстия в гильзе); aкс — значение стороны квадратного сечения канала слива; µог1, µог2 — коэффициенты расхода нагнетательных отверстий в гильзе, определяемые в соответствии с описанными в работах [4–7] выражениями, которые удобно представить в виде следующих функциональных зависимостей:

µ _ог1 = µ _о( р _н1, р_{z 1}, ρ _{н1. z 1}, ν _{н1. z 1}, S _ог, П_ог, δ _ог, ξ _ог1);    (10)

µ _ог2 = µ _о( р _н2, р_{z 2}, ρ _{н2. z 2}, ν _{н2. z 2}, S _ог, П_ог, δ _ог, ξ _ог2),       (11)

где П_ог — значение смоченного периметра нагнетательного отверстия в гильзе, определяемого как П_ог = π d _ог; где δ _ог — безразмерный параметр движущегося нагнетательного отверстия в гильзе, определяемый в соответствии с работами [3, 6] выражением δ _ог = ( D _г2 – D _г1)/ d _ог, где D _г2, D _г1 — внешний и внутренний диаметры гильзы, соответственно; ξ _ог1,

ξ _ог2 — безразмерные параметры потоков в движущихся нагнетательных отверстиях гильз, определяемые в соответствии с работами [4, 7] выражениями:

ξ ог1 = [ ω m ог S ог ε ог1 ( D г1 + D г2 )]/(4 Q ог1 ); (12)

ξ ог2 = [ ω m ог S ог ε ог2 ( D г1 + D г2 )]/(4 Q ог2 ), (13) где Q _ог1, Q _ог2 — расходы потоков в нагнетательных отверстиях в гильзе, определяемые как

Q _ог1 = m _ог µ _ог1 S _ог 2/ ρ _{н1. z 1} | р _н1 – р_{z 1}|sign( р _н1 – р_{z 1});

Q _ог2 = m _ог µ _ог2 S _ог 2/ ρ _{н2. z 2} | р _н2 – р_{z 2}|sign( р _н2 – р_{z 2});

ε _ог1, ε _ог2 — коэффициенты сжатия потоков нагнетательных отверстий в гильзе, определяемые, согласно работам [4, 6, 7], функциональными зависимостями:

ε _ог1 = ε _о( р _н1, р_{z 1}, ρ _{н1. z 1}, ν _{н1. z 1}, S _ог, П_ог, δ _ог, ξ _ог1); (14)

ε _ог2 = ε _о( р _н2, р_{z 2}, ρ _{н2. z 2}, ν _{н2. z 2}, S _ог, П_ог, δ _ог, ξ _ог2); (15)

λ _кн1, λ _кн2, λ _{к z 1}, λ _{к z 2}, λ _кг1, λ _кг2, λ _кс1, λ _кс2 — коэффициенты гидравлических потерь на трение по длине, соответственно, каналов нагнетания и каналов зазоров между штоками золотниковых плунжеров и гильзами, каналов гильз и каналов слива, определяемые в соответствии с работой [4] функциональными зависимостями:

λ _кн1 = λ _к( p _н, p _н1, ρ _н1.н, ν _н1.н, d _кн, l _кн, η _кн, ξ _кн.1, …, ξ _{кн. n} ); (16) λ _кн2 = λ _к( p _н, p _н2, ρ _н2.н, ν _н2.н, d _кн, l _кн, η _кн, ξ _кн.1, …, ξ _{кн. n} ); (17) λ _{к z 1} = λ _к( p_{z 1}, p_{z 3}, ρ _{z 1. z 3}, ν _{z 1. z 3}, d _{к z} , l _{к z} , η _{к z} , ξ _{к z .1}, …, ξ _{к z.n} ); (18) λ _{к z 2} = λ _к( p_{z 2}, p_{z 4}, ρ _{z 2. z 4}, ν _{z 2. z 4}, d _{к z} , l _{к z} , η _{к z} , ξ _{к z .1}, …, ξ _{к z.n} ); (19) λ _кг1 = λ _к( p _г1, p _г3, ρ _г1.г3, ν _г1.г3, d _кг, l _кг, η _кг, ξ _кг.1, …, ξ _{кг. n} ); (20) λ _кг2 = λ _к( p _г2, p _г4, ρ _г2.г4, ν _г2.г4, d _кг, l _кг, η _кг, ξ _кг.1, …, ξ _{кг. n} ); (21) λ _кс1 = λ _к( p _г3, p _с, ρ _г3.с, ν _г3.с, α _кс, l _кс, η _кс, ξ _кс.1, …, ξ _{кс. n} ); (22) _{λ кс2} = λ _к( p _г4, p _с, ρ _г4.с, ν _г4.с, α _кс, l _кс, η _кс, ξ _кс.1, …, ξ _{кс. n} ), (23) где p _г1, p _г2, p _г3, p _г4 — давления в полостях гильз ЭГУ; p _н1, p _н2 — давления в полостях перед нагнетательными отверстиями гильз; p_{z 1}, p_{z 2}, p_{z 3}, p_{z 4} — давления в началах и концах полостей между штоками золотниковых плунжеров и гильзами; η _кн, η _кz , η _кг, η _кс — относительные шероховатости внутренних поверхностей, соответственно, каналов нагнетания, каналов зазоров между штоками золотниковых плунжеров и гильзами, каналов гильз и каналов слива;

^ξ кн.1 ^{, …, ξ} кн. n ^{; ξ} кг.1 ^{, …, ξ} кг. n ^{; ξ} кс.1 ^{, …, ξ} кс. n ^; ξ _{к z .1}, …, ξ _{к z.n} — характерные изменения параметров русла каналов нагнетания, гильз, слива и зазоров между штоками золотниковых плунжеров и гильзами; ν z 3. р 1 ^, ν z 4. р 2 ^, ν г1.г3 ^, ν г2.г4 ^, ν г3.с ^, ν г4.с ^, ν р1.г1 ^, ν _р2.г2 — средние значения кинематической вязкости рабочей жидкости, соответственно, в нагнетательных дроссельных окнах, каналах гильз, каналах слива и в сливных дроссельных окнах; µ _о1, µ _о2, µ _о3, µ _о4 — коэффициенты расхода дроссельных окон, определяемые в соответствии с работами [4, 7] выражениями, которые удобно представить в виде следующих функциональных зависимостей:

µ _о1 = µ _о( р _z3, р _р1, ρ _{z 3.р1}, ν _{z 3.р1}, S _о1, П_о1, δ _о, ξ _о1); (24) µ _о2 = µ _о( р_{z 4}, р _р2, ρ _{z 4.р2}, ν _{z 4.р2}, S _о2, П_о2, δ _о, ξ _о2); (25) µ _о3 = µ _о( р _р1, р _г1, ρ _р1.г1, ν _р1.г1, S _о3, П_о3, δ _о, ξ _о3); (26) µ _о4 = µ _о( р _р2, р _г2, ρ _р2.г2, ν _р2.г2, S _о4, П_о4, δ _о, ξ _о4), (27) где S _о1, S _о2, S _о3, S _о4 — площади проходных сечений дроссельных окон, определяемые как:

S = b L ² + h ² при L – L – Х + Х ≤ L ; о1 о о z о z з0 з о

S о1 = b о ( L о – L z – Х з0 + Х з )² + h z ²

при L _о >  L _о – L_z – Х _з0 + Х _з > 0;     (28)

S _о1 = b _о h_z при L _о – L_z – Х _з0 + Х _з ≤ 0;

S = b L ² + h ² при L – L – Х – Х ≤ L ; о2 о о z          о z з0 з о

5о2 = Ь о V (L о — Lz — Х,0 — Х,) + h при Lо > Lо – Lz – Хз0 – Хз > 0;     (29)

S _о2 = b _о h_z при L _о – L_z – Х _з0 – Х _з ≤ 0;

S = b L ² + h ² при Х – Х ≤ L ; о3 о о z           з0 з о

S о3 = b о ( Х _з0 – Х _з)² + h_z ² при L о >  Х з0 – Х з > 0; (30)

S _о3 = b _о h_z при Х _з0 – Х _з ≤ 0;

S = b L ² + h ² при Х + Х ≤ L ; о4 о о z            з0 з о

⁵ 04 - b о V ( Х „⁺ Х , )^{2 +} h z при L о >  Х зо ⁺ Х . > °; (31)

Sо4 = bоhz при Хз0 + Хз ≤ 0, где Lо — высота прямоугольного окнообразующего отверстия в гильзе; Lz — длина пояска золотникового плунжера; bо — ширина прямоугольного окнообразующего отверстия в гильзе; hz — величина зазора между пояском золотникового плунжера и гильзой; Хз0 — начальное открытие третьего и четвертого дроссельных окон; Хз — перемещение золотникового плунжера; По1, По2, По3, По4 — смоченные периметры дроссельных окон, определяемые выражениями:

П = 2( b + L ² + h ²) при L – L – Х + Х ≤ L ; о1          о         о z             о z з0 з о

П о1 = 2[ b о +  ( L о – L z – Х з0 + Х з )² + h z ²]

при Lо > Lо – Lz – Хз0 + Хз > 0;(32)

П о1 = 2( b о + h z ) при L о – L z – Х з0 + Х з ≤ 0;

П о2 = 2( b о + L _о² + h_z ²) при L о – L z – Х з0 – Х з ≤ L о ;

I - 2[ b о + V <  L о — L z - Х ,0 — Х , ) ⁺ h ; ]

при Lо > Lо – Lz – Хз0 – Хз > 0;(33)

П о2 = 2( b о + h z ) при L о – L z – Х з0 – Х з ≤ 0;

П о3 = 2( b о + L _о² + h_z ²) при Х з0 – Х з ≤ L о ;

П о3 = 2[ b о + ( Х _з0 – Х _з)² + h_z ²]

при Lо > Хз0 – Хз > 0;(34)

П о3 = 2( b о + h z ) при Х з0 – Х з ≤ 0;

П о4 = 2( b о + L _о² + h_z ² ) при Х з0 + Х з ≤ L о ;

^П о4 = ²[^Ь о ⁺ V < ^Х ,0 ^{+ Х} , )^{2 +} h Z ]

при Lо > Хз0 + Хз > 0;(35)

П о4 = 2( b о + h z ) при Х з0 + Х з ≤ 0;

где δо — безразмерный параметр движущихся дроссельных окон, определяемый выражением [4, 7] δо = (Dг2 – Dг1)/(2bо); ξо1, ξо2, ξо3, ξо4 — безразмерные параметры потоков в движущихся дроссельных окнах [3, 6]:

ξо1 = [ωnоSо1εо1(Dг1 + Dг2)]/(4Qо1);(36)

ξо2 = [ωnоSо2εо2(Dг1 + Dг2)]/(4Qо2);(37)

ξо3 = [ωnоSо3εо3(Dг1 + Dг2)]/(4Qо3);(38)

ξо4 = [ωnоSо4εо4(Dг1 + Dг2)]/(4Qо4),(39)

где ε _о1, ε _о2, ε _о3, ε _о4 — коэффициенты сжатия потоков в дроссельных окнах, определяемые функциональными зависимостями [4, 7]:

εо1 = εо(рz3, рр1, ρz3.р1, νz3.р1, Sо1, По1, δо, ξо1);(40)

εо2 = εо(рz4, рр2, ρz4.р2, νz4.р2, Sо2, По2, δо, ξо2);(41)

εо3 = εо(рр1, рг1, ρр1.г1, νр1.г1, Sо3, По3, δо, ξо3);(42)

εо4 = εо(рр2, рг2, ρр2.г2, νр2.г2, Sо4, По4, δо, ξо4);(43)

Q _о1, Q _о2, Q _о3, Q _о4 — расходы рабочей жидкости через дроссельные окна ЭГУ [4, 7], определяемые как

Q _о1 = n _о µ _о1 S _о1 2/ ρ _{z 3.р1} | р_{z 3} – р _р1|sign( р_{z 3} – р _р1); (44)

Q o2 = n о ^ о2 ⁵ 02V ^2/ P z 4.р2 V ^р 4 ^- P р2 sign^ z 4 ^- Р р2 ^ ⁽⁴⁵⁾

Q _о3 = n _о µ _о3 S _о3 2/ ρ _р1.г1 | р _р1 – р _г1|sign( р _р1 – р _г1); (46)

Q _о4 = n _о µ _о4 S _о4 2/ ρ _р2.г2   | р _р2 – р _г2|sign( р _р2 – р _г2); (47)

• •    уравнения, определяющие давления перед круглыми отверстиями гильз [4]:

p _н1 = 〈 { a ₁₃(1/ µ ²_ог1) ρ _{н1. z 1} + ( a ₁₁ + a ₁₂ λ _{к z 1}) ρ _{z 1. z 3} +

+ a ₁₄[1/( µ ²_о1/ S _о²₁)] ρ _{z 3.р1}} р _н + ( a ₉ + a ₁₀ λ _кн1) ρ _н.н1 р _р1 〉 / /{ a ₁₃(1/ µ ²_ог1) ρ _{н1. z 1} + ( a ₁₁ + a ₁₂ λ _{к z 1}) ρ _{z 1. z 3} +

+a 14 [1/( µ ² о1 / S о ² 1 )] ρ z 3.р1 + ( a 9 + a 10 λ кн1 ) ρ н.н1 }; (48)

p _н2 = 〈 { a ₁₃(1/ µ ²_ог2) ρ _{н2. z 2} + ( a ₁₁ + a ₁₂ λ _{к z 2}) ρ _{z 2. z 4} +

+ a ₁₄[1/( µ ²_о1/ S _о²₁)] ρ _{z 4.р2}} р _н + ( a ₉ + a ₁₀ λ _кн2) ρ _н.н2 р _р2 〉 / /{ a ₁₃(1/ µ ²_ог2) ρ _{н2. z 2} + ( a ₁₁ + a ₁₂ λ _{к z 2}) ρ _{z 2. z 4} +

+ a 14 [1/( µ ² о2 / S о ² 2 )] ρ z 4.р2 + ( a 9 + a 10 λ кн2 ) ρ н.н2 }; (49)

• •    уравнения, определяющие давления за круглыми отверстиями гильз [4]:

P_{z 1} = 〈 {( a ₁₁ + a ₁₂ λ _{к z 1}) ρ _{z 1. z 3} + a ₁₄[1/( µ ²_о1/ S _о²₁)] ρ _{z 3.р1}} р _н + + { a ₁₃(1/ µ ²_ог1) ρ _{н1. z 1} + ( a ₉ + a ₁₀ λ _кн1) ρ _н.н1} р _р1 〉 / /{ a ₁₃(1/ µ ²_ог1) ρ _{н1. z 1} + ( a ₁₁ + a ₁₂ λ _{к z 1}) ρ _{z 1. z 3} +

+ a 14 [1/( µ ² о1 / S о ² 1 )] ρ z 3.р1 + ( a 9 + a 10 λ кн1 ) ρ н.н1 }; (50)

P z 2 = 〈 {( a 11 + a 12 λ к z 2 ) ρ z 2. z 4 + a 14 [1/( µ ² о1 / S о ² 1 )] ρ z 4.р2 } р н + + { a ₁₃(1/ µ ²_о1) ρ _{н2. z 2} + ( a ₉ + a ₁₀ λ _кн2) ρ _н.н2} р _р2 〉 / /{ a ₁₃(1/ µ ²_о1) ρ _{н2. z 2} + ( a ₁₁ + a ₁₂ λ _{к z 2}) ρ _{z 2. z 4} +

+ a 14 [1/( µ ² о1 / S о ² 2 )] ρ z 4.р2 + ( a 9 + a 10 λ кн2 ) ρ н.н2 }; (51)

• •    уравнения, определяющие давления в концах каналов зазоров между штоками золотниковых плунжеров и гильзами [4]:

P_{z 3} = 〈 a ₁₄[1/( µ ²_о1/ S _о²₁)] ρ _{z 3.р1} р _н + {( a ₉ + a ₁₀ λ _кн1) ρ _н.н1 +

+ ( a ₁₁ + a ₁₂ λ _{к z 1}) ρ _{z 1. z 3} + a ₁₃(1/ µ ²_ог1) ρ _{н1. z 1}} р _р1 〉 /

/{ a ₁₃(1/ µ ²_ог) ρ _{н1. z 1} + ( a ₁₁ + a ₁₂ λ _{к z 1}) ρ _{z 1. z 3} +

+ a 14 [1/( µ ² о1 / S о ² 1 )] ρ z 3.р1 + ( a 9 + a 10 λ кн1 ) ρ н.н1 };   (52)

P z 4 = 〈 a 14 [1/( µ ² о2 / S о ² 2 )] ρ z 4.р2 р н + {( a 9 + a 10 λ кн2 ) ρ н.н2 +

+( a ₁₁ + a ₁₂ λ _{к z 2}) ρ _{z 2. z 4} + a ₁₃(1/ µ ²_ог2) ρ _{н2. z 2}} р _р2 〉 /

^{/{ a} 13 ^{(1/ µ 2} ог2 ^{) ρ} н2. z 2

+ ( a ₁₁ + a ₁₂ λ _{к z 2}) ρ

z 2. z 4

+

+ a 14 [1/( µ ² о2 / S о ² 2 )] ρ z 4.р2 + ( a 9 + a 10 λ кн2 ) ρ н.н2 }; (53)

• •    уравнения, определяющие давления в началах каналов гильз и давления между каналами гильз и каналами слива, приведенные в работе [1];

• •    уравнение гидростатической силы, действующей на золотниковые плунжеры [4]:

F _гс = а ₁₉( p_{z 4} – p_{z 3} – p_{z 2} + p_{z 1}) + а ₂₀( p _г2 – p _г1), (54) где а ₁₉ = S ₁₂ — площадь наливного торца пояска золотникового плунжера; а ₂₀ = S ₃₄ — площадь сливного торца пояска золотникового плунжера;

• • уравнение стационарной гидродинамической силы, действующей на золотниковые плунжеры [4]

F _гдс = µ ² _о1 S _о²₁( p_{z 3} – p _р1){[ а ₂₁cos( β _о1)]/

/( S _о1 ε _о1) – а ₂₂( ρ _{z 1. z 3} / ρ _{z 3.р1})} – µ ² _о3 S _о²₃( p _р1 – p _г1) ×

× {[ а ₂₁cos( β _о3)]/( S _о3 ε _о3) – а ₂₃( ρ _г1.г3/ ρ _р1.г1)} – – µ ² _о2 S _о²₂( p_{z 4} – p _р2){[ а ₂₁cos( β _о2)]/( S _о2 ε _о2) –

– а ₂₂( ρ _{z 2. z 4}/ ρ _{z 4.р2})} + µ ² _о4 S _о²₄( p _р4 – p _г4){[ а ₂₁cos( β _о4)]/

/( S _о4 ε _о4) – а ₂₃( ρ _г2.г4/ ρ _р2.г2)},         (55)

где а ₂₁ … а ₂₃ — постоянные коэффициенты: а ₂₁ = 2 n _о; а ₂₂ = (2 n _о)/ S ₁₂; а ₂₃ = (2 n _о)/ S ₃₄; β _о1, β _о2, β _о3, β _о4 — углы истечения потоков рабочей жидкости в сечениях дроссельных окон золотникового гидрораспределителя, определяемые в соответствии с работами [4, 5] следующими функциональными зависимостями:

βо1 = βо(χо1, δо, ξо1, hz, Reо1);(56)

βо2 = βо(χо2, δо, ξо2, hz, Reо2);(57)

βо3 = βо(χо3, δо, ξо3, hz, Reо3);(58)

βо4 = βо(χо4, δо, ξо4, hz, Reо4),(59)

здесь χ _о1, χ _о2, χ _о3, χ _о4 — относительные открытия дроссельных окон [4, 5]:

χо1 = (Lо – Lz – Хз0 + Хз)/hz;(60)

χо2 = (Lо – Lz – Хз0 – Хз)/hz,(61)

χо3 = (Хз0 – Хз)/hz;(62)

χо4 = (Хз0 + Хз)/hz,(63)

Reо1, Reо2, Reо3, Reо4 — числа Рейнольдса потоков в дроссельных окнах, определяемые в соответствии с работами [4, 7] следующим образом:

Reо1 = Re(рz3, рр1, ρz3.р1, νz3.р1, Sо1, По1, δо, ξо1);(64)

Reо2 = Re(рz4, рр2, ρz4.р2, νz4.р2, Sо2, По2, δо, ξо2);(65)

Reо3 = Re(рр1, рг1, ρр1.г1, νр1.г1, Sо3, По3, δо, ξо3); (66) Reо4 = Re(рр2, рг2, ρр2.г2, νр2.г2, Sо4, По4, δо, ξо4);(67)

• • уравнение гидравлической силы, действующей на золотниковые плунжеры

Fг = Fгс + Fгдс;(68)

• • уравнение   перемещения.   затвора

предохранительного клапана [8]

Y = [а – а (µ2S /ε ) + а µ2S2]р – а ,(69)

к 24     25 к к к 26 к к н 27

где ε _к — коэффициент сжатия потока в клапане, как и коэффициент расхода µ _к, определяемые в соответствии с работой [8] как

εк = εк(рн, рс, ρн.с, νн.с, Sк, Yк);(70)

µк = µк(рн, рс, ρн.с, νн.с, Sкн, Yк);(71)

S _к — площадь проходного сечения предохранительного клапана, определяемая следующим выражением [8]:

Sк = {πYкsin(Θ)[dш + Yкsin(Θ/2)]}/2,(72)

где Y _к — перемещение затвора клапана; Θ — угол конусности седла клапана; d _ш — диаметр шарика затвора клапана; а ₂₄… а ₂₇ — постоянные коэффициенты, определяемые как а ₂₄ = π d _к²/4 K _п; а ₂₅ = [2cos( Θ /2)]/ K _п; а ₂₆ = 8/( π d _к ² K _п); а ₂₇ = h ₀; здесь K _п — коэффициент упругости пружины клапана; d _к — диаметр подводной магистрали клапана; h ₀ — начальное поджатие пружины клапана.

На перемещение затвора предохранительного клапана налагается ограничение

0 ≤ | Y _к| ≤ Y ^m_к^ax,           (73)

где Y ^m_к^ax — максимальное перемещение затвора предохранительного клапана;

• •    уравнение расхоДа рабочей жиДко-сти, протекающей через предохранительный клапан [8]

Q = И к 5 к V2/ P HC ; (74)

• •    уравнения плотности и кинематической вязкости рабочей жидкости в полостях ЭГУ РМ, представленные функциональными зависимостями :

ρ _н = ρ ( t , р _н); ρ _с = ρ ( t , р _с); ρ _н1 = ρ ( t , р _н1); ρ _н2 = ρ ( t , р _н2); ρ _{z 1} = ρ ( t , р_{z 1}); ρ _{z 2} = ρ ( t , р_{z 2});

ρ _{z 3} = ρ ( t , р_{z 3}); ρ _{z 4} = ρ ( t , р_{z 4});       (75)

ρ _р1 = ρ ( t , р _р1); ρ _р2 = ρ ( t , р _р2); ρ _г1 = ρ ( t , р _г1); ρ _г2 = ρ ( t , р _г2);

ν _н = ν ( t , р _н); ν _с = ν ( t , р _с);

ν _н1 = ν ( t , р _н1); ν _н2 = ν ( t , р _н2);

ν _{z 1} = ν ( t , р_{z 1}); ν _{z 2} = ν ( t , р_{z 2});        (76)

ν _{z 3} = ν ( t , р_{z 3}); ν _{z 4} = ν ( t , р_{z 4});

^ν р 1

= ν ( t , р _р1); ν _р2 = ν ( t , р _р2);

νг1 = ν(t, рг1); νг2 = ν(t, рг2), где t — температура рабочей жидкости, а их средние значения определяются следующими выражениями [4]:

ρ _н1.н = ( ρ _н1 + ρ _н)/2; ρ _н2.н = ( ρ _н2 + ρ _н)/2;

ρ _{н1. z 1} = ( ρ _н1 + ρ _{z 1})/2; ρ _{н2. z 2} = ( ρ _н2 + ρ _{z 2})/2;

ρ _{z 1. z 3} = ( ρ _{z 1} + ρ _{z 3})/2; ρ _{z 2. z 4} = ( ρ _{z 2} + ρ _{z 4})/2;

ρ z 3.р1 = ( ρ z 3 + ρ р1 )/2; ρ z 4.р2 = ( ρ z 4 + ρ р2 )/2;      (77)

ρ р1.г1

= ( ρ _р1 + ρ _г1)/2; ρ _р2.г2 = ( ρ _р2 + ρ _г2)/2;

ρ _г1.г3 = ( ρ _г1 + ρ _г3)/2; ρ _г2.г4 = ( ρ _г2 + ρ _г4)/2;

ρ _н.с = ( ρ _н + ρ _с)/2; ρ _г3.с = ( ρ _г3 + ρ _с)/2;

ρ _г4.с = ( ρ _г4 + ρ _с)/2;

ν _н1.н = ( ν _н1 + ν _н)/2; ν ν _{н1. z 1} = ( ν _н1 + ν _{z 1})/2; ν

= ( ν _н2 + ν _н)/2;

= ( ν н2 + ν z 2 )/2;

н2.н

н2. z 2

ν

z 1. z 3 = ( ν z 1 + ν z 3 )/2; ν z 2 .z 4 = ( ν z 2 + ν z 4 )/2;    (78)

ν _{z 3.р1} = ( ν _{z 3} + ν _р1)/2; ν _{z 4.р2} ν _р1.г1 = ( ν _р1 + ν _г1)/2; ν _р2.г2

( ν _{z 4} + ν _р2)/2;

( ν р2 + ν г2 )/2;

( ν г2 + ν г4 )/2.

ν г1.г3

= ( ν _г1 + ν _г3)/2; ν _г2.г4

Метод расчета силовой характеристики РМ с четырехдроссельным ЭГУ заключается в последовательном решении системы нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений, определяющих перемещение золотникового плунжера с учетом ограничения, приведенного в работе [1], перемещения затвора клапана (69) с учетом ограничения (72), а также давлений в узловых точках — в полости нагнетания (3) и в рабочих полостях ЭГУ РМ (4) и (5) методом, указанным в работе [1], при изменении командного тока Iк от нуля до Iк.max с шагом hi, с последующим вычислением усилия F, развиваемого силовым гидроцилиндром РМ, по выражению

F = S п ( р р1 – р р2 ) – F п – F тр , (79) где F _тр — сила сухого трения в силовом гидроцилиндре РМ; F _п — противодействующая нагрузка на штоке силового гидроцилиндра РМ.

При этом на каждой итерации вычисляются параметры по уравнениям (1) – (4), (6) – (68), (70), (71), (73), (74), а также уравнения, определяющие давления в началах каналов гильз и давления между каналами гильз и каналами слива, приведенные в работе [1], а перед входом в итерационный процесс при каждом новом значении командного тока I _к вычисляются значения плотности и кинематической вязкости рабочей жидкости в полостях ЭГУ РМ по выражениям (75), (76) и их средние значения — по выражениям (77), (78).

При отрицательных вычисляемых значениях усилия F , развиваемого силовым гидроцилиндром РМ, они обнуляются.

Здесь и далее при входе в итерационный процесс на каждом следующем шаге по командному току в качестве начальных значений вычисляемых параметров используются значения этих параметров, полученные на предыдущем шаге.

математическая модель статического режима работы и метод расчета скоростной характеристики рм

Под скоростной характеристикой РМ понимается зависимость скорости движения ее выходного штока под нагрузкой от командного тока. Скоростную характеристику РМ определяют из условия предположения о неразрывности потоков, из которого следует, что [7]

Qкт1 = Qт1 = Qкт3 = Qкт4 = Qт2 = Qкт2 = Qт, где Qт — обобщенный расход рабочей жидкости между рабочими полостями ЭГУ РМ; Qкт1, Qкт2, Qкт3, Qкт4, Qт1, Qт2 — расходы рабочей жидкости через, соответственно, каналы трубопроводов и сами трубопроводы.

Математическая модель статического режима работы для расчета скоростной характеристики включает уравнения (1) – (3), (6) – (78), а также

• •    уравнения давлений в рабочих полостях ЭГУ РМ

p pi = K .. к¹ О *

х Vl р н ^- р pi l sig ⁿ⁽ p н ^- p pi ^{) —} Q т ] 2 ;        ⁽ 8 ⁰⁾

p p2 = ^K вк.м4 ^[(1/V K BKM2 ) Vl Р н ^— Р р2 1 ^х

• ^х    sig ⁿ⁽ p н ^- p р2 ) + Q m ]²; ⁽⁸¹⁾ а также приведенные в работе [1]:

• •    уравнение линейного перемещения золотникового плунжера и ограничения на него;

• •    уравнения, определяющие давления в началах каналов гильз и давления между каналами гильз и каналами слива;

• •    уравнения падений давления по длине комплексных трубопроводов;

• •    уравнения падений давлений по длине каналов и трубопроводов и выражения для коэффициентов гидравлических потерь на трение по длине, соответственно, каналов трубопроводов и самих трубопроводов;

• •    уравнение скорости движения поршня РМ V _п с выражением для коэффициента квадратичного вязкого трения;

• •    уравнения падения давлений по длине комплексных трубопроводов;

• •    уравнения давлений в полостях трубопроводов и силового гидроцилиндра;

• •    уравнение расхода через комплексный трубопровод;

• •    уравнения для плотности и кинематической вязкости рабочей жидкости в полостях силового гидроцилиндра РМ и в полостях трубопроводов и выражения для их средних значений.

Метод расчета скоростной характеристики РМ с четырехдроссельным ЭГУ заключается в последовательном решении системы нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений, определяющих перемещение золотникового плунжера с учетом ограничения, приведенных в работе [1], перемещения затвора клапана (69) с учетом ограничения (72), а также давлений в узловых точках (в полости нагнетания (3) и в рабочих полостях ЭГУ РМ (80), (81)) и скорости движения поршня РМ Vп с учетом ограничений, приведенных в работе [1], методом, указанным в ней, при изменении командного тока Iк от нуля до Iк.max с шагом hi.

При этом на каждой итерации вычисляются параметры по уравнениям (1)–(3), (6)–(68), (70), (71), (73), (74), а также — по уравнениям, определяющим давления в началах каналов гильз и давления между каналами гильз и каналами слива, по уравнениям падений давлений по длине каналов и трубопроводов и по выражениям для коэффициентов гидравлических потерь на трение по длине, соответственно, каналов трубопроводов и самих трубопроводов, по уравнениям падения давлений по длине комплексных трубопроводов, по уравнениям давлений в полостях трубопроводов и силового гидроцилиндра, по уравнению расхода через комплексный трубопровод, приведенным в работе [1], а перед входом в итерационный процесс при каждом новом значении командного тока Iк вычисляются значения плотности и кинематической вязкости рабочей жидкости в полостях ЭГУ РМ по уравнениям (75), (76) и их средние значения по выражениям (77), (78), а также вычисляются значения по уравнениям для плотности и кинематической вязкости рабочей жидкости в полостях силового гидроцилиндра РМ и в полостях трубопроводов и по выражениям для их средних значений, приведенным в работе [1].

При отрицательных вычисляемых значениях скорости поршня силового гидроцилиндра РМ V _п они обнуляются.

апробация разработанных методов статического анализа

Результаты вычислительных экспериментов по определению статических характеристик рулевой машины с четырехдроссельным ЭГУ с отрицательным перекрытием и дроссельными окнами прямоугольной формы представлены на рис. 3.

a)                                   б)                                    в)

г)                                     д)

Рис. 3. Статические характеристики рулевой машины (РМ): а — семейство зависимостей V _П = f(I _к ) при их нагрузках на штоке РМ 0, 1 000 и 2 200 Н, напряжении питания 27 Ви температуре 20 ° С; б — зависимость F П = f (I к ) при напряжении питания 27 Ви температуре 20 ° С; в — семейство зависимостей I _Э = f (I к ) при противодействующих нагрузках на штоке РМ 0, 1 000 и 2 200 Н и заторможенном поршне при напряжении питания 27 В, температуре 20 ° С; г — семейство зависимостей F Г = f(Х З ) при противодействующих нагрузках на штоке РМ 0, 1000 и 2 200 Н и заторможенном поршне при напряжении питания 27 В и температуре 20 ° С; д — зависимости V П = f (I к ) при противодействующей нагрузке на штоке РМ 1000 Н, напряжении питания 23 В и температуре 50 ° С, а также при напряжении питания 34 В и температуре -50 ° С

Примечание . линия — расчет; точка — эксперимент.

Как видно из рис. 3, расчетные графики и данные экспериментов практически совпадают, что указывает на корректность математических моделей, а также высокую точность и эффективность разработанных итерационных методов статического анализа рулевых машин.

заключение

В итоге описанных в настоящей статье, являющейся продолжением работы [1], разработок и исследований получены следующие основные результаты:

• •    разработаны математические модели статических режимов работы РМ с учетом местных гидравлических сопротивлений каналов и трубопроводов РМ и ее ЭГУ, а также с учетом зависимостей параметров РМ и ее ЭГУ от температуры. Эти модели обеспечивают погрешность вычисления характеристик не более 2% по сравнению с математическими моделями без учета указанных параметров и зависимостей [9], дающими погрешность вычислений до 15%;

• •    разработаны новые итерационные методы статического анализа РМ, включающие методы расчета статических характеристик РМ с учетом местных гидравлических сопротивлений, напряжения питания и температуры с заданной погрешностью вычислений и за минимальное время, и исследована их работоспособность.

Вывод по результатам проведенных в работе исследований: предложенные новые итерационные методы статического анализа РМ, основанные на решении нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений математических моделей статических режимов работы РМ, позволяют проводить расчеты статических характеристик РМ в широких диапазонах температуры и напряжения питания.