Из опыта преподавания. XIX. К 85-летию учебника «Кристаллография» (Попов, Шафрановский, 1941)

На статью (Войтеховский, 2025б) автору поступили вопросы от читателей журнала: 1. Зачем, перечисляя виды симметрии (в. с.), перебирать все сочетания элементов симметрии {L₁, L₂, L₃, L₄, L₆, L_i4, C, P}, ведь изложенный в учебнике (Попов, Шафрановский, 1964, с. 84—88) алгоритм быстро ведет к цели? 2. Почему не принято во внимание авторитетное указание: « Прибегать к сложным представлениям об инверсионных осях следует только в том случае, если никакого другого более простого толкования нельзя найти » (Болдырев, Доливо-Добровольский, 1934, с. 153)? 3. Чем 14 линий семейств (по: Зоркий, 1986, с. 28—37) лучше привычных 7 классов симметрии? 4. Как иерархия линий согласуется с иерархиями классов и в. с.?

На первый вопрос ответим сразу. В поисках в. с. с единичными направлениями мы исходили из того, что ответ неизвестен, тогда как в учебнике алгоритм ведет прямо к известному финалу. При этом пропадает радость открытия. А это важный момент в препода- вании. Кроме того, не надо идеализировать учебник. «Перпендикулярно исходному единичному направлению присоединяется плоскость симметрии П (рис. 66, в). Рассматривать этот случай нет надобности, так как для четных осей, согласно теореме 3, приходим к уже выведенным центральным в. с. ( L2П дает L2ПС, L4П — L4ПС, L6П — L6ПС). Для нечетных осей получаем комбинации, разобранные ниже (L1П = Р, L3П = Li6)» (Попов, Шафрановский, 1964, с. 86).

Ниже читаем: « Единичное направление совмещено с единственной инверсионной осью L_in. До сих пор не рассматривались отдельно в. с. с инверсионными осями. Здесь также можно выделить примитивную серию: L_i1 = С, L_i2 = Р, L_i3 = L₃С, L_i4 → L₂, L_i6 = L₃П. Однако, просматривая данный ряд, находим лишь два в. с., не выведенных ранее: L_i4 → L₂, L_i6 = L₃П » (там же, с. 87). Как же так? В. с. L₃П получен выше и отложен искусственно. Поэтому L_i6 и возникает наряду с L_i4 якобы с необходимостью. Но у них в кристаллографии разный статус.

Инверсии

« Прибегать к сложным представлениям об инверсионных осях следует только в том случае, если никакого другого более простого толкования нельзя найти » (Болдырев, Доливо-Добровольский, 1934, с. 153). Фраза явно ориентирует на максимально простое изложение математической теории студентам с гуманитарным складом ума. Лишь в этом мы видим ее педагогическое оправдание. Но, быть может, у инверсионных осей есть и достоинства? Рассмотрим все инверсии.

Первая — отражение фигуры в плоскости P. Вроде здесь все просто — мы часто видим свое отражение в зеркале. Но в нем правая рука стала левой и наоборот, даже обручальное кольцо переползло1. В матричном описании эта инверсия меняет знак одной координаты точки: (x y z) (1 1 -1)2 = (x y -z) — отражение в плоскости, ортогональной к Z.

Вторая — отражение в прямой линии. Что за странное зеркало-линия? О нем в учебниках обычно не говорят, поскольку это поворот вокруг L2. Оно сохраняет правую руку — правой, левую — левой, меняя знаки двух координат точки: (x y z) (-1 -1 1) = (-x -y z) — поворот на 180° вокруг оси Z.

Третья — отражение в точке. Ее неудачно интерпретируют как отражение в очень маленьком зеркале. Она меняет правое на левое и наоборот, но еще переворачивает фигуру, меняя знаки трех координат точки: (x y z) (-1 -1 -1) = (-x -y -z). Центр инверсии лучше сравнивать с точечной камерой-обскурой.

Но самое интересное — инверсионные оси, которых классики советуют избегать, заменяя композициями. Незаменима лишь L_i4, но и ее достаточно, чтобы говорить об их фундаментальности в кристаллографии. В чем сложность их восприятия? Рассмотрим инверсионно-примитивную серию: L_i1 = С, L_i2 = Р, L_i3 = L₃С, L_i4 → L₂, L_i6 = L₃П. Для нечетных осей: L_i1 — поворот вокруг L₁ (на 360°, его как бы и нет) + инверсия в С, т. е. просто С; L_i3 — поворот вокруг L₃ + инверсия в С, т. е. в точности L₃С.

Для четных осей: Li2 — поворот вокруг L2 + инверсия в точке (центре тяжести — ц. т. — истинного С нет), но в в. с. Р нет L2; Li4 — поворот вокруг L4 + инверсия в ц. т., но в в. с. Li4 нет L4 (есть L2, но она не содержит в себе L4); Li6 — поворот вокруг L6 + инверсия в ц. т., но в в. с. L3П нет L6 (L3 содержится в L6, а не наоборот). Мало того, что элементы симметрии кристалла (Р, Ln, Lin, С), в отличие от его телесных элементов (граней, ребер, вершин), не потрогать (их следует увидеть немалым интеллектуальным усилием), так еще для интерпретации четных инверсионных осей надо увидеть простые оси, не входящие в соответствующие в. с. и отсутствующие в фигуре. Эта трудность и объясняет рекомендацию классиков.

Но этот прием скрывает еще более глубокое содержание инверсионных осей. По сути, всякая инверсия должна мыслиться как единая, цельная, слитная, одноактная операция. Легко представить Li1 = С и Li2 = Р. Но попробуйте вообразить Li3, Li4 и Li6, не отрывая поворот от инверсии в С или ц. т. Картина фантастиче- ская, головокружительная! Космологи утверждают, что так сворачиваются в спирали и просачиваются в черные дыры умирающие галактики, чтобы заново родиться по ту сторону. С той лишь разницей, что в кристаллографии эта процедура должна мыслиться мгновенно как потенция, возможность, характеризующая симметрию фигуры. Преподавание естественно-научной дисциплины в своих предметах должно являть студентам мироздание. Кристаллография — мировоззренческая наука3.

27, 14, 7

По крайней мере с Р. Декарта научное исследование подразумевает синтез и анализ как взаимно дополнительные стратегии научного исследования. Хотя история науки показывает, что анализ дается проще, чем синтез. В обсуждаемой таблице 8 в. с. элементарные: L1, L2, L3, L4, Li4, L6, C, P. Прочие 194 — первый шаг их синтеза в логически замкнутые системы. Объединение в. с. в 7 классов (от примитивного до ин-версионно-планального) или в 14 линий (семейств) — второй шаг, выполненный с меньшей или большей детальностью. Во втором случае проявляется важная роль инверсионных осей. Использованные по максимуму, они порождают 6 линий (табл. 1).

Выясняются и другие интересные моменты. Т. к. в кристаллографии порядок оси — всегда натуральное число, а его четность или нечетность влияют на строение в. с., то полезно ввести обозначения: ∞н, ∞ч, ∞ — какое угодно большое нечетное, четное, любое натуральное число; -∞н, -∞4k-2, -∞4k, -∞ (k = 1, 2, 3…) — то же для инверсионных осей. И тогда вращающемуся цилиндру ∞/m (асимптота центральных в. с. по П. Кюри) строго соответствуют только гранные формы ∞ч/m, т. к. центральные в. с. с нечетными осями (-∞н, линия 9) не содержат плоскость, ортогональную к оси. Аналогично покоящемуся цилиндру ∞/mm (асимптота планаксиальных в. с. по П. Кюри) строго соответствуют только гранные формы ∞ч/mmm. Эти и другие нюансы рассмотрены в статьях (Войтеховский, 2025а; Voytekhovsky, 2025).

Иерархии классов и линий

Иерархия 7 кристаллографических классов (Попов, Шафрановский, 1964, с. 92) проста и следует из алгоритма вывода в. с. (рис. 1). Но и в ней уже проявлена обособленность инверсионных классов. Иерархия 14 линий, к тому же обобщенная на некристаллографические в. с., более разнообразна и богата вложениями, особенно в связи с положением инверсионных линий (рис. 2).

Таблица 1. Виды и линии симметрии

Table 1. Species and lines of symmetry

Сингонии / Syngonies	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Триклинная / Triclinic	1								-1
Моноклинная Monoclinic		(2)	{2/m}	[1m]		(12)				[-2]		{-1m2}
Ромбическая / Rhombic					(2mm)		222	2/mmm					(-2m2)
Тригональная / Trigonal	3			3m		32			-3			-3m2
Тетрагональная Tetragonal		4	4/m		4mm		422	4/mmm			-4			-4m2
	5			5m		52			-5			-5m2
Гексагональная Hexagonal		6	6/m		6mm		622	6/mmm		-6			-6m2
	7			7m		72			-7			-7m2
		8	8/m		8mm		822	8/mmm			-8			-8m2
Предельная группа Limiting group	∞н	00 ч	∞ч/m	∞ н m	∞чmm	oo 2 н	∞ ч 22	∞ч/mmm	-00 н	-∞4k-2	-∞4k	-∞ н m2	-∞4k-2m2	-∞ 4k m2
	∞ вк		вц	∞m пк		∞2 сц		пц	-∞			-∞m2

Примечание: В моноклинной и ромбической сингониях в одинаковых скобках даны эквивалентные обозначения тех же в. с. В этих 4 случаях допустимо их двоякое положение с разным пространственным положением элементов симметрии. Геометрические интерпретации предельных групп П. Кюри: в — вращающийся, п — покоящийся, с — скрученный, к — конус, ц — цилиндр. Прочие пояснения в тексте.

Notes. In the monoclinic and rhombic syngonies, equivalent symbols for the same elements are given in the same brackets. In these 4 cases, the elements can be placed in two different positions, with their different spatial orientation. The geometric interpretations of P. Curie limit groups are as follows: в — rotating, п — stationary, c — twisted, к — cone, ц — cylinder. For other explanation see the text.

Рис. 2. Иерархия линий (семейств). Номера 1—14 соответствуют столбцам табл. 1

Рис. 1. Иерархия классов симметрии. Обозначения: пр — примитивный, и-пр — инверсионно-примитивный, ц — центральный, пл — планальный, ак — аксиальный, и-пл — инверсионно-планальный, пл-ак — планаксиальный

Fig. 1. Hierarchy of symmetry classes. Symbols: пр — primitive, и-пр — inversion-primitive, ц — central, пл — planar, ак — axial, и-пл — inversion-planar, пл-ак — planaxial

Fig. 2. Hierarchy of lines (families). Numbers 1—14 correspond to the columns of Table 1

Соответствия линий и в. с.

Иерархия кристаллографических в. с. хорошо известна (Вайнштейн, 1979). Вложения линий (рис. 2) далее даны жирным шрифтом, вложения соответствующих в. с. (в обозначениях табл. 1) — после двоеточия: 1 → 2 : 1 → (2), 3 → 6; 1 → 4 : 1 → [1m], 3 → 3m; 1 → 6 : 1 → (12), 3 → 32; 1 → 9 : 1 → –1, 3 → –3; 1 → 10 : 1 → [–2], 3 → –6; 2 → 5 : (2) → (2mm), 4 → 4mm, 6 → 6mm; 2 → 7 : (2) → 222, 4 → 422, 6 → 622; 2 → 11 : (2) → –4; 3 → 8 : {2/m} → 2/mmm, 4/m → 4/mmm, 6/m → 6/mmm; 4 → 5 : [1m] → (2mm), 3m → 6mm;

4→12: [1m]→{–1m2}, 3m→–3m2; 4→13: [1m]→(–2m2), 3m→–6m2; 5→14: (2mm)→–4m2; 6→7: (12)→222; 32→622; 6→12: (12)→{–1m2}, 32→–3m2; 6→13: (12)→ (–2m2); 32→–6m2; 7→14: 222→–4m2; 9→3: –1→{2/m}, –3→6/m; 9→12: –1→{–1m2}, –3→–3m2; 10→3: [–2]→ {2/m}, –6→6/m; 10→13: [–2]→(–2m2), –6→–6m2; 11→3: –4→4/m; 11→14: –4→–4m2; 12→8: {–1m2}→2/mmm, –3m2→6/mmm; 13→8: (–2m2)→2/mmm, –6m2→6/mmm; 14→8: –4m2→4/mmm. Вложения в. с. внутри одной ли- нии: 1: 1→3; 2: (2)→4, (2)→6; 3: {2/m}→4/m, {2/m}→6/m; 4: [1m]→3m; 5: (2mm)→4mm, (2mm)→6mm; 6: (12)→32; 7: 222→422, 222→622; 8: 2/mmm→4/mmm, 2/mmm→ 6/mmm; 9: –1→–3; 10: [–2]→–6; 12: {–1m2}→–3m2; 13: (–2m2)→–6m2.

Заключение

Рекомендация избегать инверсионных осей, если это возможно, имеет сугубо прагматическое значение. Их замена на композицию простых осей, плоскостей, истинного и ложного центров инверсии (С и ц. т.) вроде упрощает понимание, но взамен требует видеть в фигурах оси, которых нет в их в. с. : L2 в P = Li2, L4 в Li4, L6 в L3П = Li6. Инверсионные оси симметрии воспринять непросто, особенно в их мгновенной реализации. Зато их максимальное использование позволяет выделить 6 инверсионных линий (всего 14), с более богатой иерархией (структурой вложений), чем у 7 классов. Правильное преподавание предмета состоит в том, чтобы показать весь диапазон возникающих вопросов и, упрощая изложение, не потерять фундаментальный (космический, вселенский) аспект кристаллографии.

Автор благодарит рецензентов за внимательное прочтение статьи и весьма полезные замечания.