Излучение равномерно движущегося зарядаАннотация

Принято считать, что равномерно движущийся заряд не излучает. В то же время известно излучение Черенкова-Вавилова, которое возникает в среде (но не в вакууме) при движении заряда со скоростью, превышающей скорость света в этой среде. Энергия для такого излучения извлекается из среды под действием движущейся в ней частицы. Ниже будет рассмотрено прямолинейное и равномерное движение заряда, который движется в вакууме и у которого нет другого источника энергии, кроме его собственной кинетической энергии. Будет показано, что как из уравнений Максвелла следует, что поток энергии (его излучение) движется вместе с зарядом.

Оглавление

• 1.    Вступление

• 2.    Постановка задачи

• 3.    Решение при z = z₀

• 4.    Решение при z Ф z₀

• 5.    Потоки энергии

• 6.    Выводы Литература

• 1.    Вступление

2. Постановка задачи

Здесь

мы будем использовать метод решения

уравнений

Максвелла,

предложенный в [3].

Рассматриваются

уравнения

Максвелла в

системе СГС следующего вида:

”(^Е) + 757 = ⁰ -

(1)

rot (^H)+^ —^=

0 ,

(2)

div (E) = 4лр ,

(3)

div (H) = 0 ,

(4)

где

• 3. Решение при Z = Zo

  С учетом (9) имеем: 7 + e r - 7a + xe z - W = 0 , ez            M— -~a- xe p 7 ke r = 0 ,

  (44) (45)

  —ё2 — к^ёф =	0 ,			(46)
  + ^ + ёф——а-г      v г	кс	ё 2	0 ,	(47)
  к — + кёт — к — г         '          г	а + к/ё2 =		0 ,	(48)
  —к — а — — ёг = г         с '	0 ,			(49)
  кё2 + £-^ ёф = 0 ,				(50)
  —к — — кёф + к г      v	е т      I — а + г	£О — ёг с	+ —1 = 0 . с	(51)
  Заметим, что уравнения (44) и (51) совпадают при
  4я .      , 4я				(52)
  TJ = —к-р,
  £0)				(53)
  1С = ^
  Из (52) и (6) следует, что
  4я         , 4я				(54)
  — vp = —к — р
  или
  к = —-. с				(55)
  Из (53, 55) следует, что
  о * = — 7 ■				(56)

  —к— — кеф + к —а + — ег = г       р      г       с z	0 .                      (64)
  Заметим, что уравнения (58) и (62) совпадают при
  £Ы   цык
  кс = с ■	(65)
  При этом же условии совпадают уравнения (60) и (64), а также
  уравнения (59, 63). Уравнения (57) и (61) совпадают при условии (55).
  Наконец, уравнения (64) и (68) совпадают. Таким образом, уравнения
  (62, 64, 63, 61) могут быть исключены из	системы уравнений и
  заменены условиями (65, 55). Оставшиеся	4 уравнения (57-60)
  являются системой дифференциальных	уравнений с 3-мя
  неизвестными.
  Решение этой переопределенной	системы уравнений
  существует при
  еz = 0 .	(66)
  При этом из (57, 60) находим
  е р     е г ■	(67)
  Из (57, 66, 67) находим:
  + ег — ^а = 0 г        '      г	(68)

• 5.    Потоки энергии

• 3.    Хмельник С.И. Непротиворечивое решение уравнений Максвелла, “MiC” - Mathematics in Computer Corp., Israel and printed in the USA, Lulu Inc. ID 18555552, ISBN 978-1-32996074-9, 2020, http://doi.org/10.5281/zenodo.3783458

• 4.    Хмельник С.И. Уравнения движения одиночного заряда в вакууме (данный выпуск).

  4. Решение при z Ф z₀

  При этом имеем:

  
  

  ет । •      е —                 п 7 + ёг— 7 а — хё 2 = 0 ,	(57)
  ег                /zo г а + хё ф   7 кё г 0 ,	(58)
  ё 2 + к 5 [ ё г    к с ё ф   0 ,	(59)
  е- + ёф — — а — к — ё2 = 0 , г     у г         с 2	(60)
  к — + кёт — к —а — к/е2 = 0 , г         г         г              2       '	(61)
  —к —а + к/ёщ — — ёт = 0 , г*                   ^у       с г	(62)
  кё 2 к/ё г + 7 ё< Р   0 ,	(63)
  —к — — кёт + к — а -1 ё2 = 0 . г       v      г       с 2	(64)

  
  

Принято считать, что равномерно движущийся заряд не излучает. В то же время известно, что равномерно движущийся заряд излучает в среде (но не в вакууме) – это излучение Черенкова-Вавилова, которое экспериментально наблюдается при движении заряда со скоростью (в среде), превышающей скорость света в этой среде. Это излучение объясняется как излучение среды под действием движущейся в ней частицы [1].

В [4] автор показал, что существует решение уравнений Максвелла для заряда, который движется равномерно в вакууме и НЕ излучает. Ниже такое решение будет получено другим способом и 38

будет показано, что поток энергии заряда, т.е. его излучение, движется вместе с зарядом.

Н, Е   - магнитная и электрическая напряженности соответственно,

J - плотность тока, р - плотность заряда.

Мы будем использовать цилиндрические координаты г, ф, z и рассматривать движение заряда q по оси oz . Будем обозначать как z₀ , z текущую и анализируемую координаты точки соответственно. Заряд q находится в точке z₀ , поэтому плотность заряда определяется через дельта-функцию, т.е.

р = q^S(z o -z) ,                        (5)

J = vp ,                                       (6)

где V - скорость движения заряда.

Для сокращения записи в дальнейшем будем применять следующие обозначения:

co = cos( ap + x • 5(z0 — z)) , si = sin( ap + x* 5(z0 — z)) ,	(7) (8)
где a, x — некоторые константы. При этом dco    „ S = 0 if z = z 0 •	(9)
Представим неизвестные функции в следующем виде:
HT • = hT (r)co ,	(11)
Нф.= h y (r)si ,	(12)
Hz • = hz (r)si ,	(13)
ET •= eT (r)si ,	(14)

Е ф .= е_ф (r)co ,                               (15)

E z .= e_z (r)co ,                                (16)

где

• •    Е г , Е ф , E_z — электрические напряженности,

• •   H r , Н ф , H z — магнитные напряженности,

• •    h(r"), e(r) - некоторые функции координаты r ,

Строгое доказательство того, что уравнения Максвелла с электрическими зарядами, определенными дельта-функцией, можно представить в таком виде, дано в [2, разделs 6, 9.6.7].

B системе цилиндрических координат уравнения (1-4) имеют вид:

Ет + дЕт + 1 г    дг г 1 EEZ - дЕ ф = г ' Иф "Hz = дЕт dEZ _ / 8z    дг    с Е ф + дЕ ф - 1 г     дг    г Нт + ннг + 1 г    дг    г 1 dHZ дН ф г дф    дz дНт   дHZ _ £ дz    дг    с	дЕ ф । дE Z _ дф    дz ц dHт :--, с dt dH ф dt ’ дЕт _ /г d^ ' дф — с dt ’ + иН1 = дф    дz £ dEт = с dt , dEф dt ,	4лр , см. (3) см. (1) см. (1) см. (1)			(17) (18) (19) (20) (21) (22) (23)
		: 0,	см. (4) см. (2) см. (2)
Н ф + дН ф 1 дНт + 4я . = £ dLEZ г дг г дф с J с dt		.	см.	(2)	(24)
Непосредственной подстановкой		можно убедиться,			что

функции (11-16) преобразуют систему уравнений (17-24) с четырьмя аргументами r, ф, z,t в систему уравнений с одним аргументом r и неизвестными функциями h ( r ), e ( r ) . Эта система уравнений имеет следующий вид:

тГ) + е Г (r    ф г a x-e z (r)	47 Р = 0 , (25)
-^■e z (r)a + x - е ф (r) — /г к г	= 0,        (26)
е г (r)x-e z (r) + Г^ к ф = 0,	(27)
^ф(Г2 + е ф (r) —^-а + ^	= 0,        (28)

^7" + h r (r) + ^ a-x-h z (r) = 0 , 1 hz(r) « -xh p (r "вт (r) = 0 , hT(r)x — h z (r) + — cp, (r) = 0 , ^+h p (r) + -^ - + ^- e z (r) + 4   = 0 .

(29) (30) (31) (32)

Мы будем искать решение этих уравнений в предположении, что

hr = ker , h p      ke p , hz = -kez .

(33) (34) (35)

В [3, глава 2] показано, что при этом плотности потоков энергии удовлетворяют закону сохранения энергии.

Выполним замену переменных по (33-35) в уравнениях (25-32) и перепишем их:

er          e< p                4я 7 + e r - 7a - xe z - ~ P = 0 , ez            M— r a + xe p    c ke r 0 , M- e z + xe r k c e p 0 , + e^-^a-k —ez = 0 , r      p r           c z      ’ k V + ker - k^a - kxez = 0 , -k ^ a + kxep -^ - er = 0 , ke z -kxe r + ^- e p = 0 , -k—-ke(i) + k^a + — ez + 4^ ] = 0 . r       p      r       c        c

(36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43)

Эта система уравнений принимает разный вид при разных значениях Z . Рассмотрим решение этих систем уравнений.

или е< = ет = Ага-г,                         (69)

где А — амплитуда напряженностей.

Частота в этом решении не фиксирована. Следовательно, заряд при этом может излучать с любой частотой.

В [3, глава 2] показано, что при условиях вида (7, 8, 33, 34, 35) плотности потоков энергии определяются по формулам

Sг = 0,(70)

Sp   Л кегеz,

Sz Т]кеге<р,

Л = с/4тт,(73)

т.е. отсутствует радиальный поток энергии, а плотности потока энергии на данном радиусе по окружности и вдоль траектории не зависят от времени и других координат. Поскольку функции б ф и б_г опрелелены по (69), поток энергии ограничен в пространстве. Это означает, поток энергии движется вместе с зарядом, но не излучается.

6. Выводы

Итак, полученное решение описывает движение заряда q в среде (д, е) с некоторой скоростью V . При этом поток энергии не излучается, но движется вместе с зарядом в некоторой ограниченной области.

При этом напряженности
Нт . = Ет (r)co ,			(11)
Нф .= Е ф (r)si ,			(12)
Ет . = ет (r )si,			(14)
Е ф .= е ф (r)co ,			(15)
где
co = cos( аф + X	•8(z0	- z)) ,	(7)
si = sin( аф + x •	5(z0 -	- z)) ,	(8)
еф = е т = Ar a-1 ,			(69)
hT = кет ,			(33)
Е ф      ке ф ,			(34)
к = —7,			(55)
ы х = - V			(56)