Изучение условий возникновения сложных режимов динамики в быстро-медленной модели миграционно связанных сообществ

Рассматривается модель динамики двух ми-грационно связанных сообществ «хищник – жерт- ва»:

где x_i и y_i – численности жертв и хищников на i -й территории ( i= 1, 2), a – коэффициент самолими-тирования жертвы, h – коэффициент насыщения хищника, c_i – относительная скорость снижения (убыли) численности хищников (смертности) и mc_i – коэффициент миграции хищников ( i =1, 2) [1, 2].

В системе (1) предполагается, что два неидентичных сообщества, которые отличаются параметрами скорости роста жертв, оказываются подобны сообществам с разной смертностью хищников. Модель (1) и ее модификации встречаются у некоторых исследователей [3, 4], которые, к сожалению, ограничиваются локальным анализом устойчивости и изучением условий однородного распределения особей по ареалу. Данное исследование концентрируется на случае неоднородного распределения, которое проявляется в сложных нелинейных эффектах, связанных с эволюцией периодических режимов, при которых сообщества оказываются несинхронными либо демонстрируют частичную синхронизацию.

Исследование эффектов синхронизации регулярных колебаний, возникающих в системе (1), выявило несколько особенностей. Во-первых, полная синхронизация циклов на разных территориях в такой системе возможна в случае сильной связи ( m >0.5), даже при значительной разнице между сообществами (c₁<2). Однако это приводит к единственно возможному типу динамики – предельному циклу. Во-вторых, снижение силы связи приводит к очень быстрой десинхрониза-

ции, при которой каждое сообщество испытывает колебания численности с собственным ритмом. При этом даже мало отличающиеся сообщества (c₁≈c₂) неспособны к полной синхронизации при слабой связи, в результате чего формируется двухчастотный предельный цикл с иррациональным отношением частот (числа вращения). Другими словами, было показано, что при слабой связи ( m >0.01) синхронизация фактически возможна лишь для идентичных сообществ [1]. Однако, дальнейшее исследование модели (1) показало, что слабо связанные неидентичные сообщества способны, по крайней мере, к частичной синхронизации именно в случае большой разницы между значениями смертности хищников. В этом случае периоды оказываются кратными, причем таким образом, что в разные моменты времени наблюдаются участки с синфазной или противофазной динамикой популяций жертв и хищников на разных территориях, а также с разным соотношением их численности. Кроме того, были обнаружены режимы динамики, состоящие из чередующихся участков медленного «дрейфа» траектории и быстрых ее «срывов» [2].

В случае значительной разницы между сообществами, т.е. при c1<

Согласно геометрическому методу исследования быстро-медленных систем, разделение полной модели на быстрые и медленные подсистемы и их детальное изучение позволило определить, что динамика сильного сообщества, представляющего собой медленную подсистему, полностью определяет поведение слабого сообщества, соответствующего быстрой подсистеме. Оказалось, что динамика быстрого сообщества сильно зависит от численности хищников в медленном. Другими словами, численность хищников в медленной подсистеме можно рассматривать как бифуркационный параметр в быстрой подсистеме. Бифуркационный анализ этих подсистем позволил сконструировать инвариантные многообразия, на которых реализуются участки с пачечной и тонической активностью системы (1). В результате были подробно описаны механизмы возникновения пачек с различной формой волны. Обнаружена и описана зависимость формы быстрой динамики от внешнего вида инвариантного многообразия и расположения его частей относительно релаксационного цикла.

Работа выполнена в рамках государственного задания Института комплексного анализа региональных проблем ДВО РАН.