Эффективное возбуждение пакетов мод идеального градиентного волновода с заданными фазовыми скоростями

Автор: Бахарев Максим Александрович, Котляр Виктор Викторович, Павельев Владимир Сергеевич, Сойфер Виктор Александрович, Хонина Светлана Николаевна

Журнал: Компьютерная оптика @computer-optics

Рубрика: Методы и элементы компьютерной оптики

Статья в выпуске: 17, 1997 года.

Бесплатный доступ

В данной работе разработан подход к повышению эффективности возбуждения мод градиентного волновода с помощью дифракционных оптических элементов (ДОЭ) в задачах уплотнения каналов волоконно-оптической связи, рассмотренных в [1]. Предложена модификация итерационного алгоритма [2], позволяющая существенно повысить эффективность формирования заданного модового состава и вместе с тем избежать уширения импульса, возникающего из-за межмодовой дисперсии [3], в каждом канале связи. Вводится понятие инвариантного модового пакета - амплитудно-фазового распределения специального вида, обладающего рядом свойств мод лазерного излучения. Приведены результаты вычислительных экспериментов по расчету и моделированию дифракционных оптических элементов, формирующих инвариантные модовые пакеты в заданных порядках дифракции, а также по прохождению сформированных пучков через Фурье-каскад.

Еще

Короткий адрес: https://sciup.org/14058348

IDR: 14058348

Текст научной статьи Эффективное возбуждение пакетов мод идеального градиентного волновода с заданными фазовыми скоростями

В [1] рассмотрена принципиальная возможность повышения информационной емкости каналов связи волоконно-оптических систем с помощью селективного возбуждения мод градиентного оптоволокна. Однако, существенным недостатком элементов, предложенных в [1] для возбуждения заданных гауссовых мод или групп мод (моданов), является их низкая энергетическая эффективность, связанная с появлением паразитных дифракционных порядков. Энергетическая эффективность однопучковых моданов, рассмотренных в [1], не превышала 10-33%.

В [2] был предложен итерационный метод расчета фазовых дифракционных оптических элементов, согласованных с несколькими модами, позволяющий достигать значения энергетической эффективности 85-90%. Метод [2] использует в качестве свободных параметров фазовые сдвиги между формируемыми модами в плоскости формирования модовых пучков и значения отсчетов фазовой функции рассчитываемого элемента в плоскости ДОЭ.

ления n ( X, y ) , волновые фронты мод являются

  • 1.    Фазовая скорость мод лазерного излучения

Для градиентного волоконного световода с поперечно-неоднородным показателем прелом-

Однако, в случае небольшого числа каналов (25) свободных параметров в плоскости формирования модовых пучков может оказаться недостаточно для работы итерационной процедуры [2], что приведет к ощутимой ошибке формирования заданного модового распределения. На Рис. 1 представлена схема возбуждения оптоволокна с селективной модуляцией мод с помощью модана, предложенного в [2] : L - лазер, P - блок коллиматора, M - многопучковый модан, О - линза, S - оптический сумматор мод, D - оптические модуляторы, F - оптическое волокно. В данной работе с целью увеличения числа свободных параметров предлагается использовать для реализации отдельного информационного канала пакеты гауссовых мод с одинаковой фазовой скоростью распространения. Число свободных параметров (фазовых межмодовых сдвигов) по сравнению с подходом [2] возрастает в m раз, где m - число мод в каждом пакете. В то же время, использование пакета мод с одинаковой фазовой скоростью для реализации отдельного информационного канала позволит избежать уширения импульса, вызываемого межмодовой дисперсией [3].

плоскостями, а оператор распространения связы вает решение <у(X, y, z) уравнения Гельмгольца

V 2ro ( x , y , z ) + 8 ю( x , y , z ) + n 2 ( x , y ) k2 ■ ro ( x , y , z ) = 0 (1) d z 2

с граничным значением

^ z = o = ®(x , y ,0 ) ,

где V±

( d 5) ’fl (5 x 5 y )

поперечный оператор Га

мильтона, а монохроматическое поле описывается в скалярном представлении комплексной амплитудой ® ( х , У , z ) .

Моды поперечно-неоднородного волоконного световода определяются из уравнения [1]:

V i ¥ pl ( х , У )+[ k 2 n 2 ( х , У )- ^ pi \v pl ( х , У ) = 0, (2) где ¥ pl ( х , y ) - комплексная амплитуда моды с номером p , I . Для любого расстояния z имеем:

^(х,У,z) = Ypi ’Vpi(x, У)                 (3)

Y pi = exp[(z p pi +a pi )■ z ], где Ppi - постоянная распространения, api - ко эффициент затухания моды ¥pi•

Собственными функциями оператора рас- пространения света в градиентном оптическом све- товоде с квадратичным распределением показателя преломления

П 2 ( Г ) = n 2

I 2 .     2 „r = д/х + У - a

A - константа, являются функции Гаусса-Эрмита и обобщенные функции Гаусса-Лагерра [1].

Обобщенные моды Гаусса-Лагерра опреде ляются следующим выражением:

l

I г I      Г 2 r 2)

¥ pi(х, У) = Epi ----I ■ Lp I — I- exp r2

CT 2

exp [ ± ii a ] ,(5)

где a - полярный угол вектора (X, y), r = V X2 + y2 , L lp (.) - обобщённый полином Ла герра, ст -    фундаментальный радиус    моды,

F 2

E ы =--,       = - нормировочная константа.

СТ/ 2п-1 !Cp+1

Моды Гаусса-Эрмита определяются соотношением:

V pi ( х . У ) = E pi ■ Hp 1 ^2 х- ст

■ exp

X 2 + У 2 ст 2

где Hp (.) - полином Эрмита степени p, ст - фун- даментальный радиус моды ГЭ,

E pi =

2 к- 2 p + 1 p ! i ! ’

Фазовая скорость ep\ распространения гауссовых мод определяется уравнением [1]

P pi     Ik2 n 2 -     ( rp. + 1 ) ,                         (7)

V           CT            '

где T pi =p+i для мод Гаусса-Эрмита и r pi =2p+i для мод Гаусса-Лагерра.

Напомним замечательные свойства гауссовых мод [1,4]:

  • 1)    являясь собственными функциями распространения света в градиентном волокне, гауссовы моды сохраняют амплитудно-фазовую структуру при распространении в свободном пространстве;

  • 2)    гауссовы моды сохраняют взаимную ортогональность при распространении в градиентных средах и свободном пространстве;

  • 3)    гауссовы моды сохраняют амплитуднофазовую структуру при прохождении Фурье-каскада.

  • 2.    Построение итерационной процедуры расчета дифракционного оптического элемента, согласованного с инвариантными модовыми пакетами

Из (3) и (7) следует, что в отсутствие затухания (api=0) линейная комбинация нескольких гауссовых мод, для которых выполняется rpi=const                                      (8)

при распространении ведет себя фактически как отдельная мода лазерного излучения: амплитуднофазовая структура пучка будет сохраняться, а комбинации, соответствующие различным значениям r pl ,будут взаимно ортогональны, так как не могут содержать мод с одинаковой парой индексов (p,i) . Амплитудно-фазовые распределения, описываемые линейными комбинациями гауссовых мод, удовлетворяющих (8), будем называть инвариантными модовыми пакетами .

При передаче информации по отдельным каналам с помощью инвариантных модовых пакетов в идеальном градиентном волноводе с профилем (4) не будет возникать межмодовой дисперсии и, следовательно, уширения импульса, вызываемого межмодовой дисперсией [3].

С другой стороны, выбор инвариантных модовых пакетов в качестве носителей информационных каналов позволяет использовать в качестве свободных параметров для итерационной процедуры [2] не только фазовые сдвиги между отдельными инвариантными модовыми пакетами, но и межмодовые фазовые сдвиги внутри каждого пакета.

Нам необходимо вычислить фазу ф (x,y) оптического элемента, освещаемого Гауссовым пуч- ком с распределением амплитуды A(x,y). Элемент формирует моды (пакеты мод) в дифракционных

заменяются коэффициентами

порядках, определяемых векторами пространствен-

(1)   (2)1

ных частот несущих ( v p , V p/ ) , где p, l - порядковые номера моды. Функция комплексного пропускания такого элемента должна подчиняться следующему соотношению [2]:

A ( x , y ) ехр [ / ф ( x , y )] =                                (9)

= Д J0 C pl V pl ( x , У ) exp [ - i 2 n(v (pi x + x ^ ) y )]

С ( k ) pl

используя сле-

дующее правило:

с ( k)=в с( k )lc( k 1                     гм)

C pl     B pl C pl I C pl I                            (14)

где V pl ( x . У ) - гауссова мода с порядковыми но-

где B pl положительные числа, характеризующие распределение энергии между модами.

Коэффициент C ( k ) подставляется в (9). Как итоговый результат, мы получаем функцию F k + 1 ( X , У ) , аргумент которой сохраняется как оценка фазы:

мерами ( p, l ). Модуль коэффициента C pl выбирается из условия желаемого распределения энергии между модами.

Разница между соседними пространственными частотами |v p + 1 / — V p / | выбирается достаточно большой, чтобы коэффициенты в уравнении (9) могли быть представлены как:

Ф k + 1 ( x , У ) = arg F k + 1 ( x , y ) .      (15)

Релаксационная способность итерационной процедуры может быть проконтролирована по уменьшению ошибки СКО:

PL        PL

ZZ(Bp, — Cpk   ISB2 pl p=0 l=0                  JLp=0 l=0

C pl = J+J A ( x . У ) exp / Ф( x . У )] x             (10)

x v pi ( x , У ) ехр [ / 2 n ( v ( p l x + v^ y ^xcly

В нашем случае процедура будет отличаться лишь специфическим выбором значений несущих:

Можно получить коэффициенты C pl с по-

'v pl = v p ' I ' p + I = p ' + 1 ' v pl * v pT p + l ^ p ' + 1 '

мощью двухмерного Фурье преобразования используя следующее уравнение [2]:

для мод Гаусса-Эрмита и

где

+^

F fc n) = J J A ( x , y ) exP [ z ' ф( x , y )] x

—^

x Q ( x , y ) • exp [ z 2n ( ^ x + n y )] dxdy

'v pl =v p ' l ' 2 p + l = 2 p ' + 1' v pl * v p ' i ' 2 p + l * 2 p ' + 1 '

PL

Q ( x , y ) = EE v pi ( x , y )              (12)

p = 0 l = 0

для мод Гаусса-Лагерра.

3. Экспериментальные результаты

В данной работе производился итерационный расчет ДОЭ, формирующего из Гауссова пучка с распределением интенсивности

В fe n)

этом случае, функция

плоскости с координатами

p

в точках v^ ) бу-

I ( x , y ) = exp

V

2( x 2 + У 2)

2 ^ 0

дет равна передаточным коэффициентам:

F (^ = v p / « n = v ( p 2? ) = C pl (13)

В [2] для поиска фазы оптического элемента ф ( x,y ) был предложен следующий итерационный алгоритм. Выбирается начальная фаза ф 0 ( x, y ) .

Предположим, что на k итерационном шаге мы получаем фазу ф к ( X , y ) . Используя функцию

ф к ( X , y ) , мы получаем коэффициенты C ^k ) из

уравнения (13) или (10). Затем эти коэффициенты

несколько инвариантных модовых пакетов, распространяющихся вдоль оптической оси.

На Рис. 2 представлено трехмерное распределение интенсивности в выходной плоскости ДОЭ, формирующего четыре пакета мод Гаусса-Эрмита: rp j =1 - моды с порядковыми номерами (1,0),(0,1); rp r =2 - моды с номерами (2,0),(0,2),(1,1);

rp=3 - моды с номерами (3,0),(0,3),(2,1);

rp=4 - моды с номерами (4,0),(0,4),(3,1).

Ошибка формирования заданного распределения составляла 13% на десятой итерации, в то время как ошибка формирования четырех мод Гаусса-Эрмита элементом, рассчитанным процедурой [2], составила 23%. Таким образом, увеличение числа свободных параметров в зоне ди-

фракции Френеля с 4 до 13 привело к снижению ошибки в 1,8 раза.

Рис. 2.

На практике дальнейшее увеличение числа свободных параметров будет определятся, очевидно, числом каналируемых мод волновода (или числом отсечки [3]).

В [4] было показано, что Гауссовы моды не меняют своей структуры и при прохождении Фурье-каскада. В этом случае меняется лишь значение фундаментального радиуса моды σ на σ F , определяемое параметрами Фурье-каскада:

λf

σ F = . (20) σπ

На Рис. 3 и 4 приведены результаты моделирования прохождения модового пакета через Фурье-каскад. Рис.3 – амплитудное распределение суммы мод Гаусса-Эрмита с номерами (2,2) и (4,0) с единичными весами во входной плоскости Фурье-каскада, Рис.4 – в выходной.

Рис. 3.

Моделирование проводилось с помощью программного обеспечения "QUICK- DOE", разработанного в Институте систем обработки изображений РАН [5]. Необходимо отметить, что на практике приходится иметь дело с градиентными волокнами, реальный профиль которых значительно отличается от идеального параболического. Как правило, имеет место резкий провал значения показателя преломления в центре сердцевины волокна, что объясняется спецификой используемой технологии изготовления градиентных волокон.

Уменьшить влияние технологических погрешностей изготовления волокон можно, выбирая для передачи одного канала связи группу мод Гаус-са-Лагерра, связанных соотношением

2p+l = const, l ≠ 0 .

В данной работе проводился расчет и моделирование ДОЭ, формирующего 4 пакета мод Гаус-са-Лагерра со следующими значениями порядковых номеров:

rpl=15 - моды с номерами (5,5),(6,3),(7,1);

rpl=17 - моды с номерами (8,1),(6,5),(7,3);

rpl=19 - моды с номерами (9,1),(8,3),(7,5);

rpl=21 - моды с номерами (10,1),(9,3),(8,5).

Сумма квадратов коэффициентов при заданных модах в разложении комплексного распределения непосредственно за рассчитанным ДОЭ, составило 0,8. Таким образом, на формирование заданных мод приходится 80% энергии освещающего пучка.

На Рис. 5 и Рис. 6 представлены, соответственно, фаза ДОЭ, согласованного с пакетами мод Гаусса-Лагерра, и распределение амплитуды, сформированное ДОЭ в зоне дифракции Френеля.

Рис. 5.

Рис. 6.

Заключение

Разработан подход к повышению эффективности возбуждения мод градиентного волновода с помощью дифракционных оптических элементов в задачах уплотнения каналов волоконно-оптической связи, рассмотренных в [1]. Предложена модификация итерационного алгоритма [2], позволяющая существенно повысить эффективность формирования заданного модового состава и вместе с тем избежать уширения импульса, возникающего из-за межмодовой дисперсии [3], в каждом канале связи. Результаты вычислительных экспериментов демонстрируют весьма ощутимый выигрыш по сравнению с результатами, полученными при расчете ДОЭ алгоритмом [2]. В качестве возможной технологии изготовления ДОЭ, рассчитанного с помощью предлагаемой модификации процедуры [2], может быть выбрана технология многоуровневого травления резиста, описанная в [6].

На Рис. 7 представлена пятая бинарная маска из технологического комплекта масок, предназначенного для формирования 16-уровневого фазового рельефа ДОЭ, согласованного с пакетами мод Гаусса-Эрмита. Результат моделирования данного элемента приведен на Рис. 2. Комплект бинарных фотошаблонов для изготовления элемента был получен с помощью ПО

“DOE-tools”, разработанного в Институте систем обработки изображений РАН.

Рис.7.

Статья научная