Экономико-математические модели деятельности брокерской компании и ее инвесторов

При экономико-математическом моделировании деятельности фондового посредника не стоит забывать о том, что он участвует во Экономика и социум №3 2012                       

взаимодействии также с другими участниками финансового рынка: коммерческого банка, который может выступать для брокерской компании в роли кредитора при недостаточности собственных средств брокера для осуществления своей деятельности; фондовой биржи, которая имеет собственные требования, правила торговли, комиссионные сборы с оборота. Кроме того, следует отметить, что деятельность коммерческого банка регламентируется Центральным Банком Российской Федерации, а размеры возможных кредитов, выдаваемых коммерческим банком, зависит от величины привлекаемых вкладов.

Таким образом, действия каждого из вышеуказанных субъектов могут оказывать прямое или косвенное влияние на результаты деятельности других участников.

Экономико-математическая модель деятельности брокерской компании (при отсутствии лицензии дилера).

Наличие лицензии дилера предполагает возможность совершения компанией биржевых сделок от собственного имени и за свой счёт, т.е. наличие у компании собственного портфеля ценных бумаг, структурой и составом которого следует управлять с целью увеличения или максимизации прибыли.

Если брокерская компания имеет только лицензию брокера, то она имеет право совершать сделки только от имени и за счёт своих клиентов.

Клиентская база брокера состоит из М клиентов, каждому из которых присваивается свой уникальный номер m g M, m c N . m -й клиент, обладая на начало дня t (конец дня t — 1) суммой денежных средств в размере C_{t —} 1 _m руб., может обратиться в течение дня к биржевому посреднику с целью купить ценные бумаги наименования j на денежную сумму Cash руб. В данной экономико-математической модели каждому из J наименований ценной бумаги, в посредничестве в сделках с которыми участвует брокер, присвоен свой уникальный номер j g [ 1, J ] ; j c N . Сумма, отводимая в день t на приобретение ценных бумаг вида j g [ 1, J ] , не должна превышать располагаемую сумму денежных средств клиента на начало дня:

Е Cash t , m , j &  C t — 1, m • ^{j g} J

Другой целью обращения к брокеру может быть продажа ценных бумаг в количестве А ,..., A ,..., A } штук из имеющихся у него на начало t , mt ,1           t , m , j            t , m , J дня        St—1, m ,1.~. St—1, m, j ..... St—1, m, J } Ценных       бумаг       ( V t = 1..T,

V j = 1.. J , A t,m,j &  S t — 1,m,j , A t , m,j C N , S t , m , j C N )•

Описанная выше процедура взаимодействия брокера и клиента является наиболее простой – она не предполагает использование маржинальной торговли, т.е. привлечения кредита брокера.

Кроме того, следует отметить, что в разрабатываемой экономикоматематической модели предполагается несколько допущений:

• 1.    Денежные средства, полученные от клиентов, перечисляются на счёт биржи без временной задержки, т.е. в тот же день, и наоборот, денежные средства, выводимые клиентами с биржи, перечисляются со счетов биржи и выдаются клиентам в кассе брокерской компании в тот же день. Данные операции не учитываются в бюджете движения денежных средств брокерской компании.

• 2.    Денежные средства на расчетном счёте клиента и на его лицевом счёте суммируются, временная задержка при перечислении со счёта на счёт отсутствует.

• 3.    Минимальным временным периодом модели является день. Дисконтирование в данной модели не используется, так как временной период моделирования Т менее года.

• 4.    Инвестор выделяет сумму денежных средств в размере Cash руб. на покупку ценных бумаг наименования j е [ 1, J ] из расчёта на то, что, уплатив комиссионное вознаграждение брокеру и бирже, денежных средств хватит ровно на покупку ценных бумаг без возникновения остатка. Данное допущение вызвано возможностью приобрести только целочисленное количество ценных бумаг.

• 5.    Расчёт стоимости ценных бумаг, взятых в кредит, осуществляется по

цене текущего дня, а не дня покупки.

Количество ценных бумаг наименования j е[1, J], приобретаемых в день t клиентом m на сумму Casht m j руб., равно

(1 - УЕ X1 - YB C^htt, m, j

Pt, j шт., где yE - комиссия биржи (в долях от суммы сделки); уВ - комиссия брокера (в долях от суммы сделки); pt j - котировка ценной бумаги j на бирже в день t совершения сделки. Брокер при этом зарабатывает сумму комиссионных yBCasht m j руб., а фондовая биржа - уЕ (1 - у19 Casht,m,j руб.

Сумма денежных средств, получаемая клиентом при продаже ценных бумаг наименования j е [ 1, J ] в день t в количестве A t _m j шт., равна ( 1 - у^Е )( 1 - y ^B ) ^_{t m} j p_t j руб. Брокер при этом зарабатывает сумму Y B ^{( 1 -} у ^Е ) A t , m , j P t , j руб., ^а фондовая биржа Y E A t , m , j Pt , j руб.

Количество денежных средств Ctm руб., которыми располагает клиент m на конец дня t , можно описать в виде суммы денежных средств, которая была у клиента на конец предыдущего дня (начало дня t) Ct—1 m руб.

и денежных средств

^{- Y} X^{1 -} У® ) ^⁽ A t , m, j P t,j ) РУб., j ^G J

поступающих от

продажи ценных бумаг

^{{ A} t , m ,1

-, A t , m , j A t , m , J ^} в День ^t , за вычетом

XCashtmj руб., которые тратятся на приобретение ценных бумаг каждого j G J наименования j g J в день t:

C„ = с , - 1 m + ( 1 - Y E )( 1 - Y B ) s ( A tmj P tjV X Cash tmj ; Vm G M ; t = 1. T . j G J              j G J

Количество ценных бумаг  St m j каждого наименования j g J, которыми обладает клиент m к окончанию дня t , можно описать в виде суммы ценных бумаг клиента S    , находящихся в его распоряжении в предыдущий день, и ценных бумаг в количестве

(1 - Y X1 - YB ) Casht,m,j

шт.,

Pt, j приобретенных в день t по цене pt j, за вычетом ценных бумаг в количестве

А шт., проданных в день t :

( 1 - У )( 1 - У ) Cash_t ■                                      ----

Stm / = S -i mi^              ---- ^{t, m2L} - Atm 6 V j G J; V m G M; Vt = 1..T .

t ^ ml ^ J          t , Ml , J                                                                          t , ml , J

Pt , j

Помимо непосредственного обеспечения совершения биржевой сделки брокер может оказывать услуги маржинального кредитования клиентов или предоставления возможности совершения, так называемых, «сделок с плечом»: с целью увеличения эффективности торговли брокер предоставляет клиенту в заем денежные средства или ценные бумаги. Подобная услуга может предоставляться клиентам, отвечающим установленным требованиям. Кроме того, в кредит могут выдаваться не все из J ценных бумаг, а лишь J 1 ( J 1 с J ) наиболее ликвидных, список которых определен брокером. Аналогичным образом определен список ценных бумаг J 2 ( J 2 с J ), для покупки которых он может предоставить кредит в денежных средствах.

Кредитование брокером может осуществляться денежными средствами и ценными бумагами. Возможность получения кредита m -м клиентом определяется наличием активов клиентов на начало дня t (конец дня t -1), которые он может предоставить в залог. Под активами, предоставляемыми в залог, понимаются денежные средства C руб. клиента m и стоимость ценных бумаг E (s^ т pt j) из списка J3, установленного брокером, je J 3

которые находятся в собственности инвестора за вычетом задолженности по кредитам в денежных средствах E Debtt-1,m,j  и в ценных бумагах j e J 2

ZDebt     , которые были взяты в кредит у брокера до наступления дня t :

C t - 1, m + ^ ( ^S t - 1, m , j P t , j ) ^- E ^Debt t - 1, m , j ^- E ^ZDebt t - 1, m , j P t , j , ^{V m e} M,  ⁽³⁾

j ^e J 3                  ^{j e} J 2                 ^{j e} J 1

где  E DebtT,m, j = E DebtT-1,m, j + E ZCasKm, j , ^T = 1-t - 1; ZCashT,m, j - j e J 2              j e J 2                j e J 2

размер кредита, взятого m -м клиентом у брокера в момент времени т в денежных средствах для покупки ценных бумаг наименования j e J2 (следует отметить, что величина ZCashT m j может принимать отрицательные значения – в случаях, когда кредит возвращается брокеру); ZDebtT,m,j = ZDebtT-1,m,j + ZT,m,j , ^T = Ct - 1 Zt,m,j - количество ценных бумаг j -го наименования (j e J 1), взятых в кредит m -м клиентом у брокера в момент времени т (аналогичным образом величина ZT m j может принимать отрицательные значения для случаев возврата ценных бумаг брокеру клиентом).

В случаях применения услуги кредитования количество денежных средств Ct m руб., которыми располагает инвестор m на окончание дня t, можно описать в виде суммы денежных средств предыдущего дня Ct-1 m руб., денежных средств (1 - YE )(1 -/^ )e(At m jPt j) руб-, поступающих от j e J

., A_t , _m , j ,..., A_t , _m , J } в день t , а также притоку и

продажи ценных бумаг А _m j

, ••

оттоку денежных средств по кредиту EZCasht,m,j, взятых у брокера в кредит в день t, за вычетом E Casht,m,j руб., которые тратятся на j e J приобретение ценных бумаг наименований j e J в день t, ежедневных

E Debtt-1, m, jim j e J процентов за пользование кредитом в денежных средствах -—2---------- и

E (ZDebtt-1, m, jpt, j ^imm в ценных бумагах

Ct,m = Ct-1,m + (1 - YE X1 - YB 'Z(At,m, jpt, j )+ ZZCasht,m, j - Z Casht,m, j - j G J              j G J 2              j G J

Z Debt t - 1, m , j i m    Z y ZDebt t - 1, m , j p t , j }m

- JJ'---------------; Vm g М; Vt = LT, где im - годовая процентная ставка по кредитам в денежных средствах, устанавливаемая брокером для клиента m; i 2т - годовая процентная ставка по кредитам в ценных бумагах, устанавливаемая брокером для клиента m .

В свою очередь количество ценных бумаг каждого наименования, которым обладает клиент m g М в некоторый день t g [1, Т] при условии использования услуги маржинального кредитования, определяется по следующей формуле:

^{( 1} - ^Y X¹ - ^Y ) C^{a shl} t , m , j

^- At , m , j ; ^V j ^{G J} ; ^V i ^G J 1 ;

St, m, j   St-1, m, j +                                  + Zt, m, i pt, m, j

V m = M ; V t = 1..T ;                                               (5)

В том случае, если инвестор не пользуется услугой маржинального кредитования, то величины кредитов в денежных средствах ZCash _{T m} j ,

V j g J ₂ и в ценных бумагах Z _{T m} i , V i g J 1 , Vt = 1.. t равны нулю. Таким образом, формула (4) преобразуется к виду формулы (1), а формула (5) – к виду формулы (2).

Возможность получения у брокера кредита в денежных средствах ZCash m -м клиентом в день t определяется выполнением следующего неравенства:

Ct-1,m + Z St-1,m,jPt,j - Z Debtt-1,mj - Z ZDcbt,-1,mjptj j GJ3                   j G J 2                   j G J1                        ^  1.

—

Z Debtt-1,m,j + Z ZDebtt-1,m,jPt,j jGJ2                   jGJ1

V m G M; V t = 1.. T , где 1/ п ¹ - кредитное «плечо», т.е. соотношение активов клиента (за вычетом задолженности перед брокером) к величине этой задолженности; величина п ¹ определяется брокером, исходя из опыта и профессионализма m -го инвестора, его кредитной и торговой истории, размера собственных активов, а также действующего законодательства и, тем самым, имеет ограничение на максимально допустимую величину п 1 <  N ¹.

Исходя из выражения (6), максимально возможный размер кредита в денежных средствах ZCash , который может быть выдан инвестору m в день t , равен:

ГА

£ ZCash т = n C^ т + £ S х т pt , m m ,               m                 ,m rm                               ,m rm,, jg J2                     V          jG J3

- (nm + 1) £ DebttAm j + £ ZDebt^ m ptA /m                                            Am, ,                                          X, m, ,X,

; V m g M ; V t = 1..T .       (7)

V j G J2                  jG J1

Аналогичным образом возможность получения у брокера кредита в ценных бумагах Ztmj (Vj g Jx ) m -м клиентом в день t определяется при условии выполнения следующего неравенства:

C t - 1, m + £ S t - 1, m , j P t. — £ Debt t - 1, m , j "  £ ZDebt, - 1, m , j P t. ^{j G} J 3                    ^{j g} J 2                    ^{j g} J 1

> ±.

— 2 ;

n _m

£ Debtt-1,m,j + £ ZDebtt-1,m,jPt,j j g J 2                   j g J1

V m g М; V t = 1..T, где 1/п2m - кредитное «плечо», т.е. соотношение активов клиента, предоставляемых в залог, (за вычетом задолженности перед брокером) к величине этой задолженности; величина п2 определяется брокером, исходя из опыта и профессионализма m -го инвестора, кредитной и торговой истории, размера его активов, а также действующего законодательства и, тем самым, имеет ограничение на максимально допустимую величину п< N2.

Исходя из выражения (8), максимально возможный размер кредита в ценных бумагах наименования j (Vj' g Jx) - Ztm j, который может быть выдан инвестору m в день t , равен:

^Zt , m ,j

n m

А

^Ct - 1, m ⁺ £ ^St - 1, m , j P t , j

V           ^{j g} J з               V

А

- ( n_m +1 ) £ Debt_t л „,_/■ + £ ZDebtt -i _m P« j ,,                    ,,    ,

V ^{j G} J 2                   ^{j g} J 1                       V

P t ,j

V m g M ; V t = 1.. T , (9) где данного вида квадратные скобки обозначают операцию округления до меньшего целого числа.

Обобщая вышесказанное, можно сформулировать экономикоматематическую модель деятельности брокерской компании, которая включает в себя целевую функцию, состоящую в максимизации прибыли П В брокерской компании, и ряд ограничений:

T

( T              T     ,      Л III D-bt -m i

П В ( T ) = / Ш Cash ,.„ + Ш ( A t , „„ p j + ^t = 0 m ^{- M}j ^- J2. -----+

^ t = 0 j - Jm - M             t = 0 j - Jm - M            у              365

+

T

II I

t , m , j p t , j i m t = 0 j - J 1 m - M

BB

2 i3 K w - тс t=0  365

1   2 B1   2    B B nm , nm , Y , im , im , K , wt

max

V t = 1.. T ; V m - M ; V j - J ₂; Debt, , _m , j = Debt _t - 1, _m , j + ZCash _t , _m , j ;

• < V t = 1.T ; V m = 1.M ; V j - J 1 ; ZDebt, , m_d = ZDebt, - 1, m , j + Z t , m , j ;

• 0    ^ n m ^ N 1; n m   N ;

0 < n2_m < N2; n2_m cN ; mm

• 0    <  _Z ^s <  у max ;

• i з <  i m <  i 1 ^m ax ;

• 2    max

• i 3 <  i m <  i 2    ;

• 0    <  K^B <  K ^max;

• 0    <  w B <  1.

В данной модели использованы такие ранее неописанные обозначения, как КВ – кредит, выдаваемый коммерческим банком брокеру под процентную ставку i на несколько дней (предполагается, что кредит краткосрочный и берется брокером для временного покрытия недостатка собственных денежных средств). Брокер может варьировать величину кредита, при условии накладываемого ограничения 0 < КВ < Kmax, т.е. с одной стороны кредит не может быть отрицательной величиной, с другой стороны его максимально возможную величину устанавливает коммерческий банк, исходя из своих кредитных требований, а также платежеспособности и кредитной истории брокерской компании. При КВ = 0 брокерская компания не прибегает к услугам банка, т.е. обходится собственными денежными средствами.

Величиной w^B обозначается доля кредита К ^В , которая в момент времени t осталась непогашенной.

Накладные затраты и коммерческие затраты брокерской компании ТСВ включают в себя заработную плату работникам компании, уплату коммунальных платежей, интернет-трафик, затраты на уборку помещения, мелкие ремонтные работы и прочее. К коммерческим затратам относятся затраты на маркетинг – рекламу, участие в выставках, запуск новых продуктов. Кроме того, ТСВ включает выплаты в бюджеты различных уровней и внебюджетные фонды.

Размер комиссионных брокера γ ^B ограничивается некоторой максимальной величиной комиссионных γ ^max , устанавливаемой в результате конкурентного взаимодействия брокерских компаний. Таким образом, при величине комиссионных брокера выше γ ^max клиенты откажутся от услуг данной брокерской компании и выберут другую брокерскую компанию-конкурента для совершения сделок с ценными бумагами.

Аналогичные верхние ограничения, «продиктованные» конкуренцией на рынке брокерских компаний, накладываются и на размер процентных ставок по кредитам в денежных средствах i ¹ и ценных бумагах i ² . Нижние ограничения определяются величиной банковской кредитной ставки i .

Реализация данной экономико-математической модели позволит оптимизировать деятельность брокерской компании.

Экономико-математическая модель деятельности индивидуального инвестора, являющегося клиентом брокерской компании

Деятельность инвестора состоит во вложении своих временно свободных денежных средств для получения дополнительных доходов в перспективе. Инвесторы приобретают ценные бумаги от своего имени и за свой счёт.

Выделяют следующие виды инвесторов:

• •    институциональные (коллективные) – государство, корпоративные инвесторы (акционерные общества), специализированные институты (специализированные фонды и компании: банки, страховые компании, пенсионные фонды; инвестиционные институты: инвестиционные компании, инвестиционные фонды);

• •    профессионалы рынка – фондовые посредники (брокеры, дилеры);

• •    индивидуальные инвесторы – физические лица, использующие свои сбережения для приобретения ценных бумаг;

• •    прочие инвесторы – организации.

У каждого инвесторы может быть своя цель вложения денежных средств, в связи с чем можно выделить следующие основные инвестиционные стратегии:

• •    стратегическую – долгосрочные вложения, покупка ценных бумаг на срок от месяца до нескольких лет с целью получения прибыли от продажи в конце срока инвестирования;

• •    спекулятивную – рассчитана на краткосрочные и частные операции купли/продажи ценных бумаг как в течение дня, так и на срок до месяца с наибольшей прибылью от каждой сделки;

• •    страхование – использование ценных бумаг для страхования от возможных убытков в бизнесе или при инвестировании на финансовых рынках.

В зависимости от этого инвесторов можно квалифицировать на тактиков, стратегов и портфельных инвесторов. Тактики стремятся к быстрому получению дохода (спекуляции с ценными бумагами). Стратеги основной целью считают возможность участвовать в управлении акционерным обществом. Они предполагают получить собственность, завладев контролем над акционерным обществом, и рассчитывают получить доход от использования этой собственности значительно больший, чем доход от простого владения акциями. Портфельные инвесторы рассчитывают лишь на доход от принадлежащих им ценных бумаг.

По тактике своих действий на фондовом рынке инвесторы подразделяются на консервативных, рискованных и умеренных. Приближенно соотношение между допустимым уровнем риска и желательным уровнем дохода, характерным для разных типов инвесторов

Рисунок 1 – Соотношение риска и доходности в зависимости от типа инвесторов

Чем выше риск, связанный с данным продуктом, тем более высокое вознаграждение будет ожидать инвестор.

Учитывая вышесказанное, сформирована экономико-математическая модель деятельности инвестора. Из всего разнообразия инвесторов данная модель характеризует индивидуального инвестора, использующего спекулятивную стратегию.

В данной матмодели делается допущение о том, что собственные денежные средства инвестор направляет на инвестиционную деятельность лишь однажды. В последующем все изменения в размере денежных средств происходят только от совершения сделок с ценными бумагами.

В качестве критерия используется максимизация прибыли m -го инвестора за некоторый промежуток времени. Прибыль представляет собой сумму стоимости ценных бумаг, находящихся в собственности инвестора на момент расчёта прибыли Т , и количества свободных денежных средств в момент Т .

C

. A . 7Cf^h . 7

Cash t , m , j , t , m , j , ZCash t , m , j , Z t , m ,_ j

> max

T, m, jpT, j       T, m0, j e J

V t = 1..T; Ctm = CtA m+(1 - YE )(1 - Xs )Z(AtmjPt J+ Z ZCasht

,m             ,m                                                  ,m,      ,, j e J                  j e J2

У Debt, . i ¹ У ZDebt, . i¹

L^        t - 1, m , j m     L^          t - 1, m , j m

^- Z ^Casht , m , j ^{j e} J

j ^e J 2                         j ^e J 1

—

( 1 - X E )( 1 - X ^s ) Cash_ZmZ

Vj e J.; Vt = 1..T; Stm , = StA m , + V     A /   ---^ + zA

3                            t , m , j         t - 1, m , j                                                                  t , m , j         t , m , j

Pt j

Vj e J; V t = LT ;0 < Cashtm} < CtA m; ,m,,

V j e J ; V t = 1.. T ;0 <  A_tm , <  S_{tA m/}; t , m , j        t - 1, m , j

V t = 1..T; ZCash.„ z= n1  C, . „ + S. , „ ,p -(n1 +1)    Debt., „ z +   ZDebt., mipti t ,m , j        m      t -1,m              t -1,m, j   t , j           m                           t -1,m , j                        t -1,m , j   t , j n2 C, .  + У S, , p - (n2 +1) У Debt, .   + У ZDebt, . p, m      t-1,m              t -1,m, j t, j           m                           t -1,m, j                        t -1,m, j t, j

V j e J 1 ; V t = 1. T ; Z t , m,

V            j ^e J 3                /              V j ^e J 2                    j ^e J 1

p t , j

для каждого дня t e [ 0.. T ] с целью достижения максимальной прибыли на момент Т . Иными словами, инвестор на каждом временном шаге принимает решение о совершении или несовершении сделки по покупке ценных бумаг наименования j e [ 1.. J ] на сумму Gash_tmj руб. или по продаже ценных бумаг в количестве { A_{tm р}..., A_tm ,..., A_{tm 7}} штук, а также целесообразности взятия кредита в денежных средствах Z ZCash_{t т у} или ценных бумагах ^{j e J} 2

. z /Л к t, m ,1’".’ ^t, m, j ’•.., ^t, m, J1 .

Значение финансового результата инвестора во многом зависит от значений котировок ценных бумаг р , торговлю которыми совершает инвестор. Котировки устанавливаются на фондовой бирже в процессе торгов. На их значение частный инвестор не может оказать влияние. То, насколько правильно инвестор сумеет спрогнозировать динамику изменения р , зависит успешность его действий.

На сегодняшний момент существует множество различных способов анализа инвестиционных качеств ценной бумаги с целью прогнозирования, но как правило они осуществляются с двух точек зрения: анализа рыночной стоимости ценной бумаги и анализа ее внутренней стоимости. Изучение и исследование рыночной стоимости ценной бумаги связано со сложившимся методологическим подходом анализа под названием технический анализ, а анализ внутренней стоимости характеризует фундаментальный анализ.