Электрон-электронные взаимодействия в умеренно легированном гетеропереходе AlxGa1-XaS/ GaAs
Автор: Дюбуа А.Б.
Журнал: Труды Московского физико-технического института @trudy-mipt
Рубрика: Полупроводниковая электроника
Статья в выпуске: 1 (5) т.2, 2010 года.
Бесплатный доступ
Короткий адрес: https://sciup.org/142185632
IDR: 142185632
Текст статьи Электрон-электронные взаимодействия в умеренно легированном гетеропереходе AlxGa1-XaS/ GaAs
Электрон-электронные («e-e») взаимодействия играют определяющую роль в кинетических явлениях, среди которых следует отметить эффекты горячих электронов, квантовые поправки к проводимости и затухание (разрушение) квантования Ландау в объёмных и двумерных полупроводниковых соединениях с вырожденными электронами [1]. Для корректной теоретической интерпретации экспериментов необходимо нахождение явного вида зависимостей времени элек-трон-электронных взаимодействий от температуры T ee ( T ) в приближении хаотических фаз [2].
Суть метода состоит в следующем. Роль внешнего возмущения играет потенциал экранирования, в который входит диэлектрическая функция электронного газа. Далее, фурье-образ внешнего возмущения (обычно ограничиваются вторым членом разложения) подставляется в уравнение Больцмана, результатом решения которого является время «e-e» релаксации. Решение этого интегро-дифференциального уравнения представляет большие математические сложности. В первую очередь это связано с необходимостью точного учёта потенциального профиля квантовой ямы. Чаще всего (см. например, [3]) используется в качестве аппроксимации бесконечная прямоугольная квантовая яма, что делает все последующие преобразования неприменимыми для исследования более сложных квантовых структур.
Зонные диаграммы исследованных наноструктур были рассчитаны методом самосогласованного решения уравнений Шредингера:
— ... d + E (z)] ^з (z)= Ej ^з (z)(1)
с граничными условиями ф3 (0) = 0, ^j (те) = 0(2)
и Пуассона d 2 V 4np(z)
E (z) = —eV (z), — dZ2 = ~X"
с граничными условиями
V (z = те) = 0, eV(z = 0) = E0,(4)
где χ — диэлектрическая функция.
Самосогласованное решение системы (1)–(4) представляет определённые трудности из-за неопределённости распределения плотности заряда p ( z ).
В ряде работ [4] уже были предприняты попытки расчёта зонных структур гетеропереходов, однако авторы ограничились численным методом и не получили аналитического решения. Кроме того, в решении системы (1)–(4) могут возникнуть разного рода расходимости, существенно влияющие на конечный результат.
Поскольку суммарный интеграл
Q =
∞
j p ( z ) dz = 0 ,
то в первом приближении должны существовать две области положительного и отрицательного зарядов: z < D и z > D с условием p ( z = D ) = 0. Поскольку p ( z = 0) = eN 3 / 2 ( N о — уровень легирования), то простейшая аппроксимация такова:
/ p ( z ) = eN 03 / 2 (1 - -§) , z< D, ( p ( z ) = —A exp( — ( z — D ) /a ) , z>D.
Подставляя систему (6) в (5) и интегрируя, полу-
чим
A =
eN 03 / 2 D
2 a
Далее, подставив (6) в (3), после простых преобразований получим распределение потенциала:
V ( z ) = — 2 n[e„ 3 / 2 ( z 2 — z L)] +
4 neN 3 / 2 1 9 1 \ . .
--°^ 3DD
2
+ 2
Da) , z
. . 2 neN3/ 2 D . . . , .
V ( z ) = -----0---- a exp ( — ( z — D ) /a )
z>D.
Моделирование потенциала имеет существенный
недостаток: произвол в определении постоянных a и D . Кроме того, используя данный метод, не
удаётся решить уравнение Шредингера (1). В какой-то мере произвол можно снять с помощью граничного условия (4):
E (0) = —eV ( z = 0) = -
4 ne 2 N °/ 2 ( 3 D 2 + 2 aD )
χ
.
Откуда следует связь:
a =
XE (0) +2 D
2 ne 2 N 3 / 2 D 3
Для решения уравнения (1) преобразуем его к виду
/ 1 d 2 V ( z )A , . .
EF ( — k F 42 + " E T) * ( z ) = E - * j ( z > ■
Из уравнения (11) получим
8 nm * e 2 k F X № n ( z ) =
∞
= -°- ( в + 1) a 2 £( — 1) n e n ( n +1) 2 x E
F n =0
x exp (—(n + 1) Az), а затем будем варьировать E(z) в известных пределах и построим параметрическую зависимость функции E(z) от A (рис. 1). На этом же рис. 1 изображено решение системы (7)–(8). Подгоночными параметрами были выбраны λ и β. Анализ показал, что зависимость v(в) достаточно слабая.
E(z), мэВ
где E F — уровень Ферми, связанный с волновым вектором k F соотношением
E F =
fi 2 k F
2 m *
Для 2D-электронного газа справедливо k F = V2 nn s , где n s — концентрация 2D-элек-тронов.
Систему уравнений (1)–(4) удобно решать в новых безразмерных переменных:
V ( z ) ( \ ез г U
-
-5— = V ( z ) ■ TT" = E j ■ z = zk F ■ E F E F
-
p ( z ) = —en ( z ) k F ■ ^ ( z ) = ^ >( z ) k F/ 2 .

Рис. 1. Профиль потенциальной ямы: сплошная — решение системы (7)–(8); пунктирная — зависимость (13) при А = 0 , 5 • 10 6 , в = 0 , 7; штриховая — зависимость (13) при А = 0 , 45 • 10 6 , в = 0 , 7
Исходная система в новых переменных запишется
как
d 2
( — — + V ( z ) ) ^ j ( z ) = E j ^ j ( z ) ■
d 2 ϕ dz 2
8 nm * e 2 k F
X fi n ( z ) ■
Решение уравнения (10) представим как
^ k ( z )= C ( k ) sin [ kz + n ( k )] ■ (14)
с граничными условиями
V ( z = ^ ) = 0 ■
( — dV ) , =° = ^P F I n ( z )^ (12)
^ j (0) = 0 ■ ^ j ( z = ^ ) = 0 .
В отсутствии внешних полей интеграл в (12) равен нулю.
Будем искать решение уравнения (11) в виде
где C ( k ) будет определяться из условий нормировки:
L
C 2 ( k ) J ^ 2 ( z ) dz = 1 . (15)
Представляя (14) в виде
∞
^ + ( z ) = exp ( ikz + in ( k )) У^ b j ( k ) exp ( — jAz )
j =0
и подставляя в уравнение Шредингера (10), получим
∞
V ( z ) = c £ ( — 1) п в n exp( — ( n + 1) Az ) , (13)
n =0
где β, λ — некоторые подлежащие определению константы, а c определяется из граничных условий как
V 0
c E f E I =0 ( — 1) n e n
= V 0 ( в + 1) .
E F
—k 2 £ b j ( k ) — 2 ikA £ b j ( k ) j + A 2 £ b j ( k ) j 2 + j =0 j =0 j =0
+ [ EV 0 ( в + 1) £2 ( — 1) n e n exp( — ( n +1) Az ) — E^ x
∞ x £ bj(k)
j =0
exp ( —jAz ) = 0 ,
b1(k) = - EfA (A2 + 4k2) (A + 2ik), bj(k) = -EfA(j3A2+4k2j) [jA + 2ik1 X
X £ ( - 1) n e n b j- ( n +1) , n =0
где b о = 1, которое определяется из условия нормировки (15).
Фазовый сдвиг определяется суммой
52 bj(k) = - exp(-in(k))• j=0
На рис. 2 показана зависимость E(z), квадрат модуля волновых функций электронов на энергетическом уровне основной E1 подзоны размерного квантования. Для решения поставленной задачи реальный профиль E (z) зоны проводимости гетероперехода аппроксимируем треугольной ямой, так как это представлено на рис. 2. Рассмотрим двумерный электронный газ, находящийся в треугольной потенциальной яме. Представляя в области 0 < z < d потенциальный профиль в сферической системе координат как г Eо - E1 г
E ext ( r ) =--- d---r - E 0
с граничными условиями
E 0 = E ext (0) , E 1 = E ext ( d ) •
Фурье-образ кулоновской экранировки будет иметь вид
1 d 2 r
Vext (q) = S (2П)2 eXP (-iqr) Eext (r), где S = L2, L — линейные размеры системы, а фурье-образ полной экранировки:
V tot ( q," ) =
V ext ( q ) e ( q," ) ’
где диэлектрическая функция в приближении хаотических фаз (ПХФ) имеет вид
= 1 - 2 ne 2 f d 2 k f k-q/ 2 - f k + q/ 2
( q, ) q J (2 n ) 2 A 2 kq/m * + Пш '
В соответствии с теорией возмущений
± = [ d" £,£,№ (Q," )|2 6 (Ek (k + q) + i -∞ j,k,l k,p,q
+ E l ( p - q ) - E i ( k ) - E i ( p )) X
Xf k f p (1 - f k + q )(1 - f p-q ) , (16)
где V ijk1 ( q," ) — матричный элемент полного потенциала экранирования, а f — функция Ферми-Дирака. В случае одной заполненной подзоны имеем i = j = k = l = 1. Здесь отступим от
ТРУДЫ МФТИ. — 2010. — Том 2, № 1(5) традиционного (численного) метода решения задачи, использовав нормировку вероятности элек-трон-электронных переходов на δ -функцию. В результате в процессе интегрирования (16) встречаются лишь сингулярные члены. Это позволило проинтегрировать (16) в элементарных функциях и получить результат, удобный для анализа. Воспользовавшись в процессе вычисления тождественным преобразованием
£ f k (1 - f k + q ) 6 (A " - E k + q + E k ) = k
= П (exp (-vAШ) + 1)3 [X0 (q,")]’ где fk - fk+q 1
X о ( q," : 2> "E---- p ---^-^x , v = T^^
ПШ - E k + q + E k + iO k B T
E(z), мэВ

Рис. 2. Фрагмент E (z) гетероперехода при ns = 6,3 • 101 см~ . Показана аппроксимация реального распределения потенциала треугольным профилем с изломом в точке пересечения с уровнем E1
Приходим к окончательному выражению:
/ 1 Y n"“ ( E 0 - E 1 ) 2П v, , , . , , . , .
(. -J = m * E F dn 2 [ * 1 ( v )+ * 2 ( v )+ * 3 ( v )l+
V 8 m * E F e L e 2 L 2 m * va x
+ n 2 E F m * d 2 ( E 0 - E 1) [( E 0 - E 1) "- Л П 2- - V 0 d X
X [ * 1 ( v ) + * 2 ( v )| +
E 0 e 2 L 2 m ∗
+ П3AvEFd [E0d - (E0 - E 1) -ПЛ?-J *3 (v), где vEF vEF
1 5 (2 B - vE F ) 2 5 (2 B - vE F ) 2 ,
* 2 ( v ) = 6(2 Bv - vE F ) ['“( B ) - 6 ■ (2 BE F vE F ) ' •
, , ) ( vE F ) 6 l / vE F A , ( vE F ) 5
-
3 5(2 B - vE F ) 7 П \2 b) (2 B - vE F ) 6
_ ( vE f ) 4 + ( vE f ) 3 ___ ( vE f ) 2
2(2B - vEF)5 (2B - vEF)4 2(2B - vEF)3 • Проанализируем последнее выражение. По смыслу входящих в него величин можно указать, что основными факторами, влияющими на интенсивность электрон-электронного взаимодействия, являются температура и параметры потенциальной ямы. Оценим вклад каждого из них. Преобразуем (17) к виду
Ctra = ai (Eо,Ei,d) pi (v) +
+ a 2 ( E о ,E i ,d ) p 2 ( v )+ p з ( v ) , (18) где функции σ n зависят только от параметров ямы и являются безразмерными, а p n — от температуры и имеют размерность времени. Вышеуказанные функции представлены на рис. 3 и 4, а зависимость времени релаксации от температуры на рис. 5.

Рис. 3. Характер воздействия на σ n суммы (9) параметров E 1 и d для реальных гетероструктур при E 0 = 225 мэВ. Сплошные кривые — σ 1 , σ 2 при d =86 ˚A, штриховые кривые — σ 1 , σ 2 при d = 100 ˚A

Рис. 4. Вариационный вклад в температурную зависимость компонентов p n в (9) при E 0 = 225 мэВ, E 1 = 165 мэВ, d =86 ˚A. p 1 — сплошная кривая, p 2 — штриховая, p 3 — штрихпунктирная
Сравним выражение (18) с экспериментальными данными [4] (рис. 5). Варьируя параметры ямы в известных пределах, возможно добиться удовлетворительного согласия с результатами работы [3]. Как видно из рис. 2, имеются три параметра, задающих треугольную яму. Зафиксируем один из них (пусть это будет E0 ) и будем варьировать два других (ширина ямы d и E1). Из рис. 2 следует, что влияние первых двух слагаемых в (18) при значениях E1 > 135 мэВ будет несущественным и ход температурной зависимости времени «e-e» взаимодействия полностью определяется третьим слагаемым — p3 (v), повторяющим экспериментальные кривые.

2 4 6 X 10 Т.К б)
Рис. 5. Сопоставление теоретических (а) и экспериментальных (б) зависимостей для n s =8 · 10 11 см - 2 —(1)и (4), n s =6 , 9 · 10 11 см - 2 — (2) и (5), n s =6 , 3 · 10 11 см - 2 — (3) и (6)
Таким образом, аппроксимируя реальный профиль гетероперехода треугольной ямой, когда под уровнем Ферми имеется лишь одна заполненная подзона размерного квантования, удаётся добиться хорошего согласия результатов расчёта τ ee — времени внутриподзонной релаксации с экспериментальной зависимостью. Подгоночными параметрами служила лишь характеристика потенциальной ямы наноструктуры.