Элементы векторной оптимизации для поиска вариантов технических объектов

Пусть Х- множество объектов, u={u1(x),™,u„ (x)}-критерии первого уровня, к={к.(х)._,к Дх) } - критерии второго уровня, хеХ. При отсутствии критериев второго уровня задача поиска объекта решается на мно- жестве Парето [1]

х е Argmin F(x), х е P x

P = {x е X/ 3x0 е X/ut(x°) < u.(x),i = 1,...,n}, где F(x)-обобщенный критерий, представляющий свертку ui (x),^,un(x).

В нашем случае задача решается следующим способом:

Шаг 1. Введем множество векторов предпочтения критериев первого уровня

Л = р/£X = 1,X ^0,i = 1,...,n >

- представляющий собой n-

I         i

1-мерный правильный симплекс. Для каждого X е Л определим множе- ства

Ux (X) = {u = u(x) / x е X(X) = argxeX min [max; XW ]}, где

W = abs

u i0 ^(x ) ^{- u} i ^{( x} ) ^u i 0 ^{( x} )

- нормированные критерии,

u i о (x)= max u i (x) или min u i (x) если предпочтительно увеличение или уменьшение значения u i (x).

та

Если для фиксированного

л*

получено несколько вариантов объек-

Х ( Л ) с

Х, то формируется множество

U2 H

u = u ( x )/ x g arg min Z W

, для всех

х G Х( Л* ).

Обозначим Р и = U1 (Л) u U2 (Л) - множество не улучшаемых, с точки зрения по Л , векторов из U (Vx G X3u( x) G U или вариантов объекта x G PX для которых u(x) g Ри. Параметр Л выполняет роль промежу- точных переменных и определяет вариант объекта. Тогда поиск оптимального или точнее - рационального варианта объекта можно переформулировать как задачу поиска неизвестных Л G Л .

Шаг 2. Выбирая на симплексе точку Л определяем для нее вариант объекта и с помощью моделирования определяем к (Л) = {кi(Л ),_,к p (Л) }.

Шаг 3. Обобщенный критерий представим в виде        F( Л )=

Z ^Aj k j^{( Л )} , J=1,^,P, где

j

Z A = 1 - коэффициенты предпочтения крите- риев второго уровня (назначают эксперты).

Шаг 4. Далее определяем Л0 g arg min F(Л),  для Л G Л и соответ ствующий х G Px , для которого u(x0)G Ри .

Данная постановка задачи формирует контур автоматизированного принятия решения, где эксперт на рекомендацию принять вариант объекта, имея информацию о u (Л), k (Л), F (Л), за счет коррекции Л может полу чать и сравнивать варианты объекта, принадлежащие Рх • Для нахожде- ния рационального варианта объекта на симплексе строят £ - сеть узлы которой есть компоненты вектора X . Для £ - сети формируют PX или

P U , что иногда представляет очень большую по объему вычислений задачу. Для преодоления этих трудностей воспользуемся симплексными планами Дрепера-Лоуренса [2,с.112]. В симплексной системе ими построен план, минимизирующий смещение (систематическую ошибку), связанное с тем, что истинная поверхность отклика описывается полиномом степени N ₂ , а модель строится степени N ₁ < N ₂ . Согласно плану на симплексе (для трех критериев) выбирается, по определенным правилам, семь точек. Для каждой точки вычисляют u ( X ), k ( X ), F( X ). Далее определяем X⁰ е arg min F ( X ), и соответствующий х . Вся информация передается экспертам, который может принять данный вариант или остановиться на любом другом из семи предложенных. Таким образом, определяется начальная, опорная, точка для дальнейшего поиска рационального варианта объекта.

Рассмотрим, в качестве примера, краткое описание одной из процедур поиска рационального варианта объекта с учетом реакции эксперта.

Процедура (метод “расширяющихся окрестностей”).

Рассматривается окрестность точки λ с радиусом

R=min{R 1 , R 2 , R 3 } / h , где R 1 ,R 2 , R 3 - расстояние от точки

X до сторон симплекса и целое h>1. Если координаты наилучшей точки

000   0

в исходной системе координат X = {X 1, X 2 , X 3 }, то в сим плексной - надо умножить все компоненты на V2. Для заданного угла У исследованию подлежат точки на окружности R с угловым шагом n Y .

n

Координаты точки X в симплексной системе вычисляются по формулам

λ ⁿ 1 = λ 1 + R( cos n γ - sin n γ ),

λ ⁿ = λ ⁰    - R ²³ cos n γ ,

²²             3                 ^,

λ ⁿ ₃ = λ ₃ + R( sin n γ + ^ ³ cos n γ ).

При оценке решений х ( λ0 ) и х ( λn ) реакция эксперта может быть, например, вектор с компонентами +1, 0 , -1. Плюс 1 –если х ( λn ) предпочтительнее х ( λ0 ) – тогда точка λn является исходной и процесс построения окрестностей R повторяется , 0 – в противном случае – процесс повторяется после выбора h 1 < h, минус 1 –если решения неразличимые. В последнем случае решение выбирается случайно.