Энтропийный критерий длительной прочности для вязкоупругих материалов

Введение. Процессы вязкоупругого сопротивления материалов при нагружении, сопровождающиеся ползучестью, релаксацией, диффузией, теплопроводностью, химическими реакциями, являются необратимыми. В рамках модели адиабатической системы такие процессы деформирования можно рассматривать как колебательные процессы упругого тела в вязкой среде газа фононов с начальной температурой Т ₁ . В результате внешнего возмущающего воздействия в среде будут инициированы затухающие колебания, в завершении которых температура газовой среды повысится до значения Т ₂ >  Т ₁ . Комбинированная модель твердого тела в виде термодинамической системы, обладающей квантовыми свойствами вещества, позволяет подойти к решению задачи длительной прочности на основе синтеза термодинамики необратимых процессов и кинетической теории прочности.

Основная часть. Второе начало термодинамики устанавливает, что разность энтропий для двух состояний системы S2 — S 1 равна интегралу, взятому между этими состояниями по обратимому пути, и больше этого интеграла, если интеграл берется по необратимому пути [1]:

S 2 - S 1 > | Q ,

где δ Q - бесконечно малое изменение теплоты системы.

Вычисление рассматриваемой разности энтропий начального и конечного состояний системы деформирования тела в вязкой среде приводит к следующему выражению [1]:

S ₂ — S = С ln- 2 >  0

21 v      ,

T ₁

где

С v

- объемная теплоемкость материала; Т ₁ , Т ₂

- температура начального и конечного со-

стояния.

Согласно кинетической теории прочности [2] удлинение межатомных связей ε d⁰ при температуре Т и длительности процесса после возмущения и снятия нагрузки ( σ → 0) t определяется соотношением:

ε

d

αkT   t ln

C    τ 0 ^,

где С - атомная теплоемкость материала; α- коэффициент термического расширения объема, k - постоянная Больцмана; τ0 - величина порядка периода тепловых атомных колебаний 10-13с.

Если понимать ангармонизм межатомных взаимодействий как проявление тепловой флуктуации давления фононного газа, то атомная теплоемкость С в выражении (3) при снятии нагрузки σ → 0 может рассматриваться как теплоемкость при постоянном объеме С_v . Тогда на основании (2) можно установить связь между величинами теплоемкости и энтропии:

S 2

¹ V ^—

^{— S} i

ln ^{T 2} T 1

.

В соответствии с выражением (3) получим:

8d —

αkT

Tt ln ² ln

s 2 — S 1     T i    т 0

.

Выражение (5) показывает, что флуктуационное удлинение межатомных связей со временем, после того как тело было выведено из состояния равновесия ( σ → 0), обратно пропорционально разности энтропий начального и конечного состояний S 2 — S ₁ . Время t — 1 2 — 1₁ характеризует длительность процесса установления затухающих колебаний от момента возмущения ( σ → 0) t ₁ с начальной температурой Т ₁ ( t ₁ ) и энтропией S ₁ ( t ₁ ) до момента установления t ₂ , характеризуемого состоянием системы Т ₂( t ₂) , S ₂ ( t ₂) . Тогда энергия межатомных связей между двумя рассматриваемыми состояниями в соответствии с кинетической теорией равна [2]:

- S 2 — S 1

U 0 ^— T

α ln ²

—

ε _*

,

T 1

где U 0 – энергия межатомной связи; ε * ≈0,6 – предельная деформация межатомной связи, при которой связь разрушается.

Подставляя полученное выражение (6) в основное уравнение кинетической теории прочности [2] (формула Журкова), определяем соотношения для напряжений σ _* и деформаций ε в теле, выраженные через термодинамические параметры рассматриваемой вязкоупругой системы:

Еа

(Г * —

* Δ

⁸ *

V

—

kT

S 2

α

—

σ

8 = — +

Е

αkT а s 2 — s 1 A

1 ^T 2 1 t | — In—ln— I ; S i T т 0 J

Tt ln ² ln , T 1    τ 0

где Е - модуль упругости; а - межатомное расстояние; Δ - линейный размер дилатона. Энтропийный критерий длительной прочности согласно [1] имеет вид:

^{t *} W ( t )

s _n + As — s _n + -----— s *,

^{0          0} J T ( t )

где s ₀ - начальная энтропия тела; s _* - предельное значение плотности энтропии, при котором происходит разрушение рассматриваемого элементарного объема или единицы массы материала; Δs - энтропия, накопленная в процессе термосилового нагружения внутри элементарного объема материала; W ( t ) - скорость диссипации энергии или функция рассеяния; T ( t ) - температура тела; t _* - время до разрушения.

Использование энтропийного критерия предполагает знание вида функции рассеивания W ( t ) для принятой модели реологического тела или системы. Для линейных вязкоупругих материалов при одноосном напряженно-деформированном состоянии функция рассеяния определяется произведением коэффициента вязкости п и квадрата скорости деформации 8 .

Для модели Кельвина-Фойхта:

W = ns ²

Тогда в соответствии с выражением (3) получим:

W = n

1 akT a I TCT A J

или с учетом (8) через энтропию:

W = n l

1 akT

"tS ₂ - S 1

т A 2

T. a I ln— I

T A J

В соотношениях (11)-(12) время t > tB > 0, где tB - длительность возмущающего воздей- ствия системы.

Для модели Максвелла:

W = - a ² .

η

На основании кинетического подхода к определению напряжений [3] получим:

1 r,    akT a

W = —l(s +-- η CΔ или с учетом выражения (7) через энтропию:

, t .      1 akT a

In—) + n--- tCΔ

^т 0

r

W = - [ E s

η

V

■ *

kT

S 2

α

—

т t I n "I² — In—In— I— S -    T -    т о J A J

.

Тогда для материалов Кельвина-Фойхта с делящимся тензором напряжений в соответствии с (9), (11) предельное соотношение (9) примет вид:

^t * n ( - akT a 1 ² , s _n + -----1---I dt = s .

⁰ J T ( t ) V t C A J

Основываясь на экспериментально обоснованном предположении [1], что единственным источником производства энтропии являются необратимые деформации, в случае одноосного растяжения выражение для скорости диссипации энергии можно записать в виде:

W = s п ( t ) а).

Выражая скорость диссипации энергии через сомножители (17) в обоих случаях материалов различного вида, получаем интегральные соотношения в виде:

t *     2

^s 0^(Т ) + j ^ ^dt = ^s *

0 ^{n T}

При постоянном законе нагружения решение (18) определяется выражением:

_a 2

^S 0 ^{( T} ) +      ^t * = ^S * ,

ηТ

откуда находим соотношение для времени до разрушения: t * ₌ [ ^s * ^{— s o( T ) ]} Tn .

σ

Если учесть выражение (4), то при условии, что начальному состоянию тела соответствуют начальная энтропия s ₀ и температура Т ₀ , а предельному состоянию соответствуют s * и Т * ,

то справедливо условие:

T

s* — s_n = С „ ln— >  0 .

0       V гр

T 0

Тогда выражение для долговечности при постоянном напряжении примет вид:

ст, t = Сv Tηln T* .

* σ2

Выводы. На основании синтеза кинетической теории прочности и термодинамики необратимых процессов получены выражения энтропийного критерия длительной прочности и долговечности, связывающие наименьшее необходимое число величин, характеризующих тепловое и напряженное состояние тела.