Эволюция случайных световых импульсов в оптических волокнах

Известно, что как источники оптического излучения, так и световоды подвержены случайным воздействиям [1]. Влияние флуктуаций диэлектрической проницаемости на эволюцию излучения, в том числе и нелинейную, достаточно подробно рассмотрено в [2-*f] . Остановимся на исследовании эволюции коротких случайных импульсов по оптическому волокну, описываемому нелинейным уравнением Шредингера (НУШ) .

В работах [5,6] методом интегрирования по траекториям в приближении заданного канала рассматривается нелинейное распространение коротких детерминированных импульсов гауссовской формы как при наличии слабого гауссовского шума (например, спонтанного лазерного излучения или его неполной синхронизации мод), так и при случайной фазовой модуляции стационарным гауссовским процессом, и анализируется эволюция их корреляционных характеристик.

Самовоздействие светового импульса типа "шумовой вспышки" вида

Ф_о(т) = E(t)U(t)                                                               (1)

с гауссовской регулярной огибающей и(т) = ехр(-т/2) и мультипликативным гауссовским шумом Е(т) рассмотрено различными методами в [7*9] на коротких расстояниях. 8 частности, в [7] показано, что с ростом них мгновенное распределение решение НУШ все больше отличается от гауссовского.

Асимптотические характеристики решения НУШ на основе метода обратной задачи рассеяния для начальных условий типа солитон + шум ф0(т) = sech Т + ЕСт) рассмотрены в [Ю], где отмечалась близость распределения решения НУШ к гауссовскому при сохранении односолитонного режима распространения (при малых флуктуациях) и отход от гауссовости с ростом флуктуаций, что объясняется нарушением односоли-тонности .

Статистические характеристики связанного состояния нескольких солитонов рассмотрены в [11.12].

Ограничиваясь односолитонным режимом распространения, рассмотрим статистические характеристики сигнала на выходе оптического волокна, описываемого НУШ

.3^ + Э_^ + м|ф|=ф = 0                                                           (2)

Зл Зта когда на вход его подается случайное воздействие ф(0,т) = Ф0(т) произвольного вида. Для этого определим статистику решения уравнения (2) при некотором значении и- Аналогичная задача решалась в [13] применительно к уравнению Навье-Стокса.

Обозначим и(п,т) = 8еф(т|,т), v (п,т) = 1тф(п,т) и рассмотрим вектор z = (u,v)T. 8 этих обозначениях уравнение (2) с начальным условием ф(0,т) = Фо (т) переписывается в виде

Й * А ~ * xA|z!az = z (Т)6(П),                                      (3)

Эт2

где. А -       g^, a zq(t) = (и(0,т), v(0,t))T. Таким образом, по известной ста тистике zQ (т) требуется отыскать статистику решения z(n,t) в точке и, которую удобно описывать в терминах характеристического функционала векторного аргумента 0(т)

ф[е(т);п] =                                      (4)

или

ф[б(т);п] = <ехр{i(0-z))> ,                                                    (5)

где угловые скобки обозначают статистическое усреднение.

Характеристический функционал дает полное статистическое описание процесса z(q,T). Так, n-мерная плотность распределения вероятностей

Pn(ziZ...,Zn;n) =

= —Ч /  ... / exp[i(0>, ♦ ... ♦ e^zj®[e1,...,0n;n]d01...d0n/

(2п) -ОО      -со      L zi = z (п/Т^ , ei = е(т.).

Через характеристический функционал можно также выразить и все моменты z(n,v) [14].

Продифференцируем обе части уравнения (5) по п:

= of)                d И и подставим вместо dz/dq ее выражение из (3):

= i(e-(-A <     е1<®*2) > -ИА < |z|3z e^0'z> > + 6(Л) < z0(T)ei(e'z>>})

Поскольку e^® Z^ не зависит от т, то последнее уравнение можно переписать в виде

4 = i <в- {-А --- ОФ + и A I D I 3 ОФ + 6 (q) < ZДт)е’(е'2)»,                 (6)

Эп             Этз                               о где 0 = (D^D^)7, |0|2 = О3 + О3, а 0а = 6 / 60q(t) dr, а = 1,2 - оператор вариационного дифференцирования [!**]• Заметив, что

6(n)> = - ^®z [0) , получаем, что характеристический функционал решения НУШ в точке и является решением уравнения

— = (0. {-А вф + хА|0|=0Ф})                                           (7)

ЭП           Эт с начальным условием ф[0(т);О] = Ф [0] , где Ф [0] - характеристический функ-

2 О                2 о ционал случайного сигнала в начале эволюции (при п = 0) .

Уравнение (7) линейно относительно искомого функционала ф[0(т);п], что удобно для численных расчетов и, кроме того, для него справедлив принцип суперпозиции, то есть если начальное условие есть сумма элементарных сигналов, то суммарный характеристический функционал равен сумме характеристических функционалов, соответствующих отдельным начальным сигналам.

Решение уравнения (7), как и в других аналогичных задачах, будем искать в виде функционального степенного ряда вида

®i+®a       "    .                                                        (В)

Ф = е (1 + Z %), п = 3

где Фп - однородные степенные Функционалы степени п:

^ф₁ = Ф,[в(т);п] = Ув^т (т)ф₁ (т;п)dT,

Ф3 = Ф2[в(т);п] = //8Т(т)фа(T,s;n)6(s)dTds, ...

Этот ряд аналогичен ряду Грама-Шарлье для функций распределения вероятностей [15]. Экспоненциальный множитель в (8) представляет собой характеристический функционал гауссовского случайного процесса, имеющего те же первые и вторые моменты, что и рассматриваемый сигнал, а ряд в скобках описывает его отклонение от гауссовости.

Учитывая, что вариационное дифференцирование уменьшает, а скалярное умножение на в(т) увеличивает на единицу степень функционала Ф^, после подстановки (8) в уравнение (7) и приравнивания друг другу функционалов одинаковой степени, получается бесконечная система вариационных уравнений. Для замыкания системы воспользуемся гипотезой Миллионщикова о том, что четвертые моменты распределен ния можно выразить через вторые. Такое допущение справедливо для гауссовских случайных процессов и на практике выполняется для реальных полей, рассматривав-мых, например, в статистической гидромеханике [13], и в данном случае влечет за собой равенство Ф =0.

Пренебрегая членами Ф5 и более высокого порядка в указанном приближении получается следующая замкнутая система уравнений

|^ = (в1{"А ^ 0Ф1 + HAtCCD^,)2 + (0аФ,)’0Ф1+(д)

• ♦    го^^^ф, + 2о_аФ.,о_аОФ_а + Ю|²ф_зоф₁ + |О|²оф_з]))

ЭФ                                         _2

^ = (е-{-А —- оф₂ + ха[((о₁ф₁)³ + (о_а^ф₁) ЮФ_а +

• ♦    2(Р1Ф101Фа + 0аФ1ВаФа)0Ф1 + 2(01Ф1Р1РФэ + ОзФ^дОФд) +С10>

* 2(В.Ф20.0Ф2 + 0,ф,0,0Ф2) ♦ |0|2ф,0Фа ♦ |D|3®-D®J})

1  2  1    2       2  2  2    2                2   2

Эф              Л2                       22

ч-2 = (е-{-а ^ оф„ + xa[((d ф > + (о,ф ) )оф + оГ|                               3•

• ♦    2(0,Ф,0.Ф₂ ♦ О₂Ф.О₂Ф₂)ОФ, ♦ ((О.фд)² * (О_аФ_а)²)ОФ. ♦

2 1 X X 2                     XX      1(11)

+ 2(0 Ф 0 Ф + 0 Ф 0,ф,)Оф + 2(0 ФО ОФ + 02Ф2020Ф_) +

1  1  1  3       2  1  2  3      1         1 X 1    3       X X X 3

• ♦    |0|²Ф_а0Ф₃ + 2(0₁0Ф_а0₁Ф_э + 0₂0Ф_а0_аФ₃) +|0|²Ф₃0Ф₃]}).

Система уравнений (9*11) позволяет записать уравнения для первых трех моментных функций, которые допускают только лишь численное решение, однако один очень важный вывод из них следует сразу. Если входной сигнал ?0(т) является гауссовским с нулевым математическим ожиданием, что справедливо, например, для шумовой вспышки вида

ЭФз            а2

— = (_в. (-А 5—

Эп            Эт3

(1), то из уравнений (7"9) следует Ф

0Фа + хА|0I Фа0Фа+

0, Ф3 = 0 и

+ 2хА(0 Ф 0 0Ф + 0 ф 0 0Ф )})

4  2  1   2      2  2  2   2 ''

то есть сигнал на выходе оптического волокна, описываемого нелинейной моделью (3) с точностью до членов порядка ®5» подчиняется гауссовской статистике, корреляционная функция которой Фа(т,5;т]) удовлетворяет уравнению в частных производных, которое можно записать из (12). В этом приближении оказывается обосно- ванным использование гауссовской модели, примененной, например, в [1б] при анализе распространения шума.

Из (10) получаются уравнения, определяющие матрицу корреляций квадратурных компонент огибающей случайного сигнала. Если нет необходимости в полной статистике, а требуется найти только корреляционную функцию процесса на выходе волокна, описываемого моделью (2), то можно воспользоваться иными методами. Так, в работе [5], используя метод интегрирования по траекториям исследована корреляционная функция отклика на входной сигнал вида Фо (т) = е Т + п(т), где п(т) -гауссовский шум с нулевым средним, показано, что на начальном этапе эволюции форма гауссовского импульса не искажается: изменяются лишь его длительность и время корреляции, а влияние шума сводится к дополнительному расплыванию импульса. В [6] тем же методом исследованы корреляционные функции огибающей и интенсивности сигналов с начальной случайной фазовой модуляцией.

Непосредственно из НУШ с затуханием В в [9] с использованием известных методов анализа самовоздействия случайных волн в нелинейных диспергирующих средах [1,17] и ограничиваясь гауссовским приближением для B(t,s;n) = <Ф(П,Т)ф*(п,s) > получено уравнение

. эв(т,$;п) . a^u^siHl - I^b^sjjiL ₊

Эи           Эт2           3$2

+ 2х[в(т,т,п) ~ 8 (s , s;п)] В (т, s;п) +

+ 2 i 0В(т,s;п) = 0 , подробный анализ которого проведен в [9,18] для входного импульса вида (1)