К аппроксимации температурного поля слябов при нагреве в методических печах квадратичным полиномом

В работе [1] рассмотрен вопрос о возможности пространственной аппроксимации нестационарного температурного поля слябов при нагреве в методических печах квадратичным полиномом. При этом собственно сам процесс нагрева описывался следующей системой уравнений:

д t О,т) _ д Кд t(x,i)\

Рл            \ Л        ) ,(1)

1 дт      дх\    дх J

0 < х < L ,т> 0;

t(х, 0) — t0(%), 0 < х < L;(2)

1Г —0,т>0;(3)

^^ —a[fn(T)-t(L,T)],T>0.(4)

Здесь ст, р и Л - соответственно теплоемкость единицы массы, плотность и коэффициент теплопроводности, зависящие в общем случае от температуры С(х,т); х - пространственная координата; т - время; L - расчетное сечение заготовки; С0(х) - заданная функция, описывающая начальное температурное поле металла; a - коэффициент теплоотдачи; Сп(т) -температура рабочего пространства печи.

Рассматриваемый же квадратичный по переменной х многочлен представлялся формулой

С_хг(х,т) — а(т) + Ь(г)х + с(т)х².     (5)

Здесь а(т),й(т),с(т) - параметры (коэффициенты) параболы, которые подлежат определению в процессе решения задачи моделирования.

Приведенный в работе [1] вариант решения задачи заключается в том, что для определения коэффициентов а(т),Ь(т),с(т) соотношение (5) непосредственно подчиняли уравнениям модели (1)–(4). В результате получили обыкновенное дифференциальное уравнение для определения искомых параметров параболы. Нашли общее решение этого уравнения и его конкретизацию для случая постоянной температуры рабочего пространства печи. Предложен способ отыскания начального условия для полученного решения. Проведены вычислительные эксперименты, позволяющие оценить приемлемость рассматриваемого подхода для расчета температурных полей заготовок. Показано, что при использовании метода парабол наибольшая погрешность в определении температуры имеет место для центра и поверхности сляба, при этом погрешности расчета среднемассовой температуры практически нет.

Разумность такого подхода – представление нестационарного температурного поля нагреваемого металла параболой – обуславливается тем, что параболу можно однозначно характеризовать «…небольшим числом параметров…» [2, с. 352], что значимо упрощает описание температурного поля и весьма существенно уменьшает необходимый для его хранения объем памяти компьютера.

В данной работе рассматривается подход, основанный на таком понятии, как «важнейшие температуры в теле» [3]: требуется,

чтобы числовые значения «важнейших» температур отображались ( представлялись) бы с достаточной точностью аппроксимирующим квадратичным полиномом. Такой подход вполне оправдан практически, так как «важнейшие» температуры достаточно однозначно характеризуют качество нагрева металла, да и его температурное поле в целом.

Чаще всего к этим температурам относят температуру поверхности заготовки, минимальную температуру, которая, например, при симметричном нагреве наблюдается в центре сляба, и его среднемассовую температуру [3, 4]. Понятно, что по температуре поверхности и минимальной температуре можно оценить и перепад температуры в металле и, наоборот, зная эти величины, нетрудно вычислить и его минимальную температуру. При этом перепад температуры, как это хорошо известно, диктуется технологией прокатки, важен он также и с точки зрения величины термонапряжений, возникающих в начале процесса при нагреве заготовок холодного посада.

Постановка задачи

Рассмотрим два варианта решения задачи о возможности аппроксимации температурного поля слябов при нагреве в методических печах квадратичным полиномом, полагая при этом, что некоторые «важнейшие» температуры металла достаточно точно представляются этим полиномом. При этом предварительно отметим, что при данном математическом описании процесса считается, что центр заготовки имеет координату % = 0, а ее поверхность % = L. Кроме того, температура поверхности tLL ,т) = t_n0B и среднемассовая температура тела t = С_срм при представлении его температурного поля квадратичным многочленом будут вычисляться по следующим формулам:

t (L,t) = tnoe = а(т) + b(r)L + c(t)L 2 ; (6)

t = Ссрм = [Jo [а(т) + b(T)% + c(t)%2 ]dx = а(т) + Ь(т) - + с(т)у. (7)

Первый вариант решения

Полагая, что коэффициенты полинома должны быть определены из условий равенства вычисляемых по формуле (5) температур центра ^(т), поверхности Спов(т) и среднемассовой температуры Ссрм(т) их реальным значениям, получим следующую систему уравнений:

t ц(т) = а(т);

t пов(т) = а(т) + b(r)L + c(T)L2;                                                          (8)

t срм(т) = а(т) + b(O - + с(О у.

Решая систему (8), установим, что коэффициенты трехчлена следует определять по формулам:

а (т) = Сц(т);

b(т) = [бСсрмСО — 2Спов(т) - 4 СцСО] /L;                                                  (9)

С(Х) = {3[Сц(т) + ^овСО] - 6^рм(т)}Д2.

Как это следует из (9) при таком варианте решения для определения параметров полинома нужно знать реальные текущие значения трех температур - ^(т), Спов(т), Ссрм(т). Общие формулы для ^(т), Спов(т), Ссрм(т) могут быть получены заранее, например, путем решения задачи (1)-(4) для характерных режимов работы зон методической печи. Понятно, что затем для конкретизации нужно подставить в формулы реальные числовые значения параметров этих режимов работы. Также следует отметить, что Спов(т) вообще-то может быть определена и непосредственно измерением на печи [5]. При этом нетрудно заметить, что, подставляя уравнение (5) в граничное условие (3), получим, что коэффициент Ь(т) должен быть равен нулю. Вместе с тем из системы (9) следует, что при использовании данного подхода это совсем не так. Обуславливается это, очевидно, тем, что квадратичный полином не совсем точно описывает реальное температурное поле сляба, что, собственно, и показано в работе [1].

Второй вариант решения

Подчиним tx2 (X,τ) = a(τ)+b (τ) x+c (τ)X2 граничным условиям (3) и (4), тогда будем иметь, что dtx2 (0,t) - h =

dx,  =  (τ) =0;

λ —0 (- , -) =α[tп(τ)-t(L,τ)] =λ2Lc(τ) =α[tп(τ)-a (τ) - c (τ) L2].

Если при этом дополнительно считать, что должны быть равны и среднемассовые температуры, то получим, что

' λ2Lc(τ) =α[tп(τ)-a(τ)-c (τ) L2];

L2

tсрм(τ) = a(τ)+c (τ)  , поэтому будет

a (τ) = tсрм(τ)- L2 ∙ «кп( -) срм( -)’ ; срм                         ∙        ; cfx) — “[£п(£)~tсрм(£ )]

C (τ) =  2H+2/3∙ aL2 .

Подчеркнем, что при таком подходе параметр b (τ) = 0, а для определения других коэффициентов необходимо знать реальные значения среднемассовой температуры и температуры рабочего пространства печи.

Покажем, как по результатам текущих измерений на печи можно определить среднемассовую температуру заготовки. Для этого проинтегрируем уравнение (1) по координате x в пределах от 0 до L и разделим обе его части на L , тогда, полагая, что c _т, ρ и λ являются const, получим [6, 7]

i _rLdt ( X , T )          1     d²t ( X , T )

C т ^ρ J        ax =λ ∫        ax ,

т или же

(z∫ ,“'(1 ,τ)dx)=2 т Si ∙ -(,:) Io или же dtсрм(X)_ Л_ rdt(L,т)    dt(0,т)

=[  - dr      cт pL L dx dx

Нетрудно видеть, что здесь ̅= срм =  ∫  ( ,τ)   – среднее значение температуры заго товки (среднемассовая температура).

Если подставим соотношения (3) и (4) в уравнение (16), тогда получим, что itсрм( - )=     [tп(τ)-t(b, τ)].

U L       Lт P^

Отсюда следует, что среднемассовая температура может быть вычислена по результатам текущих измерений штатными техническими средствами АСУ ТП печей температур рабочего пространства и поверхности сляба:

tсрм(τ) =∫)777[tп(τ)-t(L,τ)]dτ+tсрм(0). cтr^

Таким образом, при данном варианте решения задачи процедура определения параметров полинома заметно упрощается в вычислительном отношении, примечательно, что здесь могут быть использованы не расчетные, а реальные данные о температурах рабочего пространства и поверхности металла. Конечно, при этом предварительно должным образом необходимо решить задачу параметрической идентификации математической модели (1)–(4), в первую очередь определить реальное числовое значение коэффициента теплоотдачи α.

Структура алгоритма вычисления среднемассовой температуры по текущим измерениям температур рабочего пространства и поверхности сляба представлена на рис. 1.

Рис. 1. Структура алгоритма вычисления среднемассовой температуры

Fig. 1. Structure of the algorithm for calculating the mass average temperature

Оценка погрешности воспроизведения температурного поля сляба квадратичным полиномом

Расчеты выполнялись для следующих у словий: _п = 1300 ℃ = const; _т =   = 0,02 ^м ;

=0,1 м; λ = 40,705 Вт ; α = 407,05 Вт ;   = ∫   ( )   = 20 ℃. При этом использовалось м∙℃м ∙℃ известное [4] решение задачи (1)–(4) при п = const:

( ,τ) = п+(  - п)∙∑              ∙cosμ ∙ ехр(-μ т ),(19)

∙ где μ – корни следующего уравнения ctgµ =

Нетрудно вычислить, что при таких условиях температуры центра ц(τ), поверхности пов(τ) и среднемассовая температура срм(τ) будут изменяться в соответствии с уравнениями:

ц(τ) = (0,τ)= п+(  - п)∙∑              ∙ехр (-μ т );(20)

∙ пов = ( ,τ) = п +(  - п)∙∑              ∙cosμ ∙ехр (-μ  т );(21)

∙

(τ) =   +(  -  )∙∑        (    )     ∙ехр (-μ т ).(22)

срм          п             п             (         ∙)

Первый вариант настройки коэффициентов параболы . На рис. 2–5 приведены кривые распределения температуры в заготовке, вычисленные по методу парабол (первый вариант решения задачи) и по классическому (точному) методу Фурье соответственно для моментов времени τ= 0,25 ч, τ= 0,5 ч, τ=0,75 ч и τ= 1,0 ч. Кривые отмечались соответственно зеленым и красным цветом.

Как видно из рис. 2–5, совпадение кривых практически идеальное, что свидетельствует о достаточной обоснованности параболического подхода к описанию температурных полей слябов при нагреве в методических печах. Однако здесь необходимо иметь в виду, что модель (1)–(4) предварительно должна быть настроена на реальный процесс, кроме того, при вычислении коэффициентов параболы в формулы (20)–(22) нужно подставлять реальное значение температуры рабочего пространства печи, стабилизируемое с помощью ее автоматизируемой системы управления технол ог ическим процессом (АСУ ТП), и реальное значение начальной среднемассовой температуры . Последняя величина может отслеживаться, например, с помощью алгоритмов работы [8]. Более того, вместо вычисления температуры поверхности по формуле (21) ее значение можно брать и из АСУ ТП за счет использования соответствующего измерителя. Также и среднемассовую температуру можно определять по схеме рис. 1 с использованием реальных измерений на печи.

Второй вариант настройки коэффициентов параболы. На рис. 6–9 приведены кривые распределения температуры в заготовке, вычисленные по формуле (5) с настройкой коэффициентов параболы по второму варианту и по классическому (точному) методу Фурье соответственно для моментов времени τ=0,25 ч, τ=0,5 ч, τ=0,75 ч и τ= 1,0 ч. Как и прежде, кривые отмечались соответственно зеленым и красным цветом.

Рис. 2. Распределения температуры по сечению заготовки для т = 0,2 5 ч, вычисленные по методу парабол (первый вариант настройки его коэффициентов) и по точному методу Фурье Fig. 2. Temperature distributions across the cross-section of the workpiece for т = 0 .2 5 h, calculated using the parabola method (the first version of adjusting its coefficients) and the exact Fourier method

Рис. 3. Распределения температуры по сечению заготовки для т = 0 ,5 ч, вычисленные по методу парабол (первый вариант настройки его коэффициентов) и по точному методу Фурье Fig. 3. Temperature distributions across the cross-section of the workpiece for т = 0 .5 h, calculated using the parabola method (the first version of adjusting its coefficients) and the exact Fourier method

Рис. 4. Распределения температуры по сечению заготовки для т = 0 ,7 5 ч, вычисленные по методу парабол (первый вариант настройки его коэффициентов) и по точному методу Фурье Fig. 4. Temperature distributions across the cross-section of the workpiece for т = 0.7 5 h, calculated using the parabola method (the first version of adjusting its coefficients) and the exact Fourier method

Рис. 5. Распределения температуры по сечению заготовки для т = 1,0 ч, вычисленные по методу парабол (первый вариант настройки его коэффициентов) и по точному методу Фурье Fig. 5. Temperature distributions across the cross-section of the workpiece for т = 1.0 h, calculated using the parabola method (the first version of adjusting its coefficients) and the exact Fourier method

Рис. 6. Параболическое (зеленая кривая) с настройкой коэффициентов по второму варианту и вычисленное по точному методу Фурье распределения температур по сечению заготовки для т = 0 ,2 5 ч Fig. 6. Parabolic (green curve) with the coefficients adjusted according to the second option and the temperature distribution over the cross-section of the workpiece calculated using the exact Fourier method for т = 0.2 5 h

Рис. 7. Параболическое (зеленая кривая) с настройкой коэффициентов по второму варианту и вычисленное по точному методу Фурье распределения температур по сечению заготовки для т = 0,5 ч Fig. 7. Parabolic (green curve) with the coefficients adjusted according to the second option and the temperature distribution over the cross-section of the workpiece calculated using the exact Fourier method for т = 0 .5 h

Рис. 8. Параболическое (зеленая кривая) с настройкой коэффициентов по второму варианту и вычисленное по точному методу Фурье распределения температур по сечению заготовки для т = 0,7 5 ч Fig. 8. Parabolic (green curve) with the coefficients adjusted according to the second option and the temperature distribution over the cross-section of the workpiece calculated using the exact Fourier method for т = 0 .7 5 h

Рис. 9. Параболическое (зеленая кривая) с настройкой коэффициентов по второму варианту и вычисленное по точному методу Фурье распределения температур по сечению заготовки для т = 1 , 0 ч Fig. 9. Parabolic (green curve) with the coefficients adjusted according to the second option and the temperature distribution over the cross-section of the workpiece calculated using the exact Fourier method for т = 1.0 h

Как видно из рис. 6–9, отличие кривых более заметное, чем для случаев рис. 2–5, однако это различие следует признать также практически малозначимым. Поэтому можно заключить, что оба варианта настройки квадратичного многочлена с точки зрения воспроизведения реального распределения температуры по сечению сляба практически равноценны. Однако сама процедура второго варианта настройки и проще, и может быть реализована с вычислениями среднемассовой температуры по схеме рис. 1, а не по формуле (22), что является, очевидно, практически более точным.

Выводы

Следует отметить, что варианты настройки квадратичного трехчлена, рассмотренные в данной работе, обеспечивают заметно более точное воспроизведение температурного поля слябов при нагреве в печах, чем приведенное в работе [1] решение. Кроме того, данные вычислительные процедуры существенно проще. Поэтому их следует рекомендовать для предпочтительного включения в состав алгоритмического обеспечения АСУ ТП методических печей.