К корпускулярно-волновой интерпретации материи

Настоящее - есть "миг" между прошлым и будущем, а предназначение любой науки заключается в предсказании будущего, опираясь на результаты прошлого. В математике объект может быть точкой. В практике он может быть микроскопический, макроскопический, космических масштабов. Есть науки экспериментальные и теоретические. Экспериментальные науки переводят свойства объективной реальности в продукт социального сознания, в материю - как "философскую" категорию. Говоря о масштабах объектов, мы, тем самым, отображаем их на порядковой шкале, где они квантуются по количественной величине, скрывая качество. Качество отображается стратой иерархической структуры, предполагает внутреннюю дифференциацию и квантуется циклически. Обе выступают как две взаимно дополнительные и обуславливающие друг друга метрические характеристики.

Пусть наблюдаемая описывается на множестве X n как подмножество аффинного пространства A n , т.е. характеризуется n оцифрованными свойствами, и a, b tX n . Фиксируя точку о , получим векторное пространство X n ^ R ⁿ . Элементы x = a — о, y = b - о с X n определяют переход материального объекта из состояния o в состояние a , либо b , под действием некоторого материально же обусловленного усилия, т.е. векторное пространство представляется материальным силовым полем.

Оценим величину усилия ограниченным функционалом ц =fy) = ^(f, у). Множество функционалов на Xn определим сопряжённым пространством (Xn)*. Следуя теореме Рисса, каждому функционалу отвечает скалярное произведение, которое запишем в форме Дирака fy) = . Величина функционала ставит в соответствие вектору у другой вектор x е Xn такой, что

|М| = ||Л| = ^К*) = /<х\х>= J(a-o) = р(о,а)

Функционал р определён на бинарном соответствии ( х , у ) билинейной формой р = р ( х , у ). Если построить карты со взаимными декартовыми базисами X O = ( O, I T k > : кеN = {1,2, ..., n }), ( X O )* = ( O, <¥ k l : kеN) , соответственно, то можно определить симплектическое пространство S ² n = X n ф ( X n )* с картой S O = X o Ф ( X o )*.

Стратификация предполагает вложения X n ⁺¹ с X n , т.е. систему X ^ с ... а X n+ ¹ с X n с X n ^-1 с ... с X ¹ а X ⁰ , где верхний уровень может содержать единственный элемент - как количественно определённое качество. Здесь слой X n представляет срез. Элементы среза связаны многочисленными бинарными отношениями с элементами выше стоящего и ниже стоящего слоёв и, в целом, система выглядит как нейронная сеть. Связь характеризует свойство элемента. В такой сети при переходе к ниже лежащему слою происходит дифференциация свойств наблюдаемой, а при переходе к стоящим выше срезам часть информации за счёт агрегации теряется, лучше проясняется предназначение системы. Наиболее простым примером является случай дихотомической сети, где каждый элемент сети имеет только два свойства -только две связи с ниже лежащим срезом. Если два состояния наблюдаемой определяются на одном и том же срезе, то они "сведены к одному и тому же единству и как выражения одного и того же единства они являются одноимёнными, а, следовательно, соизмеримыми величинами". Например, на высшем уровне состояния дихотомической сети наблюдаемые описываются двумерным вектором и интерпретируется геометрически точками плоскости.

Пусть х - состояние узла дихотомической иерархической сети и X множество его возможных состояний. Тогда его можно представить вектором х = [ a ; b ], комплексным числом х = a + ib , либо записать в полярной форме х

= г1Ф > , где модуль r = ( a ² + b ²)^1/2 - количественная характеристика состояния, |ф> = e ^р - характеристика качества, (р = arctg ( b / a ) - фазовая характеристика состояния. Норма вектора будет равна его модулю. Её обозначим величиной а ( x ) = r . На декартовой плоскости это оценка отклонения точки конца вектора от точки его начала. Заметим, что модульная оценка агрегирует две разномасштабные единицы. Поэтому в представлении состояния комплексным числом не только пометим мнимой единицей вторую компоненту, но и масштабируем её величиной h , x = a + ib/h . Получим представление h x = ha + ib = hxl^> . Здесь x = ( a ² + ( b/h )²)^1/2 количественная оценка состояния, | T> e^lv - функция его качества, а её аргумент щ = arctg ( b /( ah )) будет фазовой характеристикой качества.

Рассмотрим объект, дифференциация свойств которого представляет дихотомическую структуру согласованных по Колмогорову цепей Маркова. Если выделить на ней произвольный узел x , например, слоя X n , то с ниже лежащего слоя X n^{+ 1} в него будет входить информация только с двух узлов. Обозначим их x 1 и x ₂. Запишем агрегацию выпуклой линейной соответственно масштабированной формой h x = h 1 x 1 + h ² x ₂. обе части равенства разделим на величину h . Получим пакет x = c ¹ x 1 + c ² x . Если ввести обозначения p = ( c k )², полагая, что p ¹ + p ² = 1, то p ^k , k = 1, 2, будет равна вероятности поступления информации от соответствующего узла. С учётом независимости информации с узлов D ( x ) = а ² ( x ) = p ¹ D ( x 1 ) + p ² D ( x 2 ), поскольку p ( x 1 , x 2 ) = 0. Отсюда же находим, что фазовое расхождения независимых потоков равно и /2. Если с каждого узла поступает полный пакет информации, т.е. D ( x _k ) = 1, то получаем полный пакет информации и в узле агрегации.

Рассмотрим два состояния x и у узла сети. Примем одно из них за эталон. Для их бинарного соответствия, например, ( x , у ) = (факт, план), введём дисперсию D ( x , у ) = D( у ) D ( x ) = а ²( у ) а ²( x ) = а ²( x , у ). Приходим к основному метрическому уравнению в форме Пифагора а ² = p ² + v ²/ h ², где функционал v ² = Г ( x , у ) равен определителю Грамма пары векторов и совпадает с дисперсией

D ( b ) бивектора b = x Л y симплектического пространства, который отвечает наилучшему приближению данных состояний. Второе слагаемое основного метрического тождества можно записать в форме Лагранжа. При росте сходства g ^ а , а v ^ 0, при увеличении расхождения g ^ 0 , а ^ ^ о . Следовательно, основное тождество служит метрическим единством сходства и различия и полностью описывает бинарное соответствие состояний.

В тождество входят меры различных метрических пространств (декартова и симплектического) и коэффициент h служит их согласованием. Входящая в него величина о суть количество, а, следовательно, имеет определённое качество о = о| Е>, | Е> = е - ^ш , ш = arctg( v /(hg )). Сопряжением будет о * = ое^{г ш} . Полагая v /( hg ) < 1, получаем ш ~ v /( hg ), или h ш ~ v / g . Если для агрегатного усилия, необходимого для оптимизации отклонения текущего состояния от эталона , ввести обозначение E = h ш, то E ~ v / g . Принимая величину E за оценку покоординатного вектора p импульса, необходимого для достижения этого сходства, заключаем, что при большом сходстве наблюдаемой с эталоном такое усилие потребуется небольшим, а при значительном расхождении потребуется и значительное усилие. Здесь масштабный коэффициент h ~ v /(g ^ ) связывает энергию импульса с фазовой частотой и является аналогом постоянной Планка в электромагнитном излучении.

В динамическом случае состояние в = o (g, Е) = о Е со временем меняется, т.е. качество Е = Е(t ) = | Е(t )> и количество о = о( t) являются функциями временного фактора t . В стационарном случае объект, как бинарное отношение "план-факт", только меняет качество. Примером может служить моральное старение основных фондов. Величина в*в = о² будет константой и Е*Е = 1. Продифференцируем последнее равенство по временному фактору, умножим обе части данного равенства на множитель ih : ih ( Е* )’ Е + Е* ( ihЕ') = 0, и введём дифференциальный оператор H = ihd/dt . Получим тождество Е*НЕ - Е*НЕ = 0, где оператор H несёт энергетические свойства - побуждает к изменению качества. Для его среднего введём обозначение E = Е*НЕ .

Приходим к дифференциальному уравнению Шредингера HΨ = EΨ , из которого следует, что количественная величина Е служит собственным значением гамильтониана H , отвечающим собственной функции Ψ . Решением уравнения будет функция ¥ = T o exp (- iEt/h ) = T o e' ^{1 ш} t , где неизвестный множитель T o = T o ( q ) зависит только от пространственных координат q . Если вместе с энергетическим оператором ввести оператор импульса P = -ih∂/∂q , то, учитывая, что T_o*T_o = 1 и P ( T_o*T_o ) = 0, и вводя импульс p = T_o*PT_o , как среднее значение этого оператора, находим значение агрегатной функции качества, т.к. импульс является собственным значением этого оператора, отвечающим собственной функции Т_о , т.е. PT_o = pT_o и T o = e^pq/h . Имеем T = e - ⁽ Et ^-pq )/ h , которая в точности совпадает с плоской волной де Бройля. В пространственном случае следует покоординатное произведение pq заменить скалярным произведением p * q , где x = [ q ; p * ] с X ® X * Таким образом, в любой стационарной сетевой форме самоорганизации материя представляется корпускулярно волновым пакетом

a(t,x) = ZyeN

cJ'uJ'(q)exp (-

-Р^)\

Тождество для бинарного соответствия (x, у) может быть представлено в игровой интерпретации, если определить ц2(х, у) = y*WAx, WA = xy*, выигрышем игрока A от применения стратегии x против стратегии у игрока B. Тогда v2(x, у) = y*WBx, Wb = Wa* - Wa, будет выигрышем игрока B при цене игры D(x, у) и основное тождество запишется как биматричная игра. В стационарном случае игра описывается корпускулярно волновым пакетом. Волновые пакеты наблюдаются на графиках технического анализа и характеризуют внутреннее состояние социальных и экономических структур.

Здесь подтверждаются слова Эйнштейна, сказанные им ещё сто лет назад, что законы теоретической физики составляют ту основу, из которой можно вывести картину всех явлений природы.

«Экономика и социум» №2(33) 2017