К моделированию обкатки резьбовой поверхности бурильных труб

В настоящее время известно, что свойства многих твердых деформируемых сред можно удовлетворительно описать законом Гука и его обобщениями [1-4]. Классическая теория упругости предполагает малость деформации и линейный закон связи между тензором напряжений и деформаций. В случае, когда деформации и перемещения тела достаточно большие, соответствующая математическая модель усложняется в значительной степени: уравнения равновесия в деформированной системе координат необходимо решать с учетом того, что положение этой системы неизвестно (в классической теории не делают различия между системами координат до и после деформации). Соответствующие модели теории упругости, учитывающие большие деформации, получили в литературе название геометрически нелинейной теории упругости [5]. В последние годы появились материалы, свойства которых невозможно описать законом Гука даже в рамках небольших перемещений и деформаций. Математические модели, в основе которых лежат нелинейные определяющие уравнения при малых деформациях, когда временными эффектами можно пренебречь, носят название физически нелинейных теорий. Классическими примерами физически нелинейных моделей являются варианты теории пластичности, развитые в работах Сен-Венана, Мизеса, Прандтля. Первые систематические исследования по теории пластичности в нашей стране были осуществлены А.А. Ильюшиным и соответствующая физически нелинейная модель получила название теории малых упругопластических деформаций. Аналог этой модели носит в зарубежной литературе название деформационной теории пластичности.

В соответствии с принятой физической моделью разработана математическая модель, которая содержит уравнения равновесия, геометрические соотношения Коши определяющий закон деформируемой сплошной среды, краевые условия.

Математическое описание упругопластических процессов для каждого из двух контактирующих тел в указанной постановке включает в себя следующие соотношения:

– геометрические соотношения Коши (6 уравнений, 9 неизвестных)

£ « = (u i u i, j + u ji ) ,    (2.1)

гдсЕ у - компоненты тензора деформаций, u_t ( x 1 , x 2 , x 3 ) – перемещение точки ( x ₁, x ₂, x ₃) сплошной среды.

– уравнение равновесия (3 уравнения, 6 неизвестных):

° ij, j + Xi = ⁰ ,        (2.2)

где X i - составляющие объемной силы,а ^ , - компоненты тензора напряжений.

-определяющий закон деформируемой сплошной среды. (6 уравнений):

• с, = K08, + 2G(1 - ®(en )1 s„ --5, I, (2.3)

где K – модуль объемного сжатия, G – модуль упругости, го( e n ) - функция, характеризующая отклонение свойств материала от линейных, e_n – интенсивность деформаций (второй инвариант). При ю=0 из (2.3), очевидно, получается закон Гука. Функцию ю( e n ) можно получить экспериментально при растяжении образца.

В уравнениях (2.1-2.3) принято условие суммирования по повторяющемуся индексу от 1 до 3, запятая означает дифференцирование по декартовой координате x_i

д°п д°п

(например, а.  , =--11

ij ’ j    5х,     5х25x инварианты тензора деформаций имеют вид:

• — = (^11 + S22 + £33),

(    -X If -X Ien =^£ij -y^ij-J^sij -^5tJ J (2.5)

Данная математическая модель замыкается следующими граничными условиями:

ui S1 = u", (2.6) Cij S =- P“ s 2 (2.7) Су 33 =CI j s 3 (2.8) I ui s 3 = UIi s3 (2.9) гдеS1, S2 – части полной поверхности S, где заданы перемещения u0 и напряжения а0 , ni - составляющие единичного вектора n, перпендикулярного поверхностиS2,S3-контактирующая поверхность, I,II-контактные тела один и два соответственно.

Таким образом, сформулирована математическая модель обкатки роликом резьбовой поверхности бурильной трубы.