К оптимизации базиса конфигурационного пространства идентифицированной нелинейной модели динамики крупногабаритной космической конструкции

Прецизионное моделирование динамических моделей упругих элементов (штанги, панели, зонтичные антенны и т.п.) крупногабаритных космических конструкций (ККК), собираемых на орбите, относится к числу наиболее важных и трудных проблем современной космодинамики, что обусловлено жесткими требованиями к точности ориентации и стабилизации космических аппаратов [1, 2]. Дифференциальные модели таких конструкций в целом определяются их инерционными, жесткостными и диссипативными характеристиками, в связи с чем большую роль играют экспериментальные методы орбитального анализа как линейных [3 - 5], так и нелинейных [6 - 8] моделей динамики ККК. При этом современные методы апостериорного математического моделирования позволяют обоснованно выбрать оптимальную структуру математической модели с целью формирования адаптивного контура ККК-стабилизации [1]. На языке качественной теории дифференциальной реализации термин «оптимальная структура» предполагает минимальную динамическую размерность (МДР) модели [7, 8] и ее прецизионную калибровку (относительно некоторой «эталонной» модели [9]) в классе подобных МДР-систем вида «объект - регулятор - наблюдатель», индуцированных матричными группами преобразований [10], над идентифицированной ККК-МДР-моделью.

ТЕРМИНОЛОГИЯ И ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ ПРЕЦИЗИОННОЙ ЮСТИРОВКИ ККК-МДР-МОДЕЛИ

В этом разделе, обходя по возможности трясину математических обобщений, приведем сведения из пространств модулей систем дифференциальной реализации, которые являются по существу лишь кратким списком необходимых обозначений, понятий и основных предварительных фактов. После чего сформулируем ряд задач по определению/вычислению «предпочтительной» системы (в рамках прецизионной калибровки МДР-модели) динамической реализации на семействе подобных моделей «объект - регулятор - наблюдатель», индуцированных матричными группами преобразований. При этом теоретический акцент будет ставиться на соответствие формальных МДР-моделей практической реальности [4, 5]; мотивирующие детали см. также во введении работы [9].

Пусть, как обычно, M n _{X m} ( R ) - множество всех n X m -матриц над полем вещественных чисел R (соответственно M n _{х m} ( C ) - пространство матриц над полем комплексных чисел C ), GL n ( R ) - полная линейная группа степени n над R и SO _n С GL n ( R ) - специальная ортогональная группа; отметим, что группа GL _n ( R ) является неограниченным несвязным открытым n ² -многообразием, соответственно SO _n - связное компактное n ( n - 1) / 2 -многообразие (следствие 0.2.4 [10]); везде ниже верхний индекс «^т» означает операцию матричного транспонирования.

Рассмотрим на временной полуоси [0, ^ ) c R уравнения (см. систему (2) [2]) углового движения ККК в виде нелинейной векторно-матричной дифференциальной МДР-системы второго порядка:

d2 x (t)/ dt2 + Ddx (t) / dt + Ax (t) = B1 u (t) + B 2 u( dx (t)/ dt, x (t)),               (1)

y (t) = C1 x (t) + C 2 dx (t) / dt с состояниями x(t) в конфигурационном пространстве R n , программным управлением u (t) G Rm , вектор-функцией связей u(dx(t)/dt,x(t))G Rq (возможно сформированной по схеме «feedback»), выходами У (t) G R p и матрицами соответствующих размерностей:

D, A G Mn X n (R ), B := (B„ B 2) G Mn X „ (R ) X Mn X q (R), C := (CnC2)G MpXn (R)XMpXn (R);

далее примем B G M_{n X ( m + q} ) ( R ) , C G M_{p X 2 n} ( R ), при этом полагаем, что rank C = p .

Считаем, что система (1) получена a posteriori в результате минимальной дифференциальной реализации [3 - 7]¹ некоторого фиксированного семейства управляемых процессов движения ККК. Это определяет матричную «модель-представление» МДР-реализации, т.е. упорядоченную четверку матриц ( D , A , B , C ) в виде фиксированной точки декартова пространства

«(R) := MnX. (R) X MnXn (R) X MnX,m+q) (R)X Mp2n №

Переход к новому « апостериорному » базису в конфигурационном пространстве R ⁿ на основе трансформирующей матрицы S С GL _n ( R ) изменяет координаты модели (1) по формуле z : = Sx и преобразует уравнения (1)в эквивалентную им дифференциальную систему

d2z(t)/dt2 + SDS-1 dz(t)/dt + SAS-1 z(t) = SBu(t) + SB2u(S 'dz(t)/dt,S-1 z(t)),        (2)

y (t) = C! S-1 z (t) + C2 S-1 dz (t) / dt.

Уравнения (2) определяют [10] вещественно-аналитическое действие группы Ли GL n (R)на множестве матричного представления дифференциальных систем (2) согласно правилу pGL :GLn (R) X«(R) ^«(R),

( S ,( D,A,B,C )) ^ P gl ( S ,( D,A,B,C )) = = ( SDS ' , SAS ^{- 1}, SB , ( CS ^{- 1}, C ₂ S ^{- 1})), называемое действием подобия на n (2 n + m + q + 2 p ) -многообразии « ( R ) . Действие подобия p _GL задает на « ( R ) отношение эквивалентности ~ , а именно:

(D', A',B',C’)-(D, A,B,C) «

о 3S g GLn (R):(D', A', B'C') = (SDS-1, SAS-1, SB, (C1S-1, C2S-1)).

В этом положении классы эквивалентности

[ D , A , B , C ] _GL : = {( SDS ^{- 1}, SAS ^{- 1},SB ,( C _t S ^{- 1}, C ₂ S ^{- 1})): S g GL _n ( R )} отношения ~ называются [10] орбитами действия p _GL . Фактор-пространство по отношению ~ называется пространством орбит действия p _GL и обозначается через

^GL(R) :=^(R)/GL n (R).

В пространстве орбит ^ ^GL ( R ) имеется естественная топология [10], называемая фактор-топологией и являющаяся самой тонкой из всех возможных топологий на ^ ^GL ( R ) , для которых непрерывно каноническое естественное отображение

^GL: ОД Иг'г),

( D,A,B,C ) w K gl ( D,A,B,C ) = [ D,A,B,C ] gl •

Пространство орбит ^ ^GL ( R ) , как правило, называют [9] пространством модулей многообразия динамических систем минимальной (по индексу n ) дифференциальной реализации; по существу это означает, что его точки параметризуют орбиты действия p _GL .

Перечисленные конструкции переносятся на действие подобия p _so по специальной ортогональной группе SO _n ; можно показать [11, с. 120], что SO _n - связная компонента ортогональной группы О _n , при этом справедливо равенство SO _n = v { U ^k : k = 1,2, _ } , где U - любая окрестность единицы в SO _n (см. п. (в) предложения 1 [11, с. 118]), в этом положении ^ ^SO ( R ) хаусдорфово, отображение n_so замкнутое (теорема 1.3.1 [10]). Поэтому далее индекс «gl» (соответственно «so ») подтверждает действие группы GL n ( R ) (соответственно SO n ); замена указанных индексов на нейтральный индекс « # » означает действие либо группы GL _n ( R ) ,либо SO _n .

Рассмотримматричнозначноеотображение П _GL ифункционалы f _GL , g _SO вида

Hl :GLn (R) xMn (R) xMn (R) ^ Mn (R),

(5, A', A ") w nGL( S, A', A ") := SA' S-1 - A ",

f3l: Mn (R) x Mn (R) ^ R,

(A', A") w fgl (A'. A") := 1nf(| S-'|| • mGL (A', A ") S |), gso: Mn (R) xMn (R) ^ R,

(A', A") w g so( a', a ")- sup(| S-'|HhSO(S, A', A") S |), где Ц-Ц - евклидова норма (12-норма) в Mn (R) ; ниже используем факт ||S|| = tr (STS). Заметим, что ^so(-,-, A"): SOnXM n(R) ^ M n(R) - замкнутое отображение (теорема 1.1.2 [10]).

Будем называть        (A, A)-параметризованную        матрично-значную функцию nGLGA,A):GLn(R)^Mn(R),где Ae Mn(R) и AeMnx„(R)\{(SAH):SeGLn(R)} заданы, GL-юстировкой матриц A, A под действием подобия p GL , при этом значение функционала f GL( A, A) назовем квазиточностью GL-юстировки матриц A, A , соответственно gso(A, A) - рассогласованием SO-юстировки; в силу пункта 11) теоремы 1 SO -юстировка используется только при действии группы SO n . Тер мин «квазиточность» инициирован следующим положением:

0 < 1nf{||pGb(S, A, A)||: S e GL„ (R)} < f 3t(A, .4),

.4e{SAS"': Se GLn (R)} ^ 1nf{||pGL(S, A, .4)||: S e GLn (R)} = f3L(A, ,4) = 0.

Постановки задач : для матрицы A реализации (1) и «эталонной» n x n -матрицы позиционных сил

A e M_{n x n} ( R ) \ {( SAS ^{- 1}): S e GL _n ( R )} для (2) найти решения следующих задач (а) - (d):

• (а)    в терминах жордановой A -структуры установить достаточные условия разрешимости задачи оптимизации GL -юстировки вида: существует матрица S e GL n ( R ) , для которой

IIWS", A, -4) 11 = 1nf{|^ob( S, A, .4)||: S e GL „ (R)};

• (b)    показать разрешимость задачи оптимальной SO -юстировки вида: для любой «эталонной» матрицы v A G M n _х n ( R ) \ {( SAS ¹) : S G OL n ( R )} , найдется такая матрица S G SO _n , что

• || 4so( S ". A, A)| = inf{||lso( S. A, A)|: S е SO,};

**

• (с)    построить характеристическое уравнение для матрицы S задачи (b);

• (d)    определить нижнюю оценку квазиточности OL/SO -юстировки матриц A , A через построение вычислимого неотрицательного функционала O _OL : OL n ( R ) X M n _х n ( R ) X M n _{х n} ( R) —— R и вычислимой функции H : M_{n х n} ( R ) X M_{n х n} ( R ) — OL _n ( R ) таких, что для любой означенной матричной пары ( A , A ) функцио-

  нал О ol ( " , A , A ) ненулевойиудовлетворяет неравенствам

  ~ л

  
  

  ^А

  
  

  О <о _OL ( H ( A , A ), A , A ) <  f _3L ( A, A ).

  
  
  
  

Замечание 1. Задачи (a) - (d) (и им подобные [4]) мотивируется определением через действие подобия p _OL «оптимальной» дифференциальной реализации (2) посредством калибровки идентифицированной ККК-МДР-модели (1) относительно некоторой «эталонной» модели; в частности, при A = О задачам (a), (b) отвечает выбор реализации (2) с минимальной 1 ₂ -нормой для SAS ¹ [12]. С другой стороны, постановка (d) отвечает вычислению начального приближения в схеме Ньютона - Канторовича [13, с. 669] при решении характеристиче- - 1

ского уравнения задачи (с), т.е. когда SAS « SO - подгоняется» к эталонной матрице A позиционных сил, не входящей в орбиту [ D , A , B , C ] _SO . Заметим, что в этих вопросах можно применять другие альтернативные подходы [14, с. 351].

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО БАЗИСА КОНФИГУРАЦИОННОГО ПРОСТРАНСТВА ККК-МДР-МОДЕЛИ

При OL/SO -юстировке матрицы A системы реализации (1) знание геометрии пространства модулей

#

У( ( R ) тесно связано с геометрией дифференциальных уравнений второго порядка [15, с. 57]. Поэтому ниже уточним некоторые орбитальные конструкции действия подобия р # . Результаты этого раздела не претерпят качественных изменений при смене 1 ₂ -нормы в ( M_{n х n} ( R ),|| • ||) на любую матричную норму; полезные сопутствующие понятия см. в [11], а также § 30 из [15].

Везде далее Pr A : ^ ( R ) — M_{n X n} ( R ) - оператор проектирования на второе координатное подпространство пространства ^ ( R ) . Очевидно, что для всякой матрицы A G M _{n х n} ( R ) будет

PrA = ^([ D, a, B, C ]ol) = ^ol(OL n (R), a, A) + A.

В данном контексте Ц _OL ( • . • . A ) + A : OL _n ( R ) х M_{n х n} ( R ) — M_{n х n} ( R ) - действие группы OL _n ( R ) на пространстве M_{n х n} ( R ) , при этом Pr _A о ^ O_L ([ D , A , B , C ] _OL ) - гладкое (без края) подмногообразие в M_{n х n} ( R ) размерности n ² - k , где k - размерность стабилизатора матрицы A или, что эквивалентно, k - размерность ядра кольцевого коммутатора S ^ ( SA - AS ):OL n ( R ) — M n х n ( R ).

Согласно следствия теоремы 1.7 [11, с. 12] имеем (аналог теоремы Лагранжа):

Card Prа о ^([D, A, B, C]ol) = (OLn (R) :OLn (R) a ), где OL n (R) A - централизатор матрицы A , при этом OL n (R) A - замкнутая подгруппа без кручения в объ-емлющейгруппе OLn (R) (теорема 6.3 [11, с. 117]).

Теорема 1. i) Для дефектной матрицы A G M_{n х n} ( R ) многообразие Pr а о ^ O_L ([ D , A , B , C ] _OL ) не замкнуто в пространстве ( M_{n х n} ( R ),|| • ||);

• ii)    для не скалярной A G M n _{х n} ( R ) многообразие Pr _A о n J_L ([ D , A , B , C ] _OL ) не ограничено .

Доказательство. i) Доказательство проведем для случая вещественного спектра матрицы A . Пусть { Д , Х ₂, Х ₃, ^ , X _n } С R - собственные значения A , и пусть A в жордановом базисе имеет хотя бы одну клетку (жорданов блок) порядка >  2 для некоторого собственного значения. Условимся, что

А

л

A : = diag{ X ₁ , X ₂ , X ₃,... , X n }, т.е. матрица A недефектная (терминология [16]). Согласно теореме 3.4.8 [16]

-1

будет A 6 Pr A ° Л _GL ([ D , A , B , C ] _GL ). Покажем, что в такой постановке в любой « 1 ₂ -близости» от A найдутся матрицы из многообразия Pr A ° Л^ ([ D , A , B , C ] _GL ) .

В силу теоремы Шура 2.3.1 [16] существуют матрицы, унитарная U Е GL n ( R ) и верхняя треугольная

Ае Mnхn (R) , что A = UАUT. Пусть Dh := diag{1,h,h2,_,hn—1}е GLn(R), тогда

D h A D h —- =	X , 0 0	h — 1 d 12 X 2 0	h "г d 13 . h — 1 d 23 . X 3      .	.. h — n + 1 d 1 n " .. h — n + 2 d 2 n .. h — n + 3 d 3 n
	0	0	0        ..	............ .   h -1 d n — 1, n
	[ 0	0	0       ..	. x n

Таким образом, сумма квадратов всех наддиагональных элементов матрицы D h A D h¹ при достаточно большом h не будет превосходить заведомо малую величину Е >  0, при этом, очевидно,

D h A D h ¹ Е Pr A ° Л ₍G_L ([ D , A , B , C ] _GL ). Иными словами, при достаточно большом h будет выполняться неравенство || D _h A D h¹ — A || <Е ^1/2, чтодоказывает первуючасть теоремы.

• ii)    Рассмотрим доказательство в случае, когда не скалярная матрица A Е M _{n х} n ( R ) является диагональной (вариант, когда A не обладает диагональной структурой, устанавливается аналогично). В этом положении найдется S Е GL n ( R ), что A и S не коммутируют и, следовательно, матрица SAS ^{— 1} не будет диагональ

ной (в противном случае S коммутирует с A ), поскольку центр группы GL n ( R ) образуют скалярные матрицы, то именно они коммутируют с любыми матрицами из M _{n х} m ( R ), и никакие другие матрицы таким свойством не обладают. Тогда D h SAS ^{— 1} D h —¹ Е Pr A ° л G_L ([ D , A , B , C ] _GL ) V h Е (0, ^ ) и || D h SAS ^{— 1} D h —¹ 1| ^ , как при h ^ ^ (нижняя треугольная структура D h SAS ¹ D h ¹), D h SAS ^-1 D _h ^-1), так и h ^ 0 (верхняя треугольная структура), либо в обоих случаях (не треугольная структура). ■

Очевидно, что, если многообразие Pr _A ° л G_L ([ D , A , B , C ] _GL ) не замкнуто, то для любой матрицы A е M n _х n ( R )\Pr _A ° л^([ D , A , B , C ] _GL ), являющейся предельной точкой Pr _A ° л G_L ([ D , A , B , C ] _GL ) , сколь угодно малое неустранимое «шевеление»² ее элементов может привести к включению -1

A Е PrA ° Л GL ([D, A, B, C]GL ). Несмотря на этот мало оптимистичный вывод (для реализации (1) с дефектной A), заметим, что для практических задач [4, 5], например, конечномерных аппроксимаций нормальногиперболических систем [3] (орбита [D, A, B, C]GL такой дифференциальной модели содержит четверку (D', A',B',C'), у которой D', A' — симметричные матрицы), по существу достаточно следующего утвер ждения.

Теорема 2. i) Многообразие Pr A ° л G_L ([ D , A , B , C ] _GL ^{) за}мк^нут^о в ⁽ M n х n ^{( R ),||} • ^||), коль скоро матрица A Е M n _х n ( R ) диагонализируема в пространстве M n _х n ( C );

• ii)    для каждой орбиты [ D , A , B , C ] _so e^ ^S0( R ) проекция Pr A ° Л s ¹ o ([ D , A , B , C ] _so ) — компакт , являющийся образом канторова множества при некотором непрерывном отображении .

Доказательство. Многообразие Pr _A ° Л _s ¹ _o ([ D , A , B , C ] _so ) компактно в силу пункта (3) теоремы 1.3.1 [10], что подтверждает (совместно с теоремой 4.11 [17, с. 77]) часть ii). Перейдем к доказательству утверждения i).

Пусть С([0,1], R ) - пространство всех непрерывных на [0,1] с R вещественнозначных функций с sup-нормой, матрица А имеет k различных собственных значений и пусть

А д (X) := X” + a X” 1 + a 2X” 2 +.. + a X + a , A                     ” 1             ”2                     1 О

А A,min (X) := Xk + ak—X 1 + ak-2Xk 2 + . + a 1X + a0

• — соответственно характеристический и минимальный многочлены матрицы А .

В такой постановке для орбиты [ D , A , B , C ] _GL e^ ^GL( R ) и некоторой E е M n _x n ( R ) критерием E е Pr a ° ^ Gl ([ D , A , B , C ]_G l ) согласно теореме 3.4.8 [16] и следствию 3.3.8 [16] является одновременное выполнение следующих двух равенств (функционального и алгебраического)³:

det(tI - E) = А a (t) е С([0, 1], R), А a m.( E) = 0 е M” x „ (R),               (4)

где I е Mnxn (R) — единичная матрица, det(tI — E), А A (t) — полиномы (параметризованные соответственно элементами матриц E и А ) переменной t е [0, 1], ААтш(E) — многочлен матрицы E с коэффициентами, тождественными коэффициентам от минимального многочлена А А min (X).

Далее рассмотрим два непрерывных (согласно формулы (1.2.11) [16]) отображения

К: M”x” (R) ^ С([0,1], R), E ^ к(E) := det (tI — E),

Ф: M ” x ” ( R ) ^ M ” x ” ( R ), E ^ ф ( E ) : = А a m. ( E ) • Тогдавсилуусловий(4)будет Pr _А ° ^ G _L([ D , A , B , C ]_GL) = К ' ( А _A ( t )) И ф VO), что,сучетомпунктов1), 2) теоремы 2 [13, с. 22], завершает доказательство. ■

Замечание 2. Несмотря на то, что приведение матрицы к жордановой нормальной форме неустойчивая операция [15, с. 262] (данная форма и приводящее к ней преобразование разрывно зависят от элементов исходной матрицы), ход доказательства теоремы 2 (в части анализа топологической структуры на К ¹ ( А _А ( t )) ) позволяет 4 заключить, что многообразие

{SA' S—1 : S е GL„ (R), А'е M„x„ (R) см. пункт i) теоремы 1).

Теорема 2 приводит к важным выводам, касающихся разрешимости задачи оптимизации нормы юстировки

* с** с***

матриц А , А , которые ниже перечислены в следствии 1 (при этом матрицы S , S , S можно строить в рамках теории Морса [17,с. 265]; см. следующий раздел).

-1

Следствие 1. При юстировке матриц А е M ” _x ” (R), А е M ” _x ” (R)\Pr _А ° m _GL ([ D , А , B , C ] _GL ) существуют такие трансформирующие матрицы S , S е SO „ , что выполнимы равенства

Inso(S“,А,-А) 11 = sup {||nso (S, А, .А) ||: S е SO”},

I nso( S ", А, .А)|| = inf{||nso( S, А, ,А)||: S е SO ”}.

Для недефектной матрицы A найдется S G GL n ( R ). для которой будет

I"I (S■.A.A)|| = inf <|^gl(S.AA)|: Sg GL,(R)}.                    (5)

Доказательство. Первые два равенства вполне прозрачны. подтвердим (5).

Пусть || A — A ||. Тогда множество GL-юстировки матриц A . A

W := {A'g M x n (R): || A'—A ||< r} n Pra о 4.([ D. A. B. C ]gl)

компактное (поскольку многообразие Pr _A о ^ G_l ([ D . A . B . C ]_GL ) замкнутое). откуда приходим к

что подтверждает (5); т.е. ||n _GL( S . A . A ) || — расстояниеот A докомпакта W в метрикеХаусдорфа. при этом существование матрицы S * — следствие факта. что функция A ' ^ || A ' — A ||: W ^ R достигает на компакте

W нижней (впрочем. и верхней) грани. ■

Теорема 3. Если порядок n конфигурационного пространства системы (I) нечетный, то многообразие Pr A о n J _L ([ D . A . B . C ]_GL ) линейно связное . ■

Доказательство вытекает из рассуждений. привлекающих линейную связность подгруппы матриц из GL _n ( R ) с положительным детерминантом [17. с. 44]. Данная подгруппа. как линейно связная компонента.

образует открытое множество в ( M n _{х n} ( R ).|| • ||). На геометрическом языке этот результат гласит: при нечетном порядке конфигурационного пространства для действия подобия нет структурных препятствий. чтобы перевести апостериорный базис системы (1) в базис системы (2) непрерывным движением (иными словами. деформацией . трансформирующей матрицы S в области орбиты [ D . A . B . C ]_GL ). Это при четном n делает проблематичным использование метода Ньютона — Канторовича в вычислении трансформирующей матрицы *

S . удовлетворяющей следствию 1. и методологически оправданным (например. в положении действия теоремы 9 [3]) использование линейно связной [17. с. 44] компактной группы SOn. Отметим [17. с. 291]. что фунда ментальная группа пространства SOn изоморфна аддитивной группе целых чисел при n = 2 . и группе вычетов по модулю 2 при n > 2 .

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ SO-ЮСТИРОВКИ. ОЦЕНКА КВАЗИТОЧНОСТИ GL-ЮСТИРОВКИ

**

Следствие 1 решает вопрос о существовании трансформирующей матрицы S глобального минимума

**

нормы SO-юстировки матриц A .A. при этом (как отмечено выше) задачу конструктивного построения S можно проводить с опорой на теорию Морса [17. с. 265]. Ниже покажем. как данная теория. связывая геометри ческое строение компактного линейно связного многообразия SOn со свойствами стационарных точек функ ционала

S ^ |n so ( S . A . A )| |=П SAS ⁴ — J i |H| SAS ^T — A ||. S G SO n . аналитически выражает эту связь в виде матричного алгебраического уравнения относительно матрицы S G SO _n . определяянеобходимыеусловиядляпроцессаSO-юстировки:

I 4so( S", A„J)| = inf{^SO< S. A„J)||: Sg SO.}.

Введем в рассмотрение ( A . A ) -параметризованный функционал to : SO _n ^ R вида

to (S) := tr(( SAS T — A)T( SAS T — Ji)).

Ясно. что стационарные точки функционалов ||^ _SO( ^ . A . J i ) || и to ( • ) совпадают. причем это те точки S G SO _n . для которых проекция от grad to ( S ) на касательное пространство T_S SO _n образует нулевой вектор. Согласно лемме 19.3 [17. с. 279] это условие имеет компактный вид

grad to(S) — S grad to(S)T S = 0;                            (6)

данное уравнение назовем характеристическим уравнением SO-юстировки; таким образом, построение матричного уравнения для S свелось к вычислению вектора grad to( S ) e R ^{n X n} , S e SO _n .

Вводя в пространстве M_{n X n} ( R ) скалярное произведение Hi , E^ = tr( H ^т E ) = tr( HE ^т ), легко установить, что grad tr( X ^т X ) = 2 X . Далее, пусть S e SO _n и D ( S ) e M n _{X n} ( R ) — матрица, для которой при всех h e M n x n ( R ) имеетместо hAS ^т = D ( S ) h ^т . Тогдадля обговоренныхусловий

||(S + h)A(S + h)т ||2 —1| SASт ||2 = tr(((S + h)A(S + h)т)т((S + h)A(S + h)т))—1| SASт ||2 == 2tr ((SAS т )т (SAh т)) + 2tr ((SAS т )т (hAS т)) + 2tr ((SAS т )т (hAh т)) ++ 2tr((SAhт)т(hAST)) + 2tr((SAhт)т(hAhт))+ || SAhт ||2 + || hASт ||2 + || hAhт ||2.

Величина 2 (^ SA ^т A, h^ + ^ SA ^т S ^т D ( S ), h ^)

представляет собой главную линейную (по h ) часть последне- го выражения, следовательно, сильная и слабая производные от SASт равны

2( SA т A + SA т S т D (S)), откуда (с учетом дифференцирования сложной функции и grad tr (Xт X) = 2X) приходим к

grad ®(S) = 4( SAS т — ^A)( SA т A + SA т S т D (S)).

Проведенные построения позволяют переписать уравнение (6) в развернутом виде

(SASт — тА) (SAтA + SAтSтD(S)) — S(SAт A + SAтSтD(S))т (SASт — А)т S = 0;

данное уравнение можно решать методом Ньютона — Канторовича [13, с. 670].

Далее, для любых матриц H, А, A e Mnхn (R) существует (и притом единственная) симметричная поло- жительно-полуопределеннаяматрица G(А, А) e Mnnхnn (R), такая,что hтG(А, А)h = || HA — АН ||2, n×n где h := col(ht1,™,hnn)e R и [hy ] = He MnXn (R). Явное выражение для матрицы G(А, А) легко получить, используя конструкцию прямого произведения (см., например, [18, с. 228]), при этом высказанная связь продуцирует соотношения:

G (A, A) = F т F, F = I ® Ат — A ® I.

В контексте нижеследующей теоремы отметим (переходя к построениям над полем С ), что собственные значения n ² X n ² -матрицы F e M _{nn х nn} ( C ) (кронекеровская разность А ^т и A ) совпадают с n ² числами U i — U’ , где U ₁ , ^ , U _n — собственные значения матрицы A e M _{n X n} ( C ) и U‘ ,..., U _n — собственные значения матрицы A e M _{n X n} ( C ) (теорема 8.3.1 [18]). Ясно, что || F || = (tr G ) ' ² и все n ² собственных значений матрицы G ( A , А ) лежат (пункт (Ь) теоремы 4.1.3 [16]) на полуоси [0, ^ ) С R .

m                                      1 К /ТП X А _ А 1 /ТП X \      _-1 /Г АП       X         т

Теорема 4. При юстировке матриц A e M n _{х n} ( R ), A e M n _{X n} ( R )\Pr a ° ^ gl ([ D , A , B , C ] g _L ) справедливы оценки функционалов квазиточности и рассогласования

А

А

f 3L(А, А) > (n XтШ(G(A, A)))

1/2 ,

sup{||n _so ( S , A , А )||: S e SO . ) <  g _so ( A , . A ) <  n ( X „„ ( G ( A . A ))) ¹'² ,

A

A

где X min ( G ( A , A )) , X m„ ( G ( A , A )) — соответственно минимальное и максимальное собственные значения матрицы G ( A , А ) .

Доказательство. Поскольку при GL-юстировке матриц A , A , имеют место положения

A

A

с e R , с Ф 0 ^ n _GL ( cS , A , A ) = n _GL ( S , A , A ), II S IH 1 ^ || S -¹|| > n ^1/2, справедливость которых едва ли нуждается в комментариях и, сверх того, GL _n ( R ) — открытое множество всюду плотное в ( M _{n х n} ( R ),|| • ||), то имеет место цепочка следующих отношений:

f _1L( A,A) = inf{|| S - ||-||_1oL( S , A , A)S |: S e GL . ( R )} >

• > inf{ n- I^glC S , A,A)S1 1: S e GL . ( R ), || S || = inf{|| S - || = 1} =

= inf{n■'■ ||HA - AH11: H e M.,. (R), || H ||= 1} = = (inf{n ||HA - AH ||2|\H |f:H e M,„. (R)})m = = (inf{nhTG(A, A) h(hTh)-1: h e Rnxn})^ = = (n X min( G (A, А)))ш, где h := col(h'',...,hnn)e Rnxn - вектор, индуцированный матрицей [hij] = He Mnxn(R), Xmin(G(A, A)) гм л

• - минимальное собственное значение матрицы G ( A , A ) ; этим завершаем построение нижней оценки квазиточности f gl ( A , A ) приGL-юстировкиматриц A , A .

Теперь обозначим основные аналитические элементы верхней оценки gso (A, A): sup{|nso(S,A,A)|: Se SO.}Sgso(A,-A) = = sup{||ST |f|^so(S,a,-A)S|:Se SO„} = = n (sup{| Sa - AS |I||S|p: Se SO. })m S S n(sup{q TG(A, A) q / q Tq : q e Rnxn })”■ = = n (X m„( G (A, -A)))1'^, где Xmax(G(A,A)) -максимальноесобственноезначениематрицы G(A,A).■

Подытожим полученные результаты: в контексте решения задачи (3) при доказательстве теоремы 4 по существу показали, что любой собственный вектор col( h _n,., h_nn ) матрицы G ( A , A ) , отвечающий X _min ( G ( A , A )) , индуцирует матрицу H = [ h j ] e M_{n x n} ( R ) , при этом, если H e GL _n ( R ), то при действии подобия p_GL матрицу H можно рассматривать в качестве «претендента» решения при вычислении квазиточности GL-юстировки заданных матриц A , A . Иными словами, если по факту det H ^ 0, где матрица H отвечает (как собственный вектор матрицы G ( A , A ) ) собственному значению X _min( G ( A , A )) , то с алгоритмической точки зрения несложная конструкция

Cgl( H, A, ;i) = n ‘-||HA - A h||.||H I"1 = (n X min( G (A, A<2                 № удовлетворяет (3), сводя построение квазиточности GL-юстировки к осязаемой задаче вычисления собственных значений G(A, A) . В противном случае (поиск решения (3) при det H = 0) можно исходить из того, что в любой «l■ -близости» от H всегда найдется (GLn(R) всюду плотно в Mnxn(R)) трансформирующая матрица S e GLn (R), реализующая оценку (3).

Сказанное выше позволяет дать ряд рекомендаций: если порядок n нечетный и det H <  0 , где матрица H сформирована согласно правила (7), то согласно теоремы 3 трансформирующая матрица - H e GL _n ( R ) тоже определяет решение задачи (3), для которого (в отличие от H ) существует непрерывный путь в многообразии Pr a ° ^ G_l ([ D , A , B , C ]_GL) , соединяющий исходную матрицу A системы (1) и матрицу HAH ' системы (■) (т.е. S = H ). Таким образом, существует непрерывное отображение замкнутого интервала в орбиту Pr _A ° ^ G_l ([ D , A , B , C ]_GL) с начальной точкой в A и концевой в HAH ' , что важно для оптимальных систем, основанных на методах идентификации [19]. С другой стороны, если при выполнении (7) имеет место det H <  0 и порядок n системы реализации четный, то для трансформирующих матриц H и - H такой путь отсутствует.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Одна из важнейших задач любой научной теории, и в особенности математической, - это проблема классификации. В точной формулировке данной проблемы существенно свойство эквивалентности, которое часто определяется некоторой группой преобразований; как правило, соответствующие понятия вводятся и исследуются на языке алгебраической геометрии. В данной работе изучение проблемы прецизионной GL/SO -юстировки нелинейной МДР-модели классы эквивалентности представляли собой многообразие модулей (пространство орбит при действии подобия), знакомство с которым предполагает (и влечет) использование языка метода орбит, который по своей простоте, наглядности и общности относится к основам современной теории представлений.

Важность изложенной выше теории заключается в том, что она является не только строго аналитической, она с очевидностью приводит к весьма полезным идеям для синтеза алгоритмов оптимальной калибровки модели дифференциальной реализации гиперболических систем [20]. В частности, включать в цикл S -настройки дополнительный учет матричной пары ( SDS ¹, SB ) системы (2), в том числе для полилинейных регуляторов [21, 22], учитывающих дифференциальное моделирование нелинейных колебаний. Кроме того, предложенный метод юстировки можно разрабатывать для целей практики [3 - 8, 23, 24] в «робастной» постановке [25], но теоретически такой подход до конца еще не исследован.

Благодаря подобным изысканиям теория апостериорного математического моделирования успешно развивается в новых теоретико-системных направлениях [26], обобщая классическую детерминистическую теорию идентификации и робастно-апостериорное построение моделей. В этом методологическом обобщении границы между этими двумя областями математического моделирования, очевидно, будут сглаживаться, предопределяя одну из основных тенденций развития современной теории дифференциальной реализации, попутно формируя адекватный язык точного моделирования [27], когда практик будет лучше понимать ее и относиться к ней с большим доверием.