К проблеме построения адекватных математических моделей управления рисками при эксплуатации сложных уникальных систем ответственного назначения

Данная статья представляет собой обобщение и развитие ранее полученных результатов, относящихся к аспектам математического моделирования управления рисками, возникающими в ходе функционирования сложных уникальных технических систем ответственного назначения, описанных в работах [9; 10]. Основным элементов научной новизны является дополнение ранее полученных результатов сравнением эффективности методов теории выбросов и метода гарантированного прогноза при решении задачи управления рисками. Работа сложных систем ответственного назначения в различных областях техники и экономики связана с нештатными ситуациями, авариями, отказами, а также нарушением нормальной работы отдельных организационных структур, отраслей производства, что, в свою очередь, наносит вред народному хозяйству и населению. Основные подходы к теории управления рисками в технических системах описаны в работах [9; 10; 12; 14; 16].

Величина риска, возникающего в ходе работы технических систем, задается соотношением

R = Pr B , (1) где R – величина риска, возникающего в ходе функционирования технической системы; P_r – вероятность реализации рискового события; B – величина потерь при реализации рискового события.

Общая величина риска R , возникающего при работе сложных технических систем ответственного назначения, которую можно описать существованием разнообразных комбинаций величины ущерба и вероятности их наступления, находитcя по формуле

n

Суммирование ведется по всем существующим элементам дерева событий.

Рассматриваемые величины размера ущерба и вероятности наступления рискового события являются функциями времени t . Под риском, как правило, понимается случайная величина вида ( T_R , B), где T_R – момент времени, в который происходит рисковое событие

Подход, основанный на применении стандартного аппарата теории вероятности и математической статистики при управлении рисками, возникающими в ходе функционирования сложных уникальных систем ответственного назначения, является неэффективным, так как не учитывает индивидуальные особенности каждой конкретной системы, а также не дает надежных результатов и статистических оценок в условиях неполноты и нечеткости информации о параметрах и фазовом состоянии рассматриваемых объектов.

Функционально-параметрический подход ориентирован на решение обозначенных проблем. Основные положения данного подхода описаны в работах [1; 2; 4; 11; 15].

Основная идея функционально-параметрического подхода основана на предположении о постепенном характере возникновения отказов при функционировании технических систем. Поводом для возникновения отказов в работе сложных объектов является выход значений параметров за пределы области работоспособности. Прогнозирование состояния и управление параметрами сложных технических систем позволяет решить задачу обеспечения стабильной работы рассматриваемых структур на протяжении всего периода эксплуатации.

Функционально-параметрический подход ориентирован на решение задачи прогнозирования изменения значений параметров рассматриваемой системы, а также определение оптимальной стратегии профилактических мероприятий, которая позволяет с минимальными затратами реализовать комплекс мер по оценке состояния и корректировке работы узлов и агрегатов, обеспечивающих безотказное функционирование объекта в течение всего периода эксплуатации.

Например, в процессе длительного функционирования наблюдается постепенный износ зданий и сооружений, приводящий при реализации рискового события к их разрушению; потеря сопротивления изоляции на проводах электрических сетей приводит к возникновению коротких замыканий и пожаров, и др.

Задача управления рисками при эксплуатации технических систем ответственного назначения заключается в определении набора профилактических мероприятий и поиске оптимальных управляющих воздействий на параметры системы, которые минимизируют

К проблеме построения адекватных математических моделей управления рисками ...

величину ущерба от реализации рискового события. Под рисковым событием понимается выход значений параметров состояния системы за пределы области работоспособности.

Математическая модель управления рисками в условиях интервальной неопределенности

Состояние рассматриваемой технической системы S задается набором параметров s = ( s ₁ ,..., s_m ) в течение периода функционирования [0 ,T ]. Сформулируем задачу управления рисками для случая дискретного контроля, выполняемого в моменты времени t_k , k = 0,..., n ; T = tn - 1 0 . Область работоспособности для параметра j данного технического объекта в момент времени t_k задается соотношением

sjk — sjk — sjk .                                             (3)

Данные значения параметров определяют возможное отклонение от расчетных номинальных значений, при которых сохраняется работоспособность системы.

Вектор состояния системы в момент времени t_k , k = 0,..., n , имеет вид

s(tk ) = (s1 (tk )••"sm (tk )) .

Если значение параметра системы j в момент времени t_k выходит за пределы области, заданной соотношением (4), то имеет место реализация рискового события, связанного с наличием отказа.

Для предотвращения аварий и отказов проводится регулярное измерение и контроль параметров технической системы, а также выполняется комплекс ремонтных и профилактических мероприятий, обеспечивающий стабильное функционирование рассматриваемой системы. Проведение обозначенного вида работ сопряжено, как правило, с существенными материальными затратами и вынужденными простоями оборудования.

Затраты c_k на проведение технического обслуживания системы в момент времени tk e T задаются соотношением

Cjk — Cjk — cjk . (5)

Общая величина затрат C , связанных с проведением контрольно-измерительных и профилактических мероприятий, рассчитывается на основе соотношения

n

C = 2 ck = [ c , C ], i = 0

c,—C—c

Стратегия управлениями рисками предполагает реализацию такого комплекса управляющих воздействий и профилактических мероприятий, при которых величина ущерба, вызванного рисковым событием, является минимальной.

Вектор управляющих воздействий на параметры системы в течение периода эксплуатации [0, T ] имеет вид

u = ( u1;ur ).

Множество значений j управляющего корректирующего воздействия на параметры системы в момент времени tk , k = 0,…,n задается соотношением ujk — ujk — ujk .

Данные значения определяют возможные варианты выбора стратегии управления рисками при соответствующем отклонении параметров технической системы от расчетных номинальных значений для обеспечения минимизации величины ущерба и затрат на эксплуатацию при прохождении всех окон контроля.

Вектор управляющих воздействий в момент времени t_k , k = 0, ..., n имеет вид u ( tk ) = ( u 1 ( tk )— ur ( tk ) ) .                                         ⁽⁹⁾

Обозначим через B_k = B_k ( s ( tk ), s ( tk + 1 }, u ( tk ), t_k ) величину потерь, связанную с выбранной стратегией управления рисками в момент времени t_k . Тогда оптимальное управление u ( tk ) , приводящее к минимальным потерям в ходе эксплуатации технической системы, определяется для момента времени t_k на основе соотношения

*

Bk ($(tk ), $(tk+1}, u (tk), tk )^ Bk ($(tk ), s(tk+1}, u(tk), tk )•(10)

За период эксплуатации T = tn - t 0 имеем набор оптимальных управляющих воздействий вида

U*(t0,tn) = {u*(t0….,u*(tn)}.(11)

Оптимальная стратегия управления рисками состоит в определении такого комплекса управляющих воздействий на параметры системы, при котором величина ущерба в ходе реализации рискового события будет минимальной:

J = П 1Bk(s (tk ), s (tk+1}, u (tk ), tk ) ^ min;

k = 0

En k ck = C ^ min .(13)

Применение теории выбросов случайных процессов к задаче управления рисками, возникающими при функционировании систем ответственного назначения

Важную роль при решении задачи управления рисками при функционировании систем ответственного назначения играет задача определения первого момента времени, в который происходит выход случайного процесса, описывающего механизм функционирования рассматриваемой системы за пределы области работоспособности. Для решения обозначенной задачи применяются элементы теории выбросов случайных процессов, описанные в [5].

Предположим, что изменение (дрейф) параметров системы S описывается случайным процессом S ( t ), и первый выход рассматриваемого процесса за пределы области работоспособности W приводит к отказу (аварийной ситуации, при которой нарушается работоспособность системы). Обозначим через P ( t ) вероятность безотказной работы системы, где P ( t ) = P (S (t) e W ), т e [0, t ].

Для стационарного дифференцируемого процесса P ( t ) имеет вид

t

P ( t) = P o - n j (1 - L ( t )) d t ,                                   (14)

где P ₀ – вероятность пребывания процесса в области работоспособности в начальный момент времени; n – среднее в единицу времени число выбросов рассматриваемого процесса за пределы области W ; L (τ ) – функция распределения длительности времени пребывания процесса в заданной области W с момента попадания до момента первого выхода из нее.

К проблеме построения адекватных математических моделей управления рисками ...

Рассмотрим случай, при котором область работоспособности W задается с помощью интервала вида W = [ a, a ]. В данном случае выражения для расчета величины P ( t ) = P ( a (т) <  a ), т е [0, t ] принимает вид           t

P ( t ) = F( a ) - F( a ) - naa J (1 - L. a ( t )) d T ,                         (15)

где F (…) – функция распределения ординаты рассматриваемого случайного процесса, описывающего функционирование системы; n _{a a} – среднее в единицу времени число выходов случайного процесса за пределы области работоспособности W ; L _{a a} – функция распределения длительности времени процесса в заданной области W с момента попадания до момента первого выхода из нее.

Введем в рассмотрение следующие случайные величины:

τ – время с момента t ₀ начала наблюдения за рассматриваемым случайным процессом до момента его первого выхода за пределы области W ;

ц - продолжительность времени проходящего с момента первого попадания процесса в область W до момента 1-го выхода из нее;

р - продолжительность времени, проходящего с момента попадания случайного процесса в область W до момента начала наблюдения за ним.

Величина ц = т+ р . Обозначим через K (т) = 1 - L (т), ц ( ф ) плотность распределения случайной величины τ во введенных обозначениях:

Ф ^{( т} ) = ^- dP , Ф^(т ) d T

= naaK ( ^т ) .

Рассмотрим выражения K ( t ) = P ( ц >  t ) и P ( t ) = P ( т >  t ) . Между реализациями случайных величин ц и т справедливо соотношение ц >  т . Следовательно, K ( t ) >  P ( t ) .

dp dP = — n»aK (t) .                                  (17)

dt

Разделив левую и правую части соотношения (17) на P ( t ) получим выражение

dP = Pdt Введем обозначения

K ( t ) naa       .                                         (18) P ( t )

г(,) =- dP , b (,) = Kit).                             a9> v' Pdt v ’ P (t)

Во введенных обозначениях имеем

^ ( t ) = n„ a b ( t ).                                       (20)

В силу неравенства K ( t ) >  P ( t ) величина b(t) >  1, следовательно, 5 ( t ) >  n_aa .

Построим оценки для величины P(t). Положим K( т ) = 1 - L( т) = 1. В этом случае имеем оценку

F ( a ) - F ( a )

P(t) >  F( a ) - F( a )- naa t, t <

.

n a a

Для случая односторонних границ имеем следующие оценки:

-           f ( a )

P(t) >  F( a ) - na t, t <         ;

na

1 - F ( a )

P(t) > 1 - F( a ) - na t, t <           .                               (23)

n _a

При решении практических задач достаточно часто рассматриваются случайные процессы, представляющие собой сумму детерминированной функции и случайного шума, которые описываются соотношением

S(t) = Y(t) + в ( t ),                                     (24)

где Y ( t ) – случайный шум; β( t ) – детерминированная функция.

Формулы для оценивания вероятности безотказной работы P(t) для случайных процессов вида (24) представлены в работе [3].

Для оценивания вероятности пребывания случайного процесса в заданной области необходимо знать одномерный закон распределения ординаты данного процесса, а также среднее в единицу времени число выбросов данного процесса за пределы полосы W .

Применение вышеописанного математического аппарата позволяет получать приближенные оценки величины P(t) вероятности безотказной работы рассматриваемой системы, а также ориентировочно определять момент наступления рискового события (первого выброса случайного процесса за пределы области W ), при котором происходит отказ в работе исследуемого технического объекта. Использование подобного сорта методов является пригодным для групп технических объектов, характеризующихся статистической однородностью, и не учитывает индивидуальных особенностей и уникальных черт, характерных для систем ответственного назначения.

Для решения обозначенной проблемы применяется метод индивидуального прогноза [11].

В момент времени t_p доступна информация о ходе изменения процесса функционирования системы в форме последовательности наблюдений { d_k }, _k = 0 …p . Измерение параметров системы на различных этапах контроля, как правило, связано с наличием погрешностей (неточностей) в работе измерительной аппаратуры, ошибок округления и др.

Результаты исследования

Принятие решений о выборе управляющих воздействий, которые минимизируют величину риска в уникальных системах ответственного назначения, связано с наличием неполноты и неопределенности информации. Наиболее подходящим инструментом математического моделирования в такой ситуации выступает аппарат статистики интервальных данных [13; 17–19].

При применении подобного сорта математического аппарата появляется возможность принимать оптимальные решения в условиях неполноты и дефицита информации о параметрах системы, так как объемы выборок, которыми оперирует аппарат статистики интервальных данных, намного меньше, чем в случае применения традиционных подходов математической статистики.

Рассмотрим задачу построения индивидуального прогноза изменения состояния технической системы ответственного назначения.

Пусть S(t) – случайный процесс, описывающий изменение значений (дрейф) параметров технической системы ответственного назначения S . Задача прогноза состоит в оценке наблюдаемой информации о системе в присутствии ошибок за промежуток времени [0, t_p ] и определении дальнейшей траектории изменения параметров системы за проме-

К проблеме построения адекватных математических моделей управления рисками ...

жуток времени T – t_p .

Предположим, что модель случайного процесса S(t) имеет вид

S(t) = F(t)+h(t) ,                                   (25)

где F(t) – форма рассматриваемого процесса (скалярный, линейный, монотонный); h(t) – ошибка модели, которая может отсутствовать, быть случайно или интервально заданной. Рассмотрим конкретную форму случайного процесса, задаваемую соотношением

S(t) = a' b(t)+h(t) , t£ [ 0,T ],                            (26)

где a = { aj } , j = 0,..., n - вектор случайных коэффициентов; b(t) - непрерывно заданные детерминированные функции времени t £ [0, T ]; h(t) - ошибка модели, заданная интер-вально; h ( t ) < h(t) < h ( t ) - функция времени t £ [0, T ].

На интервале времени Tp £ рассмотрим реализацию s(t) процесса S(t) , наблюдаемую с ошибкой измерения e( t_k ) для момента контроля t_k , заданную интервально соотношением

e(tk) < e( tk ) < e(tk) •

В соответствии с моделью (15) реализация процесса S ( t ) на интервале времени [0, T _p] имеет вид

s(t) = a b(t)+ [ h(t), h(t") ].(28)

Для момента контроля t_k множество допустимых реализаций процесса s ( t_k ) описывается выражением

e(tk) + h(tk) + d( tk

Условие (18) описывает трубку прогноза, в которой гарантированно содержатся значения реализации s ( tk ) в момент времени tk e Tp .

Выделим среди допустимых реализаций s(tk) экстремальные s (tk)+ , s (tk) на основе решения минимаксной оптимизационной задачи вида а ' b(\t*)+h(t*) >max;(30)

а‘ b(t*)+h(t*) >min t" e [ Tp ,T](31)

при ограничениях

e(tk)+ h(tk) + d( tk < a' b( tk )+h( tk) < e(tk) + h(tk) +d( tk), k = 0,^,p(32)

Подходы к решению рассматриваемой задачи описаны в работе [18].

Предположим, что на основе решения задачи (19)–(21) определены экстремальные реализации s ( t k )⁺ , s ( t k ) , t k >  t p .

Пусть границы области работоспособности заданы в виде

A( tk ) = ( S 1 k ,...., Smk ) , k = 0, _n ,                              (33)

B( tk ) = (\ s 1 k , ….., smk ) , k = 0, …, n .

Для решения задачи управления рисками необходимо определить ближайший момент времени, в который возможна реализация рискового события (отказа), а также уменьшить по возможности число профилактических мероприятий, связанных с измерением и контролем состояния системы.

В этой связи в качестве следующего момента времени, в котором необходимо осуществить контроль состояния системы, целесообразно выбрать tp + 1 = min\{ ta^ t_b }, где моменты времени t a t ^ определяются на основе решения уравнений вида

A( tk ) = 5(tk)-, B( tk) = 5(tk)+ .                                  (35)

Соотношения (24) задают условие пересечения экстремальных траекторий и границ области работоспособности системы в момент t_k >  t_p .

В течение промежутка времени tc = tp + 1 - tp можно гарантировать нахождение параметров системы в пределах области работоспособности и отсутствие отказов.

Рассматриваемый процесс прогнозирования состояния системы носит итерационный характер. На следующем шаге необходимо определить момент времени tp + d проведения контроля состояния системы на основе расчета экстремальных траекторий исходя из доступной наблюдаемой информации ( dp + 1 , tp + 1 ).

Если период эксплуатации до момента наступления следующего рискового события меньше минимального гарантированного целесообразного интервала времени сохранения работоспособности tmn , tp + _d - tp + 1 <  tmn , то необходимо прекратить работу системы в момент tp + 1 и провести необходимые профилактические мероприятия по коррекции значений параметров рассматриваемого технического объекта.

Заключение

В ходе проведенной работы изучены основные подходы к управлению рисками, возникающими в процессе функционирования сложных технических систем ответственного назначения, а также разработана математическая модель, позволяющая осуществлять выбор оптимальной стратегии контроля и корректировки значений параметров такого вида систем в условиях интервальной неопределенности. Разработан алгоритм прогноза изменения состояния технической системы в течение всего периода ее работы на основе аппарата статистики интервальных данных, позволяющий учитывать погрешности при измерении основных параметров рассматриваемой системы на всех этапах процесса управления. Применение математического аппарата теории выбросов случайных процессов дает возможность найти приближенные оценки вероятности безотказной работы технической системы ответственного назначения в условиях неопределенности, а также рассчитать момент первого выброса процесса за пределы области работоспособности.