К радиальной теории ионного тока на зонд: II. Учет объемной ионизации при наличии столкновений с атомами

Радиальная теория ионного тока на зонд в плазме низкого давления впервые предложена в работе [7] и развивалась в последующем [8], [12], [16], [14]. Приближение радиального дрейфа наиболее применимо в случае, когда ионная температура T_i близка к нулю и выполняется приближение бесстолкновительного движения. При этом даже редкие столкновения ионов с атомами разрушают орбитальное движение частиц и сильно влияют на величину ионного тока [6], [1]. Вследствие этого радиальная теория дает лучший результат при наличии редких столкновений, чем более строгая орбитальная теория [10], [15]. В случае же частых столкновений радиальная теория дает завышенное значение величины ионного тока.

В радиальной теории пренебрегается орбитальным моментом ионов (полагается T_i / T_e , где T_e – температура электронов), которые движутся радиально со скоростями, определяемыми локальным потенциалом и законом сохранения энергии. В этом случае возможно численное решение уравнения Пуассона без разбиения на области квазинейтральной плазмы и слоя [7]. Ионный ток задается на бесконечности, а ионизацией в объеме пренебрегается. Концентрация электронов предполагается распределенной по больцмановскому закону n_e = n ₀ exp( — ) , где n - kT e         ⁰

концентрация невозмущенной плазмы. Уравнение Пуассона соответственно для цилиндрического и сферического случая запишется:

1 d , ₂ dф.     в

—2(r —) =-- r dr dr     s 0

Iз

4 n r ² в yj - 2 в ф IM

, вф X ^- n 0 ^exP⁽—) kT_e

. (2)

При заданном ионном токе I_З эти уравнения интегрировались численно [2], [3] при граничных условиях: r → ∞ , n → n ₀ , φ → 0, dφ / dr → 0 для отношений радиуса зондов к электронному rr дебаевскому радиусу > 0,25 - цилиндр и — >

Х д                       Я д

≥ 0,05 – сфера. В [14] рассчитывался плавающий потенциал сферического зонда в широком диапазоне 10-4 < — < 104 для аргона и гелия, но вольт-Яд амперные характеристики не рассчитывались.

Учет столкновений в радиальной теории при

низких и промежуточных давлениях проведен в работе [3]. После столкновения в точке r ' ионы стартуют с нулевой скоростью и двигаются чис-

I ² в\ф ⁽ r ) ^- ф ⁽ r '^ то радиально со скоростью u i = J----- м-----

.

Вероятность того, что ион, испытавший столкновение в точке r ', дойдет до точки r без рассея-

(r'-r ния, определяется экспонентой exp(--_—), где

Я

λ_i – длина пробега иона. Концентрация определяется путем деления потока ионов на их скорость и интегрированием по всем точкам рассеяния r ':

• а оо п- = j^r^S вЯir* j

(г¹—г) exp(- ⁽)) dr'

Я

,

V 2 в ( ф ( r ') - ф ( r ))I M

1 d , dm.в

(r) r dr   dr

I з

2 n rl з в 7 - 2 в ф IM

,вф.

^{- n} о exp^) kT

, (1)

где j_З – плотность тока на зонд, α = 0 – плоский случай, α = 1 – цилиндрический случай, α = 2 – сферический случай.

Приравниванием концентрацию ионов (3) к концентрации электронов, распределенной по больцмановскому закону, в [3] получено уравнение, связывающее потенциал, концентрацию в невозмущенной области и ионный ток. Численное решение начиналось на больших расстояниях с аналитического решения Ф ( r ') - ф ( r ) = E • ( r ' - r ) , E = jIen ^ i , где n i - подвижность ионов. Вторая граница (радиус слоя) определялась обращением ^Ф в бесконечность.

dr

Ограничением результатов работы [3] является приближение квазинейтральности, а также, как и в [7], [8], [12], отсутствие учета ионизации в объеме, что требует задания ионного тока на бесконечности. Иначе без ионизации вся плазма конечных размеров уйдет на зонд.

Ионизация в объеме учитывается в работах по пристеночному потенциалу, когда стенка интерпретируется как большой зонд. В основополагающей работе Тонкса и Ленгмюра [17] получено уравнение «плазма-слой»:

возмущения плазмы зондом определяет пространственное разрешение метода. Пространственное разрешение часто является принципиально важным моментом и тесно связано с вопросом возможности или невозможности применения данного метода вообще. В связи с этим актуальной задачей является анализ влияния ионизации на ионный ток на зонд в плазме низкого давления.

В настоящей работе рассматривается ионный ток на сферический и цилиндрический зонды с учетом ионизации в приближении холодных ионов. Вычислены вольт-амперные характеристики для безразмерных параметров r / λ = 0,0001 ÷ ÷ 10, A = z / ω_i = 0,02 ÷ 5, λ_i / λ_д=^З 0, ^д 01 ÷ ∞ , где ω_i – ионная плазменная частота.

ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ И АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА

Пусть r ₀ – область возмущения плазмы. В [2], [4] область возмущения определяется объемом плазмы вокруг зонда, в котором при пренебрежении объемной рекомбинацией число образу-

V ² Ф = -

ez

8 I ^J

° 0 r

r

r r ' “ n 0 exp(

'     )) dr'

kT e

4 2 e ( ф ( r ') - Ф ( r ))/ M

е ф ( r ) n 0 ^exPb^) kT

>

,

ющихся в единицу времени ионов за счет ионизации равно току на зонд. В приближении ради-

здесь z – частота ионизации, производимой од-r'“ ним электроном, -a zne (r )dr — плотность потока ионов в r, образовrавшихся в элементе dr'.

Численные расчеты выполнены для области квазинейтральной плазмы, где принималось n_i = n_e . Результаты [17] показали, что учет генерации ионов приводит к возрастанию потенциала и средней скорости ионов на границе плазмы и уменьшению ионного тока на слой. Это отклонение от случая отсутствия генерации при внешней стенке возрастает с переходом от плоской к цилиндрической и далее к сферической геометрии. Впоследствии результаты [17] уточнялись в [13], [9], [11].

В [5] рассмотрен учет объемной ионизации в радиальной теории при конечной области возмущения плазмы '' r ₀ ''. Применено уравнение «плазма-слой» Ленгмюра (3) для ионного тока, но с обратными граничными условиями: на внешней границе r = r принималось ф = 0, — = 0.

0 _d r

В работе определяли зависимости плавающего потенциала зонда (пылевой частицы в плазме) и связанного с ней значения r ₀ / λ_д от частоты ионизации. Столкновения с атомами не учитывались.

Отсутствие учета объемной ионизации в существующих на сегодняшний день теориях ионного тока на зонд в плазме низкого давления требует увеличения области возмущения до бесконечности, в противном случае вся плазма конечных размеров уйдет на зонд. Помимо влияния на ионный ток, конечное значение области

ального движения это определение соответствует нулевой дрейфовой скорости ионов на границе области возмущения. В единице объема за единицу времени образуется n_ez ионов. Все ионы, поступающие на зонд, создаются внутри r ₀ . Ионы, образовавшиеся вне r ₀ , уходят на стенку и электроды. Этот уход и определяет час-

тоту ионизации, производимую одним электро-js ном, z ~-----, где N - полное число электронов в объеме, jст, sст – плотность ионного тока на

стенку и площадь стенки.

Рассмотрим формирование потока ионов на зонд внутри r ₀ . На элементе пути иона dr ' образуется доля новой плотности тока:

, jdr '

dj = ^еПe ^{( r )} z ^dr + -.                 (5)

^A i

d ' Вероятность столкновения пропорциональна —, вероятность пройти путь r есть exp( ) .

Л                           Л

Тогда до точки r от этой плотности тока дойдет

dj ^exP

( r '- r )

r ^a

Соотношения (5), (6) удовлетворяют условию сохранения потока:

.    ^r 0 r ^a

j ^{( r} ) = J 7 a ^exP r

-

( r '- r )

r0 r' “ dj = e J 4ane (r )zdr . (7) r

Все ионы доли тока (6) будут иметь скорость

1 2 e_r ,              „

— [ ф ( r ) - ф ( r )] . Разделив долю потока на ско- M

рость, получим долю концентрации d_n '. Полная концентрация в r будет равна

, Г" ^[ ". ⁽ Г ') Z ± ''“/ lexp - (r-r) dr'

n ( r ) — — J--------- ,   ‘ A     ¹     ' ^J ,    (8)

гa        A r                [ф(г') - Фг)l

M

где j ( г ') = — j n . ( r ' ') zr' ⁷ dr ''. ^r e

Введем безразмерные параметры:

r re             вф . , n       А .

x =    = l = ; U =     ; "  = ; l =   ;

Л д   у/ £ 0 kT_e / n ₀         ^kTe        "  0       А д

A = -Д- — z ; j —-- J_ ;

7 kT _e / M ® .      en ₀ 7 kT _e / M ’

потенциала в следующих промежуточных точках использовалась трехточечная параболическая интерполяция для значений U ( х ):

x - x x - x, 2Ux — 2Uj + aj (—^)2 + bj -—^-, где h           h aj — Uj - 2Uj±1 ± Uj±2 , bj — -3Uj ± 4Uj±1 - Uj±2.

Далее на каждом шаге h использовалось разложение экспоненты в ряд exp U x » (1 + U x - U .) exp U и аналитические решения упрощенных таким образом интегралов.

Результаты расчетов приведены в виде графиков на рис. 1-3.

плазменная ионная частота, j - плотность тока, А д - электронный дебаевский радиус.

Подставляя выражение (8) в уравнение Пуассона при больцмановском распределении концентрации электронов, получим в безраз

мерных величинах:

д ² U а d U         „

+ —^ = exp( U ( x )) - d x    x d x

A 7

^- x ^{7 j}

[ x’ ^а exp( U ( x’ )) + ¹ J exp( U ( x’ ')) x’ ⁷ dx’ lexp l i x

V2[ U ( x ') - U ( x )l

^^^^^^.

( x’ - x ) l

dx'

Решение (9) от границы области возмущения затруднено нулевыми начальными условиями для потенциала и его градиента. В [5] для начального от границы тонкого слоя, считающегося плоским, А х <<  х ₀ = x N получено приближенное аналитическое решение в предположении n ' e = 1; n ' N = const :

U ( x ) = (1 - n'_N )⁽x^N-xL , (io)

Рис. 1. Зависимости величины j ' от безразмерного потенциала U для размера зонда a = 0,001 и различных длин свободного пробега l. , A = 0,01: а) сферический зонд: 1 - l i = ” ;

2 - 1. = 10; 3 - 1. = 1; 4 - 1. = 0,1; 5 - 1. = 0,01; b) цилиндрический зонд: 1 - l i = ” ; 2 - l i = 10; 3 - l i = 1; 4 - l i = 0,1; 5 - l i = 0,01

,   1   JI    B   IB  B² А    B   IB B ^{2 (11)}

" —      + ³      ++       ++ ³      ++ ,

^N  3 V 27  2   V 27   4 V 27  2   v 27 4

_ A ² n ²

где b —----. Однако при распространении ре- шений (10, 11) на достаточно толстый слой плазмы, особенно при больших xN, где n'N ^ 1, возникают неустойчивости счета. Ввиду этого методом последовательных приближений решение (10) было уточнено:

U ( x ) — (1 - " n ) ⁽ x^N -x ⁾² (1 + / x ),     (12)

²             x N

где Y =

1,363 n ' N - 1

1,818 n' n - 1,5

- сферы и Y =

1,363 n ' _N - 1

3,636 n' _N - 3

- ци-

линдр.

" N -1 ^— n N

i + А [1 - (2 ± z ) i x N       П

Рис. 2. Зависимости величины j ' от безразмерного потенциала U для размера зонда a = 1,0 и различных длин свободного пробега l i , A = 0,10: а) сферический зонд: 1 - l i = ” ; 2 - l i = 10; 3 - 1 . = 1; 4 - 1 . = 0,1; 5 - 1 . = 0,01; b) цилиндрический зонд: 1'- l i = « ; 2 - l i = 10; 3'- l i = 1; 4 - l i = 0,1; 5 - l i = 0,01

h - шаг дискретизации координаты. Эти значения потенциала и концентрации принимались в первой от границы точке x_{N -1} . Для нахождения

Рис. 3. Зависимости величины j ' от безразмерного потенциала U для размера зонда a = 1,0 и различных длин свободного пробега l_i , A = 5: a) сферический зонд: 1 – l_i = ∞ ; 2 – l_i = 10; 3 – l_i = 1; 4 – l_i = 0,1; 5 – l_i = 0,01; b) цилиндрический зонд: 1 – l_i = ∞ ; 2 – l_i = 10; 3 – l_i = 1; 4 – l_i = 0,1

ⁿ \ ^{( x} ) ~

A 3    _,3

----.        ( x ₀ — x ) - сферический

3 x ^j E '( x )| l i

случай.

При A >> 1: n ' _i >>  n ' _e . Подставим значение концентрации ионов в уравнение Пуассона, пренебрегая концентрацией электронов. Тогда при U > 1 получим следующие выражения.

a >> 1 – плоский случай:

j• ' = 1,46 1 ’ ^/7 A ^5/7 = A ( x о — x ),                 (14)

a << 1 – сфера и цилиндр соответственно:

j ' з

≈

0,91 _A 2/5 _{l i} 3/10    ₉

a 11/10      ^U з

0,9 _A 3/7 _li 2/7 a ln( ^{x 0} )

На рис. 4–5 представлено сравнение резуль-

татов численного расчета с расчетом по аппроксимирующим формулам (14, 15) в соответствующих случаях.

ОБСУЖДЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ

С уменьшением длины свободного пробега ионов ионный ток уменьшается монотонно при всех потенциалах зонда и частотах ионизации. Однако это влияние столкновений ионов с атомами ослабляется при увеличении частоты ионизации в объеме и при уменьшении радиуса

Рис. 4. Сравнение результатов численного расчета с расчетом по аппроксимирующей формуле 14 (плоский случай), U = 30: 1 – результаты численного расчета; 2 – расчет по аппроксимирующей формуле 14; 3 – бесстолкновительный случай. По оси абсцисс отложена безразмерная длина свободного пробега, по оси ординат – безразмерная плотность тока

зонда.

В случае большой частоты столкновений l_i <<  a можно получить приближенные аналитические выражения для предельных случаев a >> 1, a <<  1. Скорость иона в данном случае определяется локальным электрическим полем,

, EEl где и=J---L, где E - безразмерная напряжен-π ность поля. Рассматриваемую область возмущения можно разбить на две части: 1) U < 1, где полагается n'e = 1; 2) U > 1, где полагается n'e = 0 и ионный ток сохраняется. Тогда для плотности ионного тока во внешней области (U < 1) полу-

A ( x — x )       A ( x — x )

чим j' = A ( x 0 - x ), j ' =     ⁰        , j' =     '      ’

2 x            3 x для плоской, цилиндрической и сферической геометрии соответственно. Так как j' = n'v', для

Рис. 5. Сравнение результатов численного расчета с расчетом по аппроксимирующей формуле 15 (сферический случай), a = 0,0001, U = 30: 1 – результаты численного расчета;

2 – расчет по аппроксимирующей формуле 15;

3 – бесстолкновительный случай. По оси абсцисс отложена безразмерная длина свободного пробега, по оси ординат – безразмерная плотность тока

концентрации ионов получим:

Aπ n i (x) ~ I ,     , r (xо — x) - плоский случай,

V 2 E '( x ) 1.

Aπ n i (x) ~---.        (x0 — x ) - цилиндрический

2 x V 2| E*(x ) li случай,

При A << 1 в области слабых полей U < 1 можно положить n ' _i ≈ n ' _e = 1. Тогда при больших зондах (a >>  1) будем иметь E ' = — A ²( x ₀ — x )² 2 1

j' П тт 1 ГЛ                ТТ 1

U =---до U = 1. При полях U >>  1 плотность

• 6 4 A

тока сохраняется (насыщение):

j'₃ =(6^- )^1/3 .                             (16)

П

На рис. 6 представлено сравнение результатов численного расчета с расчетом по аппроксимирующей формуле (16).

Рис. 6. Сравнение результатов численного расчета с расчетом по аппроксимирующей формуле 16 (плоский случай), U = 30: 1 – результаты численного расчета; 2 – расчет по аппроксимирующей формуле 16; 3 – бесстолкновительный случай. По оси абсцисс отложена безразмерная длина свободного пробега, по оси ординат – безразмерная плотность тока

При промежуточных случаях можно использовать графики рис. 1–3, проведя соответствующую перенормировку.

Следует отметить, что при малых зондах ( a << 1) соотношение l_i <<  a может выполняться только при больших давлениях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Столкновения ионов с атомами монотонно уменьшают ионный ток, однако это влияние ослабляется при увеличении частоты ионизации в объеме и при уменьшении радиуса зонда. Следует отметить, что типичное значение параметра «A» в разрядах низкого давления в трубках с радиусом гст - A ~ - << 1, но в пылевой плаз-rст ме, где потери заряженных частиц возрастают, этот параметр может существенно увеличиться.

В предельных случаях a >> 1 (плоский зонд) и для практических расчетов целесообразно пользоваться аппроксимирующими выражениями из раздела 3.

Данная работа была выполнена в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы, контракт 16.740.11.0329.