К расчету пространственных упругопластических составных стержней

Рассматриваются пространственный изгиб и осевая деформация упругопластического составного стержня. Используются основные положения общей теории пространственно работающих составных стержней, разработанной А. Р. Ржаницыным [3]. Крутящий же момент считается передающимся по длине панелей стержня за счет собственной крутильной жесткости ветвей и жесткости структурных связей.

Используется система дифференциальных уравнений, описывающая напряженно-деформированное состояние упругого пространственно работающего составного стержня постоянного сечения по длине с упругоподатливыми связями сдвига, имеющими постоянную жесткость по длине стержня, и абсолютно жесткими поперечными связями. Эта система уравн е ний предназначена для определения усилий в n продольных связях сдвига составного стержня. В данной работе осуществлена замена указанной системы дифференциальных уравнений системой уравнений в конечных разностях, в которую введены параметры, учитывающие физическую и геометрическую нелинейность решаемой задачи. Продольная ось составного стержня, включающего в себя n ветвей, делится по длине на m равных частей с образованием участков между смежными сечениями j и ( j + 1) длиной c . Контур поперечного j -го сечения d -й ветви длиной s_dj делится на p , в общем случае, неравных частей с расстоянием между смежными узлами разбиения υ и υ + 1, равным s_djυ . Применяется метод шагового нагружения стержней [1].

Данная работа выполнена в развитие исследований, опубликованных нами в [6]. В соответствии с перечисленными выше расчетными предпосылками полная система уравнений, включающая в себя уравнения приращения сдвигов в швах составного стержня, уравнения изгиба в конечно-разностной форме и уравнение кручения составного стержня в целом на k-м шаге нагружения будут иметь вид aig

Д 2^( к )    2 И к )х__Г( k )о( k ) у₇( k )о( к )

A Tig /(c ^ig ) Tig °ig, ig + Z Tilj °ig, ilj + l=1

big

■ Ут (к) (к)     ГТ( к) (к)(

^Z T grj ° igj , grj + ^Z T luj ° igj , luj + ° igj ,0^, r = 1                        l , u = 1

ПП

Z E d ^{( к )} J xdj • ^ Z j ⁾ / c ² + Z T g^к )A y g ’ + M t j ) = 0, (1)

d=1

nn

ZEd(к)Jydj • А2пк’ /c2 + ZTgк)Axg> + AMУк) = 0, d=1

^jк)=y1 к Mrj), где θ(j k )– угол поворота j-го поперечного сечения составного стержня на k-м шаге нагружения; ξi(gkj ) – коэффициент жесткости связей сдвига ig-го шва, соединяющего между собой i-ю и g-ю ветви составного стержня, на k-м шаге нагружения; Ti(gkj ) – суммарное сдвигающее усилие в ig-м шве, накапливаемое по длине составного стержня от его начала до j-го поперечного сечения;

z j

T g ) = j ^ g ) dz ,                     (2)

здесь τ _i ⁽ _g ^k) – сдвигающие усилия, действующие в ig -м шве составного стержня на k -м шаге нагру-

жения;

л²тЧ к ) _ гр)к )

^А T igj       T ig , j +1

-IT ^{( k} ) + T^(k), gj ⁺ ig , j -1 ’

a_ig – число связей сдвига, соединяющих i -й стержень с другими стержнями (не считая g -го стержня); b_ig – число связей сдвига, соединяющих g -й стер ^g жень с другими стержнями (не считая i -го стержня); c_ig – число связей сдвига, не примыкающих ни к ^g i -му, ни к g -му стержням;

(k)    (k)

ζ j и η _j – перемещения составного стержня в плоскостях y0z и x0z; M _r ⁽ _j ^{k )} – крутящий момент в j -м сечении; M l (к) и M j - выражения для определения изгибающих моментов в главных плоскостях инерции j -го поперечного сечения стержня, составленные с учетом влияния пере- (k)  (k)    (k)

мещений ζ _j , η _j и θ _j

щие моменты в j -м поперечном сечении составного стержня от внешней нагрузки при изгибе в плоскостях y0z и x0z на k-м шаге нагружения соответственно; N _i ⁽ _j ^{k )} и N ⁽ _gj ^{k )} – продольные силы в j -м поперечном сечении ветвей i и g составного стержня от внешней нагрузки на k -м шаге equ( k )     equ( k )

нагружения; E _1dj и E _2dj – эквивалентные модули деформаций для j -го поперечного сечения d -й ветви составного стержня, учитывающие сжимаемость оси ветвей стержня, влияние деформаций сдвига материала ветвей и развитие пластических деформаций при их изгибе в плоскостях y0z и x0z соответственно при k -м

шаге нагружения; выражения для определения

E equ( k ) и E equ( k ) в (1) были получены и опубли-1dj         2 dj кованы автором данной статьи ранее в [4], [5].

В (1) угол γ ₁ ⁽ _r ^k _j ^{- 1 )} – угол поворота вокруг цен-

л2л( к ) - Д к )   7Л* к )_1_Л( к )

^{А Z} j = ^Z j +1 ^{- 2} Z j  ⁺ Z j -1 ’

А 2 ( к )        ( к )     _? ( к )       ( к )

^{А П} j  = ^П j +1 ^{- 2 П} j  ^{+ П} j -1 -

Коэффициенты при неизвестных и нагрузочный член в (1) определяются из выражений

тра жесткости c ⁽ _j ^{k - 1 )} j -го узлового поперечного сечения пространственной панели на ( k -1)-м шаге нагружения от действия единичного крутящего момента M_1rj . При действии этого момента смежные основания пространственной

8 ^{( к} ) igj ’ igj

У< ’)² C ^{( к} ) ПИ

(Av(к. *)2          (Ах(к. ))2

+ V yig/ /        +            igj /        + n                         n                        ту) к)

УД eq" ^{( к}\J„.  УЕ^. ^{( к} V ,  Ecja^A'j

/ , 1 dj       xdj / i 2 djydj d=1

E^{( к} ) A cgja gj

Ar?)(k )Ar?)( к)      Av(k )Av( к)        Ax(k )Ax(к)1

(к) _ Atoigj Atoiij      Ayg Ayj       Axigj Axiij

° ⁱ gj ’ ⁱ lj          pV к )       ⁺ n                ⁺ n                ⁺ H к ) * ’

C to ji         ”X Tququ ⁽ к ) т V"¹ Tququ ⁽ к ) т       ^E _cj_a ^A j

/ - E1 dj      xdj / , dj U ydj d=1

8 ^{( к} )

gj ’ grj

■ a

C ( к ) ω ji

Ay (к. Wк) Ax(к Wк)1

y ig y grj   + igj Ar^ ¹

n                          n                         Tk( к)

Уд equ ( ^к \j ,   Уе?" ( ^к \j ,    E cg-a A g.

/ , 1 dj xdj     / < 2 dj ydj d=1

Ary ( ^к )Дгу( ^к )    Ay( ^к W ^к}

( к )       ^Ato igj ^Ato l"j        ^{A y} igj ^{A y} l"j

° igj , l"j            (к) к )              n

C toji                iquqw ^{( к} ) T

/ - -^1 dj    x>xdj d=1

A x 2 )A x (^k )

+ n ^igj '"j    ’ (6)

V pequ ^{( к} )

/ E1 dj  J ydj d=1

m   Аб,^кк )      m

Я ^{( к} ) ₌____ j- . л,}>^{( к} ) +

° iEj ,0 = c 2     ^ato igj ⁺

M j ^{) А} У ig  ₊

n

M j ^{) A} x ig  +

n

N j ) - N g ¹)

E Peq" ( к ) т V"¹ rququ ( к ) т ^E 1 dj    J xdj    / ^E j dj   J ydj

⁽ к )                  ⁽ к )           ’

E cija A ij    E cgja A gj

d = 1

А^ ^к ) = д '+)

d = 1

- 2 6 j^к ) + 6 j - ) ,

панели составного стержня повернутся относительно друг друга. Под действием силы F _r ⁽ _ji ^{k - 1 )} , приходящейся на i -ю плоскую грань пространственной панели, произойдет смещение этой (k - 1)    (k - 1) (k - 1)

грани на величину Δ _ji   = γ _1rj   ⋅ r _ji , где

( k - 1 )

r _ji   – длина перпендикуляра, опущенного из

( k - 1 )

точки c _j на контур i -й грани. С учетом сказанного уравнение равновесия крутящих моментов в j -м сечении будет иметь вид

Ye_F( ^к -D_r( ^к -о+ду ^к . ;/ ₌o          (?)

— (Frji rji +M 1 rji ) M 1 rj O’ i=1

где           F j ^{- 1)} =^A • ^k _^ j ^{k L}-           здесь

( k - 1 )          2            ( k - 1 )                 ( k - 1 )

Ksji =slnajicosajiEsji Asji/loji; M 1j      крутя щий момент по торцам i-й ветви пространственной панели составного стержня, определяемый по [2]:

(k)    (k)    (k)      (k)

где Δω _igj , Δω _ilj , Δω _grj и Δω _luj – разности сек-ториальных координат положения швов в j -м поперечном сечении, отнесенные к стержням i и g , i и l , g и r , l и u соответственно при k -м шаге нагружения (ветви l и u не являются ни i -ми, ни g -ми ветвями); ∆x_igj и ∆y_igj , ∆x_ilj и ∆y_{il j}, ∆x_grj и ∆y_grj , ∆x_luj и ∆y_luj – разности координат центров тяжести j -х поперечных сечений ветвей i и g , i и l , g и r , l и u , составляющих стержень; E _c ⁽ _i ^k _ja ⁾ и E _c ⁽ _g ^k _ja ⁾ – секущие модули деформаций для осевых волокон j -х поперечных сечений соответственно i -й и g -й ветвей стержня при k -м шаге нагружения; A_ij и А_gi – площади j -го поперечного сечения ветвей i и g соответственно; M ^(k) и M ^(k) – изгибаю- xj yj

M

( к -1)

1 rji

= r,^{( к -1)}c^{( к -1)}У ^{к -1)}//³.

^Y 1 rj    to'_(BJ_l    ' VJ i      ' ^lOji ’

_где У к -1) =            ^k cj ^{к -1)} l Oj Sh ( ^kj -¹¹ у )          .

^ji       kj -'> lojiSh ( kj-'> loji ) - 2 ch ( kj -'> loji ) + 2’

к ^{( к -1)} = cji

__^{( к -1)} !     ^{к -1)} " V C tji    / C toji

-

В (7) и (8) приняты следующие обозначения: α_ji – угол наклона оси раскоса к проекции оси стержня на плоскость i -й грани панели; E _s ⁽ _j ^k _i ^{- 1)} и A_sji – модуль деформаций осевых волокон и площадь поперечного сечения раскоса i -й грани пространственной панели; l_oji – длина простран- ( k - 1 )      ( k - 1 )

ственной панели; C _{ω ji} и C _tji – жесткости соответственно при стесненном и чистом круче-

нии i -й ветви в j -м поперечном сечении составного стержня при ( k – 1 )-м шаге нагружения, определяемые из выражений

p

г ( к -1) _у     ( ^k -1)/   xj( ^k -1)

™ji       1 J cdju (sdj)u mdj  (sdj) sdju, u=1 Sj

C j ^{- 1)} = 1 J ⁶ dju ’¹⁾( S dj ) J .dj ( S dj ) dS dju ,

U =1 о , s dj υ

гДе Ecdj 1)(s) — линейная функция, аппроксимирующая функцию секущего модуля E(k-1) cdjυ по его значениям в узловых точках υ и (υ + 1) контура sdj j-го поперечного сечения d-й ветви при (k – 1)-м шаге нагружения; Jω( kdj-1) ( sdj ) – момент инерции при стесненном кручении единицы длины линии профиля sdj j-го поперечного сечения d-й ветви при (k – 1)-м шаге нагружения; G^djk- 1)(sdjj ) — линейная функция, аппроксимирующая функцию модуля сдвига Gd( jkυ-1) по его значениям в узловых точках υ и (υ + 1) контура sdj j-го поперечного сечения d-й ветви при (k – 1)-м шаге нагружения; Jt(dkj-1)(sdj ) – момент

( k - 1 )

Для определения положения c j используется подход, предложенный в [8]. Назначается произвольно расположенная декартова система координат x_j и y_j . Далее определяется направление главных взаимно перпендикулярных осей x_jo и y_jo . Угол наклона оси x_jo к оси x_j определится из выражения

n

1 sm^ ji • yy ^ч)

tg 2a j ^{- 1)} =                    .           (14)

1 cos2 aji ■ к( ;-¹»

i = 1

инерции при чистом кручении единицы длины линии профиля s_dj j -го поперечного сечения d -й ветви при ( k – 1 )-м шаге нагружения.

Модули G( k-1) и E( k-1) связаны между собой djυ      cdjυ зависимостью

Координаты положения центра жесткости c ⁽ _j ^{k - 1 )} j -го узлового поперечного сечения относительно главных осей определятся по формулам

1 r j -"sin a,- к-j:

x Cj ^{- 1)} = Y --------------------,           (15)

1 rj^sin aj . к,-*> i=1

tr od -')_Cos a j,.к^-»

yj ^{- 1)} = Y -------------------,          (16)

1 rY.^cosaj • Yd;, i=1

где r _o ⁽ _j ^k _i ^{- 1 )} – длина отрезка, перпендикулярного к контуру i -й грани, проведенного от произвольно

назначенного полюса.

^{k - 1)} _

G djυ  ⁼

p ^{( k - 1)} Ecdjυ

2(1 + ^d^Y

За пределом упругости коэффициенты жесткости связей сдвига ξ _i ⁽ _g ^k _j ⁾ определяются по фор-

где µ _d ⁽ _j ^k _υ ^{- 1 )} – коэффициент Пуассона, определяемый по формуле:

j

1 1 E C £>(1 - 2ц₀ ) -⋅

2 2       E o

здесь E_o и μ_o – модуль деформаций Юнга и коэффициент Пуассона в начальной точке диаграммы деформирования материала.

Из (7) получаем выражение для определения γ ₁ ⁽ _r ⁱ _j ^{- 1 )} в виде

мулам, приведенным в [3], но с использованием эквивалентного модуля деформаций, если элементы связей работают на изгиб (по аналогии с Eequ( k) или Eequ(k)), и секущим модулем дефор-1dj            2 dj маций, если элементы связей работают на осевую силу (по аналогии с Ec(ikja) или Ec(gkja) ).

Полученные выше выражения позволяют выполнить пространственный деформационный расчет упругопластического составного

_v( к -1) _ гу/ 2( к -1),( к -1)      ( к-1)^к -1),,3 -1

/1 rj = [1(rji     ksji + Cmji ^ji / loji)] - i=1

стержня при конкретных граничных условиях. Результаты деформационного расчета могут в дальнейшем быть использованы для проверки устойчивости составного стержня методом [8].

* Работа выполнена при поддержке Программы стратегического развития ПетрГУ в рамках реализации комплекса мероприятий по развитию научно-исследовательской деятельности на 2012–2016 гг.