К разработке матричной математической модели оценки состояния природно-технической системы

Предложенный нами метод математической оценки состояния ПТС на этапах пред-проектной подготовки, строительства и эксплуатации, позволяет прогнозировать развитие ПТС, а также возможность возникновения аварийных ситуаций. Для нахождения оптимального эколого-планировочного варианта размещения объекта может быть построена математическая модель, основанная на методе разбиения всех ключевых параметров ПТС, выявленных в результате экспертной оценки, на множества, объединяющие эти параметры по особенностям влияния на природно-техническую систему. Ниже приведена схема влияний множеств на ПТС (рис. 1).

Рис. 1. Схема влияний множеств на ПТС

На ПТС оказывают влияние различные, существенные для ПТС группы параметров (факторов) (множеств: A1[n1], A2[n2], A3[n3] … An[nn]). Множества содержат все параметры, необходимые для анализа взаимодействий между всеми подсистемами во время функционирования ПТС. Влияния параметров множеств на систему не равноценны между собой, поэтому необходимо учитывать значимость каждого параметра во множестве и множеств между собой, например, с помощью удельного веса. Удельные веса параметров во множествах определяются путем анализа состояния объектов-аналогов, методами экспертных оценок. Анализируются параметры, изменение показателей которых приводит к изменению состояния системы в целом. Ниже представлена табл.1, в которой отражено, на какую подсистему влияет каждое множество, размерности множеств и обозначения удельного веса для параметров.

Таблица 1. Множества природно-технической системы

	Удельный вес параметра во множестве	Размерность множества	Природная подсистема	Техническая подсистема	ПТС
Множество A 1	β 1 ( i )	n 1	A i	A k	A 1
Множество A 2	β 2 ( i )	n 2	…A j	…A r	A 2
Множество A n	β n ( i )	n n	i, j ∈ [1…n]	k, r ∈ [1…n]	A n

Для дальнейшего рассмотрения параметров во множествах удобно записать параметры в виде вектора состояний (табл. 2).

Таблица 2. Вектора состояний

	Вектор состояний для множества	Вектор состояний для природной подсистемы	Вектор состояний для технической подсистемы	Вектор состояний для ПТС
Множество A 1	a 1 a 2... an	ii 1 a 1 a 2... an a 1 ja 2 j ... anj	kk  k a a ... a ... 1 2      nk rr r a 1 a 2 ... an	a 1 a 1 ... a 1 1 2       n 1 nn  n a a ... a 1 2       nn
Множество A 2	22  2 a 1 a 2 ... an
...
Множество A n	anan ... an 1 2 nn

Параметры множеств изменяются во времени t - l,z, таким образом, зафиксировав состояния параметров в определенном временном отрезке, можно на основе векторов состояний записать матрицу состояний, где каждый вектор будет содержать параметры, указанные с учетом времени. Вектор состояния является частным случаем матрицы состояния, так как отражает состояние системы в фиксированный момент времени. Определим размерности результирующих векторов и матриц (табл. 3).

Таблица 3. Размерности векторов состояний и матриц состояний

	Природная система	Техническая система	ПТС
Размерность вектора	n i +…+n j	n k +…+n r	n 1 +…+n n
Размерность матрицы	(n i +…+n j )*t	(n k +…+n r )*t	(n 1 +…+n n )*t

С учетом описанного выше матрицы для векторов состояний будут иметь вид соответственно для подсистем и ПТС (1-5):

a a ... a

A 1 [n 1 ]: ^{1 2     n 1} (1)

a n a21 K a L n11 ■ a112 a22 K a1n12 r М атр a11 11    1 [ a1 n a 2 n   -K an, z J ица природной системы: ii a21 K ani1   K a 11a21 K (2) j anj1 1 i a12 a22 K ani2 Ka 12a22 K j anj2 r ^ a1z a2z K aniiz K K a1jza2jz K anz М атрица искусственной kk      k a11 a 21   K   ank 1 системы: rr K a11a21 K (3) r a 1 nr1 1 < ak a22 K ak nk 2 rr K a12a22 ■ a; 2 a1kz a2kz   K  ankkz   Ka1rza2rzK  anr

Матрица ПТС:

11	1	22	2	nn	n
a 11 a 21	a 1 n 1 1	a 11 a 21	a K n 2 1	a 11 a 21 K	an„ 1
1 1	1	22	2	nn	n
a 12 a 22 .	an 1 2	a 12 a 22	a n 2 2 K	a 12 a 22 K	Qn„ 2
_ a 1 z a 2 z •	a n 1 1 z	22 a 1 z a 2 z	2 n 2 z K	a 1 nz a 2 nz K	Cln annz J

Для оценки матрицы состояний необходимо, учитывая удельный вес каждого параметра (например, в баллах) в векторе состояний, определить удельный вес каждого вектора состояний относительно матрицы состояний. Удельный вес каждого вектора (не результирующего) в элементе матрицы (1) определяется по формуле [6]:

ровать задачу размещения технологического объекта. В зависимости от отраслевой принадлежности промышленного объекта, социальноинфраструктурной освоенности региона, состояния окружающей среды значимость отдельных факторов природной или технической подсистем при оценке состояния ПТС будет различной, что прослеживается при «назначении» весовых коэффициентов.

Для того чтобы упростить процесс оценки параметров матриц состояний, определить «стабильность» положения ПТС, можно ввести вектора состояний с фиксированными значениями:

• •    вектора критических значений параметров;

• •    вектора эталонных значений параметров;

• •    вектора средних значений параметров.

Разница между фактическими значениями систем и эталонными (критическими, нормальными) может быть оценена с помощью метрик:

¹ i = ^{d (} a ¹ , a im ) = ^S ” =/ a ¹ — a m ^{) 2}

- простая метрика, пример для множества A 1 [n 1 ]

l , = d ( a ' , a , ) = VS n i i C em a l - a l, ) 2

- метрика Минковского (используется весовой коэффициент), пример для множества A 1 [n 1 ] [7,8].

Множества параметров содержат в себе как простые параметры, отражающие состояние системы, так и параметры, оказывающие негативное влияние на систему. В общем случае, негативное влияние параметров множества на систему можно описать с помощью формулы:

w A = f ( S ' X ' ) , "D)     ₍₉₎

U A =

S     )аП у nl + ...+nn/ (jj)  1 o(j)   2         onj)  n

^ j = 1     ( P 1   a n + P 2 a n + ... + P n a n, )

jj   j

- негативное воздействие множества A 1 [n 1 ], ,

≤ - количество негативно воздействующих параметров множества, пример для множества A 1 [n 1 ]

На основании рассчитанного удельного веса каждого вектора в матрице определяется иерархическая структура множеств, влияющих на состояние ПТС.

Таким образом, выделяются наиболее значимые векторы параметров в каждом множестве и наиболее значимые множества в каждой матрице, анализ которых позволяет оптимизи- wA, A 2 _ A. = f (S n=i (Px', ai), S n=i (в?, a2),..., S n=i (eni), an)) (10)

- суммарное негативное воздействие всех множеств, ⁿ\ ^ n₁,ⁿ 2 ^ ⁿ₂,...,n n - n_n - количество негативно воздействующих параметров множеств [9].

Выводы: мы получили структурную математическую модель для абстрактной ПТС, позволяющую оценить состояние системы в каждый момент времени и сделать прогноз дальнейшего ее изменения. В общем случае, представленная математическая модель позволяет:

• •    оценить состояние ПТС в целом;

• •    отследить приближенность оцениваемых параметров к критическим и эталонным;

• •    спрогнозировать изменение зависимых параметров при изменении определяющих;

• •    отследить взаимное влияние параметров и множеств;

• •    оценить негативное влияние множеств на ПТС;

• •    построить иерархическую структуру множеств, влияющих на ПТС.