К решению задачи об управляемости нагрева металла в промышленных печах

Постановка задачи

Нагрев металла в рабочем пространстве камерных или в зоне проходных нагревательных печей характеризуется тем, что одновременно греется несколько слитков или заготовок, причем, как правило, с различными теплофизическими характеристиками, а также часто и с различными температурами посада, с различным временем посада и длительностью всего процесса нагрева в целом. Вследствие различия этих условий для каждого слитка и каждой заготовки оптимальные с точки зрения выбранного критерия траекто- рии нагрева будут различными. Поэтому в такой ситуации требуется, чтобы управление было бы таким, что в каждый момент времени нагрева достигаются различные температуры заготовок. Вместе с тем из-за конструктивных особенностей нагревательных печей на все слитки или заготовки приходится одно управляющее воздействие – температура рабочего пространства (обеспечивается соответствующим расходом топлива в рабочее пространство) камерной печи или в зоне проходной. В связи с этим вполне естественно возникает вопрос о том, принципиально возможно ли в такой ситуации создать индивидуальные траектории нагрева для каждого слитка или заготовки, т. е. ставится задача об управляемости процесса нагрева металла. Таким образом, необходимо исследовать вопрос об управляемости технологического процесса нагрева металла в промышленных печах, причем управляемость будем понимать в смысле работ [1–5]. Как отмечено в [3], управляемость в данном случае означает и достижимость состояния объекта.

Подчеркнем также, что в случае полной управляемости объекта, т. е. в случае создания индивидуальных траекторий нагрева, может быть получен максимальный эффект с точки зрения выбранного критерия оптимальности.

Решение задачи

Следуя, например [6–9], опишем процесс нагрева металла в печи полностью линеаризованным уравнением теплопроводности dt(x,T)=a ^),0 < x < L, T> 0(1)

St          dx2 ,, с начальным

t(x,0)=t0(x), 0 < x < L(2)

и граничными условиями:

• -X^t^)-=0, t> 0;(3)

5x х5£(|,тХ=a[ t п(т)—t ( l , t)], T> 0,(4)

dx где t(x, т) - температура в точке с пространственной координатой x в момент времени т ;

а и X - соответственно коэффициенты температуропроводности и теплопроводности; L – расчетное сечение заготовки; t ⁰ ( x ) – некоторая функция, описывающая начальное температурное поле заготовки; a - коэффициент теплоотдачи; t _П ( т ) - температура печи (рабочего пространства печи).

Проинтегрируем уравнение (1) по координате x в пределах от 0 до L и разделим обе его части на L , тогда получим dt _a Г 5t(L,т) 5t(0, т) 1

= 7 —я---я— ,          ⁽⁵⁾

d т L L d x       д x J

Подставим соотношения (3) и (4) в уравнение (5), тогда получим, что dt a a^

= Г7[ t П ^{( т ) -} t ^{( L} , ^{т )} ] .                    ⁽⁶⁾

d т X L

Если предположить, что температура поверхности t ( L , т ) равна среднемассовой тем-

1L пературе t =— jt(x,т)dx, как это имеет место L0

для термически тонких тел, то уравнение (6) перепишется в виде d^ = I [ t п(т) -1 ],                      (7)

d т T т X L где T = — - постоянная времени нагрева заготовки.

Далее, что касается термически массивных тел, то отметим следующее. Как это достаточно широко известно, при построении автоматизированных систем управления технологическим процессом (АСУ ТП) методических печей динамику среднемассовой температуры металла нередко описывают с помощью так называемых экспоненциальных моделей [10]. Причем такой прием достаточно апробирован на практике [10–12], приемлемая точность математического описания достигается за счет того, что процесс нагрева условно разбивается на несколько участков, на каждом из которых параметры модели имеют свои собственные численные значения. Примечательно, что при этом утверждается, что структура таких моделей выбирается в основном из эвристических соображений, подчеркивается статистический характер этих моделей [10]. Однако в работе [9] показано, что экспоненциальные модели обуславливаются (с некоторой погрешностью) самой физикой процесса нагрева, описываемой дифференциальным уравнением теплопроводности. Там же указана достаточно простая схема перехода от параметров модели, ядром которой является дифференциальное уравнение теплопроводности, к параметрам упрощенной модели для среднемассовой температуры. Кроме того, как это нетрудно видеть, описание нагрева металла с помощью экспоненциальных моделей означает, что в дифференциальном представлении процесс описывается именно уравнением вида (7). Поэтому будем считать, что нагрев i -й заготовки в печи описывается следующим дифференциальным уравнением:

Панферов В.И., Панферов С.В.

TidM + ^(Т) = t п(т).(8)

d т

Перепишем уравнение (8) в стандартном для теории управляемости [1–5] виде:

dt (t)    1 _1

—=-—ti(T) + —u(т), d T      Ti где u(t)=tП(т) - управляющее воздействие.

Таким образом, нагрев всех n слитков или заготовок в рабочем пространстве нагревательных печей может быть описан следующим матричным уравнением:

d^)=At (т) + Bu (t),(10)

d т где t (t) =

MT> t 2(t)

. tn ^{( t )}

T 1

; A =

0....0

0...0

; в =

т

n

T 1 1

т

n

; u ( t ) = t _П( т ) - скалярное управление.

Условие полной управляемости системы (10) дается теоремой Калмана [1, 2, 13–19].

Для проверки условия теоремы Калмана вычислим матрицу управляемости I B AB A ² B... A n ^{- 1} B I .

В данном случае эта матрица будет иметь следующий вид:

BABA 2 B .	. A n - 1 B ]=	■ -1 T 1 T 2	1 — T 12 1 2 T 2	1 T 13 . 1 3 . T 2	.. ( - 1) n - . ( - 1) n		T n -1-L T2
		.. 1	1	1			1 1
					. . ( -	1) n
		T n	2 n	3 . n			rp n Tn

Далее следует определить ранг этой матрицы, для этого нужно вычислить ее определитель. Если при этом учесть известное свойство определителей, то определитель данной матрицы управляемости может быть представлен следующим образом:

det | BABA ² B... A n ^{- 1}

--X---X ... X

T 1   T 2

n ( n - 1)

X ( - 1) ²

Tn

T 1

T 2

_{T 12} . .

T ₂

.

.

.

.

n - 1

T ₁

n - 1

T ₂

.

n - 1

Tn

Понятно, что он не будет равен нулю только при условии, что

T_i ≠ T_k при i ≠ k . (14)

Только в этом случае ранг матрицы управляемости будет равен n и согласно теореме Калмана [1, 2, 13–19] объект вполне управляем, т. е. в принципе существует управление u ( τ ) = t _П( τ ) , которое может обеспечить различные траектории нагрева различных слитков или заготовок. Для этого различные заготовки, как это следует из условия (14), должны иметь различные постоянные времени нагрева, т. е. конкретно слитки или заготовки должны иметь отличающиеся либо теплофизические, либо геометрические характеристики. Выполнить такие условия, как правило, не представляется возможным, так как обычно несколько одновременно нагреваемых заготовок имеют одинаковые характеристики. Поэтому в большинстве случаев процесс нагрева в промышленных печах не вполне управляем, т. е. не существует управления u ( τ ) = t_П ( τ ) , которое способно обеспечить различные траектории нагрева различных слитков или заготовок. Очевидно, что возможны разные траектории только для разных групп заготовок с одинаковыми характеристиками.

Выводы

Рассмотрена задача об управляемости процесса нагрева металла в промышленных печах. Установлено, что для полной управляемости объекта необходимо, чтобы все нагреваемые слитки или заготовки имели бы различные постоянные времени, что обуславливается различными теплофизическими либо геометрическими характеристиками. В большинстве практических случаев процесс нагрева металла в промышленных печах следует считать не полностью управляемым.