К управлению активами

Размещение активов a = ( a i | i E N) на финансовых рынках связано с агрегатными показателями [1] доходности

E (х) = ^   pJE(xj)

^ Jen и риска

V(xj = ^

Jen

pJ

(E(xj)-E(xj) .

Здесь

• •    E ( Xj ) - доходность размещения j -го актива,

• •    p j - доля стоимости j -ой бумаги в общей стоимости портфеля,

₍ ^а' ^p    I jen a^J

Это метрические функции разных метрических пространств. Первая – пространства L 1 функций, суммируемых с первой степенью. Она даёт возможность проводить математические вычисления с наделением их экономическим содержанием. Примером может служить теория индексов.

Оценка риска является мерой действий в пространстве L ₂ - пространстве суммируемых с квадратом функций. Её можно рассматривать как абстракцию (евклидову меру), которая наделяет анализ геометрическим содержанием, что дополнительно позволяет учитывать структурные особенности размещения бумаг. Грубо говоря, первая, мера в пространстве L 1 , является внешней количественной интегральной характеристикой. Вторая функция, мера в L ₂, служит дополнительной мерой внутренних качественных дифференциальных особенностей размещения бумаг. Как две меры различных метрических пространств они связаны основным метрическим тождеством [2].

Для доказательства этого факта введём следующие упрощающие обозначения:

Xj = E(xj) х = (xj: j e N\x = E(x).

В этих обозначениях исходные метрические функции принимают вид

x

= 2    pjXj, V(x)=)    pj(xj

*—i jeN            ^ jeN

— x) = D(x) —

E2(x~),

D(x) = XjeNPJ(xj) .

Если для множества всех допустимых размещений ценных бумаг ввести обозначение X , то оно будет нормированным линеалом, квадрат нормы любого элемента x которого определяется выражением

D(x) = E2(x) + V(x) = E2(x) + a2(x), a(x) = +JV(x)

Функция a ( x ) является среднеквадратическим отклонением. Функционал E( x ) определяет меру в пространстве L 1 , а D ( x ), а ( x ) - меры пространства L ₂. Для соизмерения этих метрических пространств можно ввести масштабный коэффициент h и представить метрический функционал D в виде

D(x) = Е2(х)+^^). h2

В дальнейшем этот коэффициент будем полагать равным единице.

Запишем функционал D в матричной форме

D(x) = х*Рх,   Р = diag;-ew(p;’), введём бозе-операторы

Е + ia        Е — ia

В = —^> В* = —^'