К вопросу анализа эффективности систем с полным резервированием

Введение. Любая система автоматизированного управления технологическим процессом неразрывно связана с самим технологическим процессом. И, следовательно, их надежность необходимо рассматривать совокупно. Рассмотрим надежность работы АСУ с точки зрения экономической эффективности на протяжении некоего времени Т .

Известно, что результатом работы какого-либо технологического процесса является выработка какого-то продукта, в общем случае – какого-то материального результата. Основной экономический эффект от применения АСУ определяется повышением эффективности автоматизируемого производства, повышением качества и надежности управления, сопровождаемым снижением потерь, повышением производительности, снижением аритмии и т. п. [1]. И данный продукт, результат, получаемый за время Т , можно выразить в экономическом эквиваленте. Обозначим его прибылью П.

В свою очередь, фактическая постройка АСУ требует капитальных затрат (экономических ресурсов). Система управления обладает стоимостью С.

Капитальные затраты на разработку, внедрение АСУ включают [2; 3]:

– капитальные затраты на приобретение (изготовление), транспортирование, монтаж и наладку вычислительной техники;

– затраты на строительство (реконструкцию) зданий, сооружений, необходимых для функционирования АСУ;

– изменение оборотных средств в связи с разработкой и внедрением АСУ.

Качество функционирования технических систем определяется различными показателями. И одним из таких показателей является надёжность – свойство объекта сохранять по времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения. Уровень тестируемости дефекта определяется как вероятность обнаружения сбоя на случайно выбранном выходе [4–7].

Состояние, в котором не все значения параметров объекта находятся в установленных пределах, называют неисправным. И зачастую при переходе в такое состояние происходит авария. Система переходит в опасное состояние – чрезвычайное состояние, при котором возник ущерб большого масштаба [8]. Таким образом, при наступлении неисправного состояния ТП возникает потеря экономических ресурсов – ущерб У [9–11].

Вероятность пребывания ТП в исправном состоянии обозначим буквой Р .

Система, на которую затрачены финансы в размере стоимости С, с вероятностью Р приносит прибыль П, а с вероятностью 1– Р ущерб У.

Получающийся экономический эффект выражается формулой

Э = П ■ P - (С + У(1 - P )). (1)

Для повышения надежности системы применяется методы повышения надежности, в частности, резервирование в его простейшем виде – полное резервирование [12; 13].

Стоимость такой резервированной системы повышается в K раз, и экономический эффект:

Э = П ■ (1 - (1 - P ) K ) - (С ■ K + У ■ (1 - P ) K ;     (2)

Э = П - С ■ K + (1 - P ) ^K ■ (П + У).

В данном виде экономический эффект зависит от пяти переменных.

Упростим это выражение, разделив обе части на П:

Э о = 1 - а_х ■ K - (1 - P ) ^K ■ ( а 2 + 1),           (3)

а 1 назовём относительной стоимостью (ОС), а 2 – относительным ущербом (ОУ).

Если относительная стоимость будет превышать единицу, если стоимость будет больше прибыли – экономический эффект в любом случае будет отрицателен [14].

Как мы видим, если слагаемые

- а 1 ■ K - (1 - P ) ^K ■ ( а 2 + 1)                (4)

в сумме дадут больше 1, то итоговый экономический эффект будет отрицателен. И можно выяснить условия этого, зафиксировав все переменные, кроме одной.

Приравняем экономический эффект к нулю, выразим из него относительную стоимость:

a ₁

1 - (1 - P ) ^K ( a ₂ + 1)

K

Критическая относительная стоимость. Рассмотрим, какую величину при каких значениях Р , а 2 и K будет иметь критическая относительная стоимость – такая относительная стоимость, превышение которой даст отрицательный экономический эффект.

На рис. 1 показаны зависимости критической относительной стоимости от относительного ущерба при надежности системы 0,9 и отсутствии резервирования (прямая 1), одинарном резервировании (дублировании) (прямая 2) и двойном резервировании (прямая 3). Критическая а 1 одного варианта становится выше критической а 1 другого в точках пересечения прямых.

Координаты точек находятся решением соответствующих уравнений.

При надежности системы 0,9 дублирование становится выгоднее его отсутствия при относительной стоимости, меньшей 0,47, и относительном ущербе, большем 4,26.

При надежности системы 0,9 двойное резервирование становится выгоднее при относительной стоимости, меньшей 0,321, и относительном ущербе, большем 34,71.

Выражение a1

1 - (1 - P ) ^K ( a 2 - 1)

K

можно графически представить и в одной системе координат в виде семейства поверхностей – множества поверхностей, непрерывно зависящих от одного или нескольких параметров [15; 16]. Одной координатой будет показатель Р , другой – а 2 , а разделяющей элементы семейства – K .

Сначала получим функцию, показывающую зависимость значений надежности от относительного ущерба и ограничивающую область большей выгодности отсутствия резервирования:

1 - (1 - P )( a 2 + 1) =

1 - (1 - P )²( a 2 + 1)

4 ± 4 -

1 + a₇

P = ’--------2

Зависимость стоимости от надежности. Покажем теперь на одном графике, как зависит относи- тельная стоимость от надежности и относительного ущерба.

Функция, представляемая на графиках a1 =

1 - (1 - P ) K ( a ₂ - 1) - Э о

K

.

Вначале приведём номограммы для значений относительной стоимости, при которой экономический эффект равен нулю, и разных степеней резервирования.

При отсутствии резервирования график будет иметь вид, представленный на рис. 2.

При дублировании график-номограмма будет иметь вид, представленный на рис. 3.

Критическая относительная стоимость при надежности 0,9

Относительный ущерб

Рис. 1. Графики зависимости критической относительной стоимости от относительного ущерба при надежности одного экземпляра системы 0,9

Надежность

Рис. 2. Номограмма относительной стоимости при отсутствии резервирования

Рис. 3. Номограмма относительной стоимости при дублировании

Заключение. Анализируя все вышеприведенные выкладки и графики-номограммы, можно сделать вывод о том, что выгодность применения метода резервирования для повышения надежности АСУ ТП имеет свои весьма конкретные ограничения по стоимости создаваемой системы, надежности её элементов и ущербу, причиняемому её выходом из строя. Вычислив эти ограничивающие условия, можно проектировать надежные и одновременно эффективные системы. Приведенные графики показывают граничные условия для определенных степеней избыточности и позволяют проводить анализ эффективности АСУ.