К вопросу о построении математических моделей мембранной теории выпуклых оболочек

Механика

Original article

On the Construction of Mathematical Models of the Membrane Theory of Convex Shells

Evgeniy V Tyuriko v

Don State Technical University, 1, Gagarin sq., Rostov-on-Don, Russian Federation

Introduction. The paper considers the issues of constructing mathematical models of the momentless equilibrium stress state of elastic convex shells using methods of the complex analysis. At the same time, shells with a piecewise smooth (ribbed) lateral surface were considered for the first time. The work objective was to find classes of shells for which it is possible to build meaningful mathematical models.

Materials and Methods. Using the methods of the theory of the discontinuous Riemann-Hilbert problem for generalized analytic functions, a criterion for the unconditional solvability of the corresponding static problem for the equilibrium equation of a convex shell with a ribbed lateral surface has been obtained. This criterion, combined with the methods of the theory of generalized analytical functions, is a tool for constructing mathematical models of the state of momentless stress equilibrium of elastic convex shells.

Results. A method has been developed for constructing mathematical models of the momentless equilibrium stress state of a convex shell under the action of a variable external load and the condition of stress concentration at the corner points of the median surface. The introduction of a vector parameter, as well as the concepts of “order of quasicorrectness” and “quasi-stability”, into the boundary condition provided both quantitative and qualitative comparison of mathematical models. Classes of shells have been found for which the description of mathematical models is given in terms of the geometry of the boundary in the vicinity of the corner points of the median surface. The obtained result, when applied to shallow convex shells, provides a geometric criterion of quasi-stability. It is established that for a shallow shell, which is not quasi-stable, the only adequate mathematical model is a probabilistic one.

Discussion and Conclusions. The proposed method for constructing a two-parameter family of problems with a modified boundary condition makes it possible to simulate the momentless equilibrium stress state for fairly wide classes of convex shells with a piecewise-smooth lateral surface under a sleeve connection. At the same time, the developed algorithm for calculating the boundary condition index allowed us to answer the question of the existence of an adequate mathematical model for a shell with a side surface of an arbitrary configuration, and for shells of a special type (specifically, shallow or shells of revolution), to formulate a geometric criterion for the existence of a mathematical model.

Введение. Рассмотренные в работе вопросы изучались и описывались еще в работах И. Н. Векуа [1, 2] и А. Л. Гольденвезера [3, 4], положивших начало применению методов теории обобщенных аналитических функций к безмоментной (мембранной) теории тонких упругих оболочек и теории изгибаний поверхностей. К настоящему времени окончательные результаты в этом направлении получены для выпуклых оболочек с гладким краем (т.е. с гладкой границей её серединной поверхности). Наиболее значимые из них — корректность и квазикорректность основной задачи со статическим граничным условием с односвязной и многосвязной серединными поверхностями — есть следствия того факта, что индекс соответствующей задачи Римана-Гильберта является инвариантом связности поверхности. Применение автором методов И. Н. Векуа к задачам теории выпуклых оболочек с кусочно-гладким краем1 [5, 6] выявило связь между «геометрией» срединной поверхности в окрестности её угловой точки и картиной разрешимости соответствующих задач Римана-Гильберта с разрывным коэффициентом граничного условия. Использование этих методов в работах [7–9] позволило получить эффективную формулу для индекса при некоторых дополнительных геометрических условиях на угловые точки поверхности, и, как следствие, геометрический критерий квазикорректности основной граничной задачи.

Цель настоящей работы — построение математических моделей безмоментного состояния напряжённого равновесия выпуклых оболочек с ребристыми боковыми поверхностями на основе геометрического критерия квазикорректности основной граничной задачи.

Материалы и методы. Пусть S — односвязная поверхность заданного класса регулярности [7] с кусочногладким краем L = [J n^ L y и угловыми точками p. ( i = 1,..., n ) . Зададим на S вдоль L кусочно-непрерывное векторное поле r = { а ( s ) , в ( s ) } , допускающее разрывы первого рода в точках pj , где а ( s ) , р ( s ) ( а ² + р ² = 1, Р >  0) — касательная и нормальная составляющие, s — натуральный параметр, и обозначим через J заданный в [9] гомеоморфизм поверхности S_o на комплексную плоскость z = x + iy . Пусть область D = J ( S ) — образ поверхности при отображении на плоскость z с границей Г и угловыми точками q. = J ( p. ) . Рассмотрим следующую задачу (задача R ): найти в области D комплекснозначное решение w ( z ) уравнения:

w z ( z ) - B ( z ) w ( z ) = F ( z ) , z ^€ D , (1) удовлетворяющее условию Римана–Гильберта

Re ( X ( Z ) , w ( Z ) } = y ( Z ) , Zer , (2) где

X(Z) = s (Z)EP(Z) t (Z)—a(Z) s (Z)], (3)

s(Z) = s (Z) + i’s2 (Z), t (Z) = 4 (Z) + i4 (Z), i2 =-1,  si,  ti   (i = 1,2)  — вещественнозначные функции, комплекснозначные функции y(Z) , ^(Z) гёльдеровы на каждой из дуг Гj = J(Lj), w;=^(wx + iw), B(z),

F (z) — функции класса Lr (D), r > 2 . При этом предполагается, что решения класса W 1,r в точках разрыва qt допускают «интегрируемую бесконечность» т.е. допускают оценку |w(z)| < const • |z — qj аj, 0 < ау < 1. Следуя [10], класс таких решений обозначим через H* .

Как известно [11], статическая граничная задача безмоментной теории для упругой выпуклой оболочки с ребристой боковой поверхностью в математической постановке есть задача R , где w ( z ) — комплексная функция напряжений, F ( z ) — комплекснозначная функция внешней нагрузки. При этом условие w e H * равносильно условию концентрации напряжений в угловых точках серединной поверхности.

Построение математической модели состояния равновесия оболочки проведём на основе результатов о разрешимости задачи R для поверхности специального вида (канонического купола [9]). Для упрощения изложения будем считать, что в каждой угловой точке направление одной из дуг совпадает с одним из главных направлений k ( k ) и называть купол 2-каноническим (1-каноническим). Задачу R для канонического купола K назовём канонической, если направление поля r в каждой угловой точке p есть направление обобщённой касательной [7, с. 46]. Введём обозначения: 5 ² — отношение соответствующих главных кривизн k_x, k₂ в точке p ( 0 < 6. < 1 ) , p (v_z ) — угловая точка p с внутренним углом v_z, T ( v.) — множество ( сектор ) направлений

Механика

обобщённой касательной в этой точке, T — множество непрерывных на L векторных полей r , задающих в каждой угловой точке p (vj.) направление обобщённой касательной. Как установлено в [7], каноническая задача R квазикорректна для любого поля r e T , если n > 2. Задача R есть семейство Rr задач (1)-(3), каждая из которых задаётся выбором векторного поля r . Следуя И. Н. Векуа [1], задачу Rr назовём s -квазикорректной в классе H * , если она безусловно разрешима в этом классе, а её решение зависит от s вещественных произвольных постоянных ( s — порядок квазикорректности).

Определение 1. Каноническая задача R называется квазиустойчивой относительно поля направлений обобщённой касательной, если задача R ^r s -квазикорректна для любого поля r е T.

Замечание 1. В силу теоремы о разрешимости задачи Римана–Гильберта для обобщённых аналитических функций [11] задача R к вазиустойчива тогда и только тогда, когда индекс к задачи R есть инвариант поля r е T . При этом индексом задачи назовём индекс соответствующей задачи сопряжения с коэффиицентом Л ( Z ) = ^ ( Z ) ^ - 1 ( Z ) . В случае к > -1, порядок квазикорректности s = к + 1 .

Ниже используется техника [6, 8] вычисления индекса граничного условия вида (2), а также понятие [10] особенного узла p задачи (1), (2) или особенной точки q = J ( p ,) разрыва граничного условия (2). Следуя [6], направление обобщённой касательной в угловой точке назовём особенным , если соотвествующая точка разрыва граничного условия (2), (3) есть особенный узел задачи R .

Определение 2. Угловую точку p ( v ) назовём точкой неустойчивости задачи R, если сектор T ( v ) содержит особенное направление.

Введём обозначение: V , о — односторонние пределы в угловой точке p ( v ) касательного к L единичного вектора, причём вектор о задаёт главное направление k₂ на поверхности в точке p , а внутренний угол V задаётся парой ( - v,o ) .

Утверждение 1. Если направление вектора r в точке p ( v ) совпадает с направлением вектора V , то точка q = J ( p ) есть особенный узел граничного условия (2) тогда и только тогда, когда:

v = arccos .

1 + 5

Если же вектор V заменить на вектор о , то:

v = arcctg V?, где 1 — единственный положительный корень уравнения:

11 + 521   1 + 521   „          E1

—:--- + —--4 ---,-----г = -

5 2 + 1   5 2 + 1 Kk (1 + 1 ²) + 4 E1 1

„ Г k - k Y                                 1

Здесь E =   ¹---²   , K = kk ₂ [12, с.164]. При этом arccos---- < arcctgV 1.

I 2   1         12

Обозначим

0 = arccos—!— , n = arcctgV 1 .

1 + 5

Следствием утверждения 1 является утверждение 2.

Утверждение 2. Угловая точка p ( v ) есть точка неустойчивости задачи R тогда и только тогда, когда:

0

Г            п Y

Угловая точка p(v)  есть точка 1-типа (2-типа), если выполнено условие 0

Утверждение 3. Индекс к задачи R в классе H* вычисляется по формуле:

n к = -4 + £( 4-к i), i=1

где n — число угловых точек границы, к = m для точки устойчивости p (v)  m -типа (m = 1,2), и к,. = s в случае r е T(s) (v) (s = 1,2) для точки p(v) неустойчивости.

Замечание 2. Формула (9) для индекса задачи R в классе H ограниченных решений согласно [10] принимает вид:

n к = -4 + £(3-К).                                        (10)

=1

Отметим, что условие принадлежности решения задачи R классу H* есть условие ограниченности интеграла энергии растяжения оболочки [13, с. 83] в окрестности угловой точки.

Из формул (9), (10) следует утверждение 4.

Утверждение 4. Если граница L содержит единственную угловую точку 1-типа, то задача R безусловно разрешима в классе H* и имеет единственное решение Vr е T; если n > 2, n = n + n₂, где n_k — число угловых точек k - типа (k = 1,2), то задача R квазиустойчива относительно r е T с порядком квазикорректности s = 2 n + n₂ - 3.

Если граница L содержит точки неустойчивости, то согласно (9) задача R в классе H* не является квазиустойчивым относительно поля r е T . Однако можно выделить такие классы полей, относительно которых задача R является квазиустойчивой с различными порядками квазикоретности. Классы таких полей можно задавать, выбирая в каждой точке неустойчивости p (v) направление обобщённой касательной только в одном из секторов T⁽¹⁾ (v), T⁽²⁾ (v).

Замечание 3. Как нетрудно убедиться, формулы (9), (10) вместе с утверждением 4 справедливы и в случае:

—

ц < v < — + to2 , 2

где to — достаточно малая величина, заданная поверхностью S . При этом условие малости to не является обязательным. Например, для омбилической (k = k₂) точки p(v) достаточно положить to²= — .

Рассмотрим теперь 1-канонический купол K. В этом случае описание особенных узлов граничного условия (2) также даётся утверждением 2 с той лишь разницей, что в равенстве (4) и уравнении (6) величину

52 = — < 1 необходимо заменить на 52 = — > 1. При этом для угловой точки p (v) неустойчивости задачи R kk неравенство (8) принимает вид:

ц < v < arccos ——. 1 + 5

На основании очевидного графического анализа уравнения (6) заключаем:

1° величина ц = arcctgtft  есть функция двух параметров, а именно: ц = ц(5,k_x), k_x е(0; +^), если

5²= —2 < 1, и ц = ц(5, k₂), k₂е (0; +^) , если 5²= —- > 1;

k1

2° lim ц(5,k ) = —, limц(5,k ) = — Vk е (0; +^), если 52

8^1-0        7   3 , 6^0        7   2     4            ’

3° lim ц(5, k^ ) = ^—, lim ц(5,k₂ ) = 0 Vk, е (0; +^), если 5²= — ;

5^1+0        2 7   3 , 5>+/        27          2             ’

4° для любого фиксированного 5 из правой (левой) полуокрестности единицы функция ц как функция аргумента k2 (kx) есть медленно меняющаяся функция [14] в том смысле, что ц(50, kk )е^ 0,—^ для любого

Механика

фиксированного 5 = 5₀, kj е(0; +^) (j = 1,2) .

Результаты исследования. Введём в рассмотрение семейство поверхностей ST, те[0, е) , где Т — малый параметр, каждый их которых есть срединная поверхность тонкой упругой оболочки VT из некоторого семейства {V}, причём Vo и So совпадают с оболочкой V и поверхностью S соответственно. Будем полагать, что для Vте[0, е) выполнены следующие условия:

• 1)    поверхность S_T есть канонический купол класса регулярности W3,r, r > 2, с внутренними углами величины Vj в угловых точках p, (i = 1,..., n) границы Д, причём поверхность S_oесть 2-канонический (1-канонический) купол S с границей L ;

• 2)    отношения главных кривизн к^(т), к)^т)поверхности S_Tв угловых точках совпадают с величинами 5²в угловых точках поверхности S ;

• 3)    кj^T) = kj + еj (т), где limеj (т) = 0, kj = кj⁰⁾ (j = 1,2).

Пусть J — отображение поверхности ST на комплексную плоскость z = x + iy, заданное выше, DT = J (ST) — семейство ограниченных в плоскости z односвязных областей с соответствующими Гт = J (Д) и угловыми точками qz = J(p). Рассмотрим семейство задач R , т е[0, е), wz ( z )-Вт(z ) w (z )= Ft( z ) , z G Dт ,                                      (13)

Re{MZ) w (£)} = ¥,(£), ZeR,                                  (14)

в котором функции B_T (z) , Х_т(Z) , Y_T(Z) определены серединной поверхностью S_T оболочки Д согласно [8], причём X_T(Z) имеет вид (3).

Предполагается, что боковые поверхности оболочек V имеют общие рёбра, содержащие точки p (i = 1,...,n). Отметим, что задачу (13), (14) Vт е [0,е) можно рассматривать как семейство задач R^(r), каждая из которых задаётся выбором векторного поля на S вдоль L .

Рассмотрим 1-канонический купол S . Справедливо утверждение 4.

Утверждение 4. Если в каждой из угловых точек p (v) купола S выполняется условие:

V< arccos ——,                                        (15)

• 1    + 5

то Vте[0, е) задача R_T квазиустойчива H* относительно поля направлений обобщённой касательной с порядком квазикорректности s = 3n - 3. Если же в каждой точке p (v) выполнено условие:

arcctg tft + го2 < V < ^П + to²,                                           (16)

где to²определено замечанием 3, величина ю₀=ю₀(е) задана семейством S_T, те[0, е), то задача R_T квазиустойчива в классе H* с порядком квазикорректности s = 2n - 3.

Для доказательства достаточно воспользоваться утверждением 3, условиями 1–3 и известными свойствами [1, с. 97] отображения J . Утверждение 4 остаётся в силе для 2-канонического купола S , если условия (15), (16) заменить условиями:

v< arcctgtft-m2, arccos---

1 + 5

соответственно.

Уточним теперь понятие угловой точки к -типа (к = 1,2) поверхности S . Будем говорить, что точка p (v) границы Г есть точка 1-типа (2-типа) относительно семейства S_T, те[0, е), если выполняются условия (15) и (17) для 1-канонической и 2-канонической точек соответственно (условия (16) и (18) для 1-канонической и 2-канонической точек соответственно). Рассмотрим канонический купол S , каждая угловая точка которого есть точка 1-типа или 2-типа относительно указанного семейства S . Тогда следствием утверждения 4 является

Утверждение 5. Если p и q — число точек 1-типа и 2-типа соответственно (p + q = n), то Vте[0, е) задача R_T безусловно разрешима в классе H* и квазиустойчива относительно направлений r обобщённой касательной с порядком квазикорректности s = 3p + 2q - 3. В частности, если p = 0, то q > 2.

Утверждение остаётся в силе, если класс H^* заменить классом H ограниченных в D решений, а порядок s = 3p + 2q - 3 порядком s = 2p + q - 3 при условии 2p + q > 3 . Таким образом, задача R не является безусловно разрешимой в случаях: p = 0 , q< 2 и p = 1, q = 1.

Случай омбилической (5 = 1) угловой точки p (v), в которой любое направление является главным,

• 2         П

требует специального рассмотрения. В этом случае согласно ц = 0 = —, а любое направление обобщённой касательной есть особенное направление задачи R . Однако и в этом случае утверждение 4 остаётся

П справедливым, если для семейства {S_T} считать т^ 0 , а величины V , ц заменить величиной —.

Обсуждение и заключения. Полученные результаты могут быть использованы для построения математических моделей тонких и пологих оболочек положительной гауссовой кривизны с ребристыми боковыми поверхностями. Наиболее полные и продвинутые результаты как линейной, так и нелинейной теории упругих оболочек получены для тонких пологих оболочек. Детальное обсуждение понятия «пологая оболочка», а также описание различных вариантов теории приводится в [15, с. 29]. Линейная теория пологих выпуклых разработана И. Н. Векуа [2, 16]. В рамках этой теории вопрос о реализации состояния напряжённого равновесия пологой оболочки с ребристой боковой поверхностью при выполнении статического граничного условия общего вида сводится к задаче R , рассмотренной выше.

Пусть P — пологая оболочка [2, с. 164] с ребристой боковой поверхностью, S — её срединная поверхность с кусочно-гладким краем. Будем полагать, что в каждой угловой точке поверхности S выполняется условие усиленной пологости k, » k₂, которое равносильно следующему:

5» 1,

kk где 5 — любое из соотношений -,  -. Условие (19) означает, что любую угловую точку p (v) следует k2   k1

П считать как 1-каноничекой, так и 2-канонической точкой. Рассмотрим угловую точку p (v), в которой V » — , и семейство поверхностей ST, те[0, е) , заданное условиями (1)-(3). Согласно свойствам 1°-4° величин 0 , ц и утверждению 2 соответствующая задача RT Vt е (0, е) не является квазиустойчивой в классе H*, то есть точка

П p (v) при V » — — точка неустойчивости задачи RT. В этом случае естественно предполагать, что в правой части формулы (10) соответствующая точке p(v) величина к,. (1 < i < n) есть дискретная случайная величина с возможными значениями 1 и 2. Таким образом, если в каждой угловой точке p(v) серединной поверхности

П выполнено условие v »— , то в силу формулы (9) порядок квазикорректности задачи R есть дискретная случайная величина, принимающая значения m, m + 1 ,..., m + n, где n — число угловых точек, m = 2n -3 для класса решений H*, и m = n - 3 для класса Ыо.

Предлагаемый выше метод может быть использован для построения математических моделей теории тонких пологих оболочек с ребристыми боковыми поверхностями любой конфигурации. Для этого достаточно воспользоваться результатами32о разрешимости задачи R для сферических куполов с кусочно-гладким краем. Рассмотрим для определённости срединную поверхность S в предположении, что все угловые точки p(у) границы — «выходящие», то есть у < П. В этом случае угловая точка на сферической поверхности есть пk  , особенный узел граничного условия тогда и только тогда, когда Y = — (k = 1,—,5) ■ Отсюда следует, что

«выходящая» угловая точка срединной поверхности пологой оболочки есть точка неустойчивости, если пk выполнено одно из следующих условий: у » — (k = 1,2) . Таким образом, формула (9) для индекса может

Механика

служить обоснованием следующей гипотезы:

если задача R для пологой выпуклой оболочки безусловно разрешима в заданном классе решений, то её порядок квазикорректности есть дискретная случайная величина, принимающая целые значения K, K +1,..., K + N, где N — число точек неустойчивости; K — число, заданное набором угловых точек и выбором непрерывного векторного параметра r.

• ² Тюриков Е. В. Обобщенная граничная задача Гольденвейзера для безмоментных сферических куполов.

  
  

То же.

В заключении отметим, что обоснованием этой гипотезы могут служить те же рассуждения, но проведённые для регулярных выпуклых поверхностей, удовлетворяющих условию локальной симметрии [17] в угловых точках.