К вопросу об эволюции завихренности в жидкости и газе

В [1] доказано, что эволюцию завихренности любого вихревого течения жидкости или газа, можно рассматривать как перемещение вихревых трубок с некоторой скоростью, которая, вообще говоря, не совпадает со скоростью жидкости (или газа), и при этом перемещении интенсивности вихревых трубок сохраняются. Результат и идея доказательства. [1] впоследствии неоднократно применялись [2-7]. Для доказательства существования в [1] была

использована теорема Фридмана [8], которая также называется критерием Зоравского [9]. В условия этой теоремы, в частности, входит требование непрерывности первых производных всех компонент всех векторных полей, входящих в уравнение Фридмана. Одно из таких полей в [1] было градиентом решения некоторой задачи с линейным неоднородным уравнением в частных производных (ЛНУ). Ниже эта задача будет строго сформулирована и названа задачей I. Коэффициенты и правая часть (неоднородность) были дважды непрерывно дифференцируемы. Для применения теоремы Фридмана решение ЛНУ должно быть дважды непрерывно дифференцируемо. Однако обоснование такой гладкости решения в [1] отсутствует. Не обосновано также и само существование решения. В известных автору учебниках и монографиях нет теорем, позволяющих утверждать, что из непрерывности вторых производных коэффициентов и правой части ЛНУ следует непрерывность вторых производных решения задачи. Наиболее близкими из известных утверждений можно считать теоремы существования и единственности, доказанные в [10, глава VIII] для задачи с гладким решением. Устранению этого пробела посвящена настоящая статья. В доказательстве там, где это возможно, используются «готовые» теоремы из различных курсов обыкновенных дифференциальных уравнений.

• 2.    Постановка задачи I

Пусть Охіх2хз — прямоугольная декартова система координат, G — ограниченная пространственная область, содержащая точку О, ст С G — замыкание плоской области ст, лежащее в плоскости хз = 0. Пусть далее в за мыкании области G заданы дважды непрерывно дифференцируемые скалярное поле Ғ = Ғ (хі, Х2,хз) и векторное поле е = е( х1, х ₂ , хз) = (е1(х1, х ₂ , хз), е₂(х1, х ₂ , хз), ез(х1, х ₂ , хз)), такое, что |е| = 1 во всей области G и е пересекает ст под ненулевым углом, т. е.

ез(хі,х2, 0) = 0 при (хі,х2, 0) Е ст.(1)

Обозначим L = (е, V) = е1 д^ + е ₂ д^ + ез Цу — линейный дифференциальный оператор и рассмотрим уравнение

Lu = Ғ (хі,х2,хз),(2)

где и = и(х1,х2,хз). Задача I заключается в нахождении дважды непрерывно дифференцируемого хотя бы в какой-нибудь трёхмерной области, содержащей ст, решения уравнения (2), такого, что и(хі,х2, 0) = ио(хі,х2) при (хі,х2, 0) Е ст,(3)

где ио — заданная дважды непрерывно дифференцируемая функция.

Цель статьи — доказать, что решение задачи I существует и единственно.

• 3.    Вспомогательная задача II

Перед тем как приступить к исследованию задачи I, установим некоторые свойства решения вспомогательной задачи II. Она состоит в поиске трёхпараметрического семейства решений (0)    (0)                           (0)    (0)                       (0)    (0)                       (0)    (0)

X = X It — to, хі   , х₂   I = I х1 It — to, хі  , х₂ I , х ₂ It — to, хі  , х₂ I , хз It — to, х1  , х2   I I

(t — время, to,х1O),х2O) — параметры) нормальной автономной системы х = е(х)                                            (4)

(точка обозначает дифференцирование по времени t), определённого в некотором (заранее не известном) интервале времени t Е (to — 6, to + 5), г де 6 > 0, и удовлетворяющего начальным условиями х (    (о)  (о)\ _ ((o) Jo) пАр, a I to, х 1 , х2 I — I х 1 , х2 , 0 I Ест.                                     \^/

Замечание. Чтобы не вводить промежуточных обозначений, при формулировке задачи II сразу было учтено, что, поскольку е не зависит от времени, само время t и параметр to должны входить в решение в виде их разности t — to.

При каждом конкретном наборе параметров (to, ж^), ж®) для задачи (4), (5) выполняются условия теоремы существования и единственности [11, параграф 21]. Решение су-

~       ~

~

ществует для t Е (to — 5, to + 5), где 5 >  0 зависит в общем случае от набора параметров (to, ж®, ж2⁰⁾)• По условию компоненты e дважды непрерывно дифференцируемы в огра-

—.

—.

ничейной замкнутой области G. Поэтому они сами и их производные ограничены в G. Следовательно, повторяя, например, доказательство [И, параграф 21], можно убедить-o) o)

ся в существовании числа 5 > 0 такого, что 5 > 5 для всех параметров (to, ж) , ж^ Д Другими словами, существует такое число 5 > 0, что для всех значений параметров из

области К = 1(to, ж®, ж®) : to Е R, ^ж1⁰⁾,ж2⁰⁾, о) Е ст} решение задачи II единственно для всех t Е (to — 5, to + 5).

существует и

4. Непрерывность вторых производных по параметрам и по времени

компонент решения

задачи II

В

дого

К

этом разделе фиксированного

наряду с областью

зшгчеиия     to

Ко будем

{(t, ж®, ж2°) : t Е (to — 5, to + 5), (ж®, ж^), о) Е а

^с      R³ (0) (0)

t0^1 'ж- 7 рассматривать

для каж-область

) с  R3

fs

ІЖ

(0) (0)- Имеет место ' 1 ж2

следующая лемма.

Лемма 1. В области К вторые (в том числе и смешанные) производные компонент o) o)                                      o) o)

х 11 — to, ж) , ж2 I по t и по параметрам ж) и ж2 существуют и непрерывны.

Эта лемма вытекает из известных теорем [11-13]. Действительно, поскольку е не зависит от времени, первые и вторые частные производные по времени, а также смешанные производные вида д^д Ж- ^и дж-dt , ^ = 1, 3’ Р^авны нулю (следовательно, существуют и непрерывны). Вместе с непрерывностью вторых производных е по координатам это позволяет применить в области К теорему [12, гл. VII]. Приведём формулировку этой теоремы. В формулировке под / следует понимать компоненты е (т. е. еД Остальные обозначения для удобства читателя изменены на используемые в настоящем исследовании.

Теорема. Если функции ДД, жі, ж2,..., ж„) допускают т непрерывных частных производных по совокупности переменных жі, ж2,..., ж_п, то решения задачи II имеют все част-

(о)    (о)

ные производные т-го порядка по ж) , ж2 ,.

.

,      (о)

to, ж) ,.

.

o)

. ,ж\ и те производные т-го порядка по

.,Жп0), где дифференцирование по to входит один раз; если, кроме того, / допус-

кают р— 1 непрерывных производных по t (р 6 т), то решения имеют все производные т-го

(о) порядка по to, ж) ,.

.

. ,Жп⁰⁾- в которых дифферепцировапие по to производится не более р

раз.

Из этой теоремы следует, что в Ko существуют всевозможные вторые производные компонент х по параметрам to, ж^), ж®. Поскольку для всех компонент решения существование производной по to означает существование производной по t (и эти производные равны со знаком минус), то в К существуют всевозможные вторые производные компонент х по t и по параметрам ж1⁰⁾ и ж®. В курсе [13] доказано, что при этом всевозможные вторые производные по координатам ж® и ж2⁰⁾, непрерывны в К (теорема 5.2.2, упомянутого курса). А в курсе [11] доказано, что смешанные производные ”-²(0у ^и _g^t^g_t , ^ = 1, 2’ ^непР^еР^ывны

в К (теорема li )- Таким образом, оста.тось доказать непрерывность ^2-

Зафиксируем to и будем рассматривать х каіс функцию трех переменных t, ж)° 11 ж^)

*

Тогда в уравнении (4) левая часть х = ^f. При подстановке решения в уравнение (4) это

уравнение превращается в тождество

|| (t - t0, ж10), ж(>⁰⁾) = е (к (t - tg, ж10), ж2°))) .                         (6)

Поскольку в области К компоненты решения задачи II непрерывны [11, теорема 14], правая часть (6) непрерывна. Следовательно, непрерывна и левая часть, т. е. первые производные по t непрерывны в области К. Поэтому, в свою очередь, правая часть (4) имеет непрерывные производные по t, из чего следует непрерывность «г- Лемма 1 доказана.

• 5.    Взаимно однозначное отображение

Зафиксируем ф = 0 и рассмотрим отображение 7 : К —> G С R^^, задаваемое компонентами вектор-функции х (t, ж^, ж^^. Матрица Якоби данного отображения есть

J

/ «=.     (0) Д0)

«t Д,ж1 , ж2

(«ЯМ⁰¹) = % (t^M⁰’)

(7 (tTM»))

• -«=1        (0)(0)

«Д0)  t,c,ж

«=2  (    (0)(0)

d=10)  t,c,ж

«=3 (   (0)(0

д=10)  t,c,ж

• -9=1        (0)   (0)

л-т' М,Ж1 ,ж2 )

«=2 (_t Д⁰⁾_Т⁽⁰Л

,,= ' V,c ,ж2 )

«=3 (+ г⁽⁰⁾ ж⁽⁰⁾^

«=2⁰⁾ Ц ^сі ^,ж2 )]

Первый столбец этой матрицы представляет собой вектор

(0)    (0)

, ж , , 2

Якобиан det J

( t,,(0),,20))

непрерывен по всем своим аргументам как определитель

(4))- мат-

рицы, состоящей из непрерывных функций. При этом, как следует из (1),

det J ( 0 , с⁽⁰⁾, ж20) ^ =

(0)(0)

ei I , , с2 , 0 1

(0)(0)

е ₂ жщ, ж2 , 0 1

(0)(0)

ез жщ , ж2 , 0 1

1 0

1 = ез (ж⁽⁰⁾, ж20), 0 ^ = 0 .

Следовательно. 35’ € (0 , 5 ) такое, что в К‘ =

справедливо det J

( мМ0)) =

{(С^⁰)^,ж2⁰⁾) ^{: t} е ^(-5’^,5’ ) , ^^ж(0),ж2⁰⁾,о) ест}

0. Поэтому G = у(К ‘ ) С G есть область (как образ об

ласти при непрерывном отображении с ненулевым якобианом). Кроме того, в силу свойств

решений нормальных автономных систем [10, 11], каковым является решение задачи II, это отображение взаимно однозначно G’ о К ‘. Компоненты матрицы Якоби (непрерывно диффференцируемого на G^ обратного отображения у^-1

J ' ( жі,ж2,ж3 ) =

/ «К^(ж1^,ж2^,ж3 ) «=⁽⁰⁾

-«=7 ^(ж1^,ж2^,ж3 ) «„(0)

\ Л=т ^(ж1^,ж2^,ж3 )

«7 ^(ж1^,ж2^,ж3 )

«=(0)

-«=7 ^(ж1^,ж2^,ж3 )

«=(0)

-«=7 ^(ж1^,ж2^,ж3 )

(ж1,ж2,ж3) \ а (3)

"«=7 ^(ж1^,ж2^,ж3 )

«=(0)

-«=7 (ж1,ж2,ж3)/

определяются по формулам:

8«,      .       ^А «^

аж,(ж1,ж2,ж3)   detJ (|,ж7ж2”)) , аж!”,       , А ()

дж, ^{(ж1,ж2,ж3)}     det J ⁽<,ж ₁ "),ж ₂ ”)) ,

3 = 1 , 3 ,

г = 1 , 2 ,3 = 1 , 3 ,

где А ( ^ ) и А ( -^^ ) — алгебраические дополнения элементов ^^ и -^дД, г = 1, 2, j = 1, 3 dt дд dt Эх\ матрицы J (t, ж^0, ж^0)^ соответственно. Эти алгебраические дополнения являются полиномиальными функциями элементов матрицы J (t,ж10),ж20)у Тогда правые части в (7) представляют собой отношения полиномов, состоящих из непрерывно дифференцируемых в К' функций (следствие леммы 1), причём полиномы, стоящие в знаменате лях, отличны от нуля. Следовательно, эти правые части непрерывно дифференцируемы. Последнее означает непрерывность всех вторых производных вида джддж., г, j = 1, 3, функций t(ж1, ж2, жз), ж10)(ж1, ж2, жз) II ж20)(ж1,ж2, Жз).

6.    Свойства решения задачи I

Как отмечено в п. 5, первый столбец в J ^t, ж10), ж20)) есть вектор е. Рассмотрим первый столбец произведения J,(ж1,Ж2,жз)J ^t, ж10), ж20) ^. Непосредственное перемножение матриц даёт ^Lt(ж1,ж2, жз), £ж10)(ж1, ж2, жз), £ж20)(ж1, ж2, жз)) . С другой стороны, произведение матриц Якоби прямого J и обратного J‘ отображений равно единичной матрице размерности 3. Отсюда

Lt(ж1,Ж2,жз) = 1, Тж-⁰⁾(жі,Ж2,жз) = 0, г = 1, 2.

Цель настоящей статьи (см. конец второго раздела) будет достигнута, если доказать следующее утверждение.

Утверждение 1. Решение u = п(ж₁,ж₂,жз) задачи I в области G' существует, единственно и может быть представлено формулой

п(ж1,ж2,жз) = По ^ж10) (ж1, ж2, жз), ж20) (ж1, ж2, жз

Гt (жі,Ж2,жз)

F ^1 ^т, ж10)(ж1,ж2,жз),ж20)

ж2 ^Т,ж10)(ж1,ж2,жз),ж20)(ж1,ж2,жз/) , жз (т, ж^ (#1, #2, Из), Я20) (#1, #2, Из)) ) dT, (9)

где х = х ^t,ж10),ж20)^ — решение задігш II для случая to = 0.

Доказательство. Непрерывность вторых производных (9) следует из непрерывности вторых производных функции F и компонент решения задачи II, а также из непрерывности всех вторых производных вида ддддг, i,j = 1, 3, функций t(ж1,ж2, жз), ж10)(ж1, ж2, жз) и ж20)(ж1, ж2, жз). Доказательство существования проведём непосредственной подстановкой (9) в (2) и проверкой начальных условий (3). Имеем

Lu = Е -дuОу ^ж10),ж20)) £ж^0)(ж1,ж2,жз) + i=1 N х       7

+ F ^1 ^(ж1,ж2,жз),ж10)(ж1,ж2,жз),ж20)(ж1,ж2, жз)) , ж2 ^(ж1,ж2, жз),ж10)(ж1,ж2,жз),ж20)(ж1,ж2,жз)) , жз ( Цжц ж2, жз), ж^Дц ж2, жз), ж20) (ж1, ж2, жз) ) ) Lt(Ж1, ж2, жз) + з    ,И(Ж1,Ж2,Ж3) dF                  2

+Е/о       5д(ж1-ж2'жз) Е

1=11,0                 J                1=1

-^(Оу ^т, ж10), ж20)^ Ьж⁽⁰°(ж1,ж2,жз) dT. ^дж)

Учитывая, что Xj (t ( x₁, х₂, ха ) , хі°⁾ ( х_і, х₂, ха ) , х2°⁾ ( х_і,х₂,ха

Xj , j = 1 ,3. а так

же принимая во внимание формулы (8), приходим к равенству (2). Далее, посколь-

ку t(x1°⁾,x2°⁾, 0)

°)    (°)

U X1 , X2 , 0 = u°

(°)   (°)

= 0 к Xi хі , х₂ , 0 1

х£°), г = 1,2. формула. (9) даёт

( хМ)

, т.е. начальные условия (3) выполнены. Существование ре

шения задачи I и возможность его представления в виде (9) доказаны.

Для доказательства единственности рассмотрим два различных решения u_i = u_i(хі,х2,ха), г = 1, 2. задачи I:

Lui

= Ғ ( хі,х2,ха ) , щ (х®, х2°),0^

(°)   (°)

= u° хі , х2    , г = 1 , 2 .

Их разность u = ui — U2, которая, в силу взаимно однозначного соответствия областей G’ и К ‘, может быть записана как сложная функция u = u ft(Xi, х2, ха), хі°)(хі, х2, ха), х2°)(хі, х2, ха)), удовлетворяет уравнениям du             х

Lu = дtLt ( x1,X2,xа ) + 2 _v

і=і

du

дхі°)

Lx_ii°⁾ ( x₁,х₂,ха ) = 0 , u ^ 0 ,хі°),х^°)^ = 0 .      (10)

Применяя к первому равенству в (10) формулы (8), получаем, что u = 0. Таким образом, значение u постоянно с течением времени t и равно значению при t = 0, т. е. (°)   (°)              (°)   (°)              (°)   (°)                  (°)   (°)

u ( x₁,x₂,xа )= u хі 0 ,хі ,х2 ,х₂ 0 ,хі ,х2   ,ха 0 ,хі ,х2      = u 0 ,хі ,х2     = 0.

Следовательно, u = 0 или иі = u2. Утверждение 1 доказано.

7.    Требования к гладкости гидродинамических функций

Для применения теоремы Фридмана в первую очередь требуется непрерывность вторых производных компонент скорости V. Кроме того, в работе [1] рассматривалась задача, аналогичная задаче I, исследованной выше. В [1] рассматривалось уравнение (некоторые обозначения [1] изменены)

(П , Vu ) = (П , Ф) , (11)

где П = rotV, V - скорость жидкости, Ф - плотность распределения равнодействующей всех сил, приложенных к жидкости или газу, отнесенная к плотности жидкости или газа, ( , ) - скалярное произведение, u - искомая функция. Начальные условия (аналог (3)) задавались на некоторой плоской области ст, замыкание которой целиком лежало в области течения и пересекалось полем П под ненулевым углом (аналог условия (1)). В [1] рассматривались только вихревые (П = 0) области течения (во всех точках допускается деление на. | П |). Поэтому уравнение (11) предетавляется в вине (2). если положить e = П /| П | и Ғ = ( e , Ф ). В рассматриваемых облаетях поле единичного вектора e = П /| П | имеет ту же гладкость, что и поле П. Поэтому для выполнения требования гладкости к полям e и Ғ в задаче I достаточно потребовать, чтобы компоненты П и Ф в уравнении (11) были дважды непрерывно дифференцируемы. В этом случае, согласно утверждению 1, существует пространственная область течения, содержащая ст, в которой решение существует, единственно и дважды непрерывно дифференцируемо. Поэтому (см. первое предложение раздела) для существования скорости Фридмана достаточно непрерывности вторых производных компонент V. П и Ф

В общем случае всех типов жидкости и газа в выражение для Ф, кроме компонент скорости и их производных, входят, в частности, плотность, давление и температура (и их производные). Поэтому требование непрерывности вторых производных относится ко всем этим гидродинамическим параметрам и их производным, входящим в выражение Ф. В частности, в случае вязкой несжимаемой жидкости (см. [1, раздел 3]) Ф = —и rotП — V[® +П], где р - давление, р - (постоянна!i) плотность. П - потенциал массовых сил. и = 0 - (постоянный) кинематический коэффициент вязкости. Поэтому для существования поля скорости

Фридмана в вязкой несмсимаемой сисидкости достаточно непрерывности вторых производных р, П и компонент V и Q.

8.    Заключение

При обсуждении гладкости параметров течения в [1] было сказано: «В работе исследуются области течения, в которых нет разрывов физических характеристик движущихся жидких частиц (компонент скорости, плотности, давления, температуры и т.д.)... в таких областях достаточную для исследования гладкоств этих характеристик будем предполагатв естественным свойством физических параметров жидких частиц». Далее в [1] (без обоснования) предполагалосв, что при некоторых требованиях к гладкости параметров течения решение задачи с уравнением (11), аналогичной задаче I (в которой требования к гладкости параметров задачи указаны точно), существует и дважды непрерывно дифференцируемо. В настоящей статве доказано, что задача I (в формулировку которой включено требование непрерывности вторых производных решения) имеет решение (утверждение 1 настоящей статьи). Тем самым устранены два пробела статьи [1]. Во-первых, указаны требования к гладкости параметров течения (см. выделенное курсивом в разделе 7). Во-вторых, при условии выполнения этих требований к гладкости доказан факт существования решения задачи I (имеющего непрерывные вторые производные), что в итоге обосновывает результат статьи [1] о существовании скорости Фридмана для пространственных вихревых течений жидкости и газа.