Качественные особенности и разрывные решения уравнений идеальной пластичности

В работе исследуются качественные особенности и разрывные решения системы уравнений плоской идеальной пластичности. Построена непрерывная гомотопия двух классических точных решений Прандтля и Надаи. Показано, что при изменении группового параметра происходит плавная эволюция характеристик (линий скольжения), а при его некотором значении возникает пересечение характеристик одного семейства, что приводит к образованию линий разрыва напряжений. Качественный анализ уравнений характеристик позволил сформулировать достаточное условие отсутствия пересечений и, соответственно, непрерывности решения. На примерах краевых задач продемонстрировано, что при нарушении этого условия характеристики пересекаются и возникают разрывы.

Постановка задачи

Рассмотрим систему уравнений плоской идеальной пластичности [1]:

(  д0д^

2k, cos 20--+ sin20—1 = 0, dx      [       5x

)

— - 2 k s | sin20— - cos 20— | = 0,

dy     ^     5x        dy J

n где g - гидростатическое давление; 0 - 4 - угол между первым главным направлением тензора напряжений и осью OX; ks – предел текучести при чистом сдвиге.

Рассмотрим два известных решения системы (1).

Решение Прандтля часто используется для описания сжатия жесткопластического материала шероховатыми плитами.

В терминах переменных σ, θ для системы (1) это решение имеет вид

Г ° = Р 1 - k s < где h = const; p 1 = const. Граничные условия примут вид ° у =± h =

x       y 7-4 17 , у = h cos2 0 ,                           (2) h \ h 2 J - P 1 - k x , 0 у =± h =n -                                 (3) sh

Характеристики решения (2) имеют следующий вид:

x = h (2 0 - sin 2 0 ) - h

I A

2 C ⁺ P 1 I , к k s J

y = ± h cos20, i = 1,2, где ci – const.

Решение Надаи системы (2) описывает пластическое состояние вокруг круглого отверстия радиуса R , нагруженного равномерно распределённым нормальным давлением p ₂ = const и нулевым касательным напряжением на контуре отверстия. Данное решение можно записать в виде

П 0=’+4,

a =

— P 2 + k s + k s ln

x ² + y²

R ²

r ²

= - P 2 ⁺ k s ⁺ k s ln-y, R

где r , φ – полярные координаты.

Граничные условия принимают вид

^a| r = R = P 2 ⁺ k s , ⁰| r = R = T+^

Получившиеся характеристики имеют следующий вид:

Ф = 0-—, r = R exp

±0+^ks+к ■ к       2 ks      J

где c_i – const, i = 3,4.

Построим гомотопию двух точных решений: Прандтля и Надаи , т. е. непрерывную трансформацию одного решения в другое. Это возможно ввиду того, что система (1) допускает бесконечную группу точечных симметрий, эти преобразования имеют вид [2]:

x' = x + ax0 (a, 0), y' = y + ay0 (a, 0), где (x = x0, y = y0) – произвольное решение системы:

d x       1	d x       d y y I
2 ks 50 s I	cos 20— + sin 20— I = 0, к     da        da J
- 2 k| 50 s 1	।      d x          d y I sin20--cos20— I = 0. <      da         da J

Запишем решение Надаи и Прандтля в следующем виде:

z X    P 2 - ks a x = cos I 0-— | Re 2 ks e2 ks,

к   4 J

z x    P 2- ks _0_ y = sin I 0- -I Re 2 ks e2 ks,

к 4 J ha P,h , .

x =1h sin20, ks    ks y = h cos 20.

Выполняем гомотопическую линейную комбинацию решений Прандтля и Надаи:

x = a

P 2 - k s    p

-/гл- p^ - h sin2 0 + ( 1 - a ) sin| 0-ⁿ |Re ² k s e ² k s , к k_s  k_s       J M 4 J

z x    p 2 - ks _2_ y = ah cos 20- (1 - a)cos |е-“1 Re 2ks e2ks,

где a – групповой параметр.

По аналогии с граничными условиями (6) ищем граничную кривую для решения (10), полагая

P = - P 2 + ks , е = Ф + 4, переходя к полярным координатам, получаем:

P 2 - P 1

r = - 2 ah cos ф + (1 - a )Re ² k s

Подставляя σ = 2 k_s ( a + θ) в систему (10), получаем параметрические уравнения первого семейства характеристик:

(                         A              P 2 ^- k s     Л A

x = ah 2 (c1 + 0) + — + sin20| + (1 - a) Re 2 ks cos |0-П| ea+e,

к           ks         J                     v 4 J

P 2- ks     z x y = ah cos20 + (1 - a )Re 2 ks sin |0-“1 ea+e.

При этом мы можем наблюдать эволюцию характеристик, которые зависят от a . При a = 1 получаются характеристики решения Прандтля, при a = 0 – характеристики решения Надаи.

Например, при значении a ≈0,47 происходит пересечение характеристик первого семейства (рис. 1).

Рис. 1. Пересечение характеристик для отверстия в виде улитки Паскаля a ≈ 0,47

Fig. 1. Intersection of characteristics for a hole in the form of a Pascal snail a ≈ 0.47

Так как характеристики одного семейства пересекаются и значения вдоль них различны, решение задачи Коши после точки пересечения не может быть продолжено непрерывно. Возникает линия разрыва напряжений. Они расматриваются в [3–7]. Эта линия разрыва проходит по биссектрисе угла [1; 8], образованного пересекающимися характеристиками, и выходит из точки их пересечения.

На рис. 2 изображена линия разрыва напряжений. Далее выясним условия, при котором она возникает.

Рис. 2. Линия разрыва напряжений

Fig. 2. Stress discontinuity line

Разрывные решения задачи Коши

Задача Коши (задача о начальных значениях). В плоскости x, y задана гладкая дуга, нигде не совпадающая с характеристическими направлениями и пересекаемая каждой характеристикой только один раз, где x = x ( s ), y = y ( s ), s – некоторый параметр. Вдоль L заданы функции σ( x , y ), θ( x , y ).

Для нахождения условий возникновения разрывов проведем качественное исследование. Из системы (1) заменой

σ=ks(ξ+η),θ= 12(η-ξ)

получаем

∂ξ+∂ξtgθ=0,

∂ x ∂ y

∂η ∂η

η - η ctgθ = 0.

∂ x ∂ y

Рассмотрим первое уравнение (12), оно имеет два интеграла:

dx dy d ξ

1 = tgθ = 0 , dy

= tg θ , ξ = ξ ₀ = const. dx

Для качественного исследования решения уравнения

dy

= tg θ представим его решение dx

в виде [9]

y = tg θ x + ψ ( θ ),

где ψ(θ) – произвольная функция.

Пусть это решение удовлетворяет граничному условию

θ = θ ₀ ( x ) при y = 0.

Рассмотрим два решения (характеристики) вида (14), проходящие через точки ( x ₁,0) и ( x ₂,0) (рис. 3), из (14) имеем:

y = ( x - x ₁)tg θ ₁, θ ₁ =θ ( x ₁), y = ( x - x ₂)tg θ ₂, θ ₂ =θ ( x ₂).

Рис. 3. Пересечение характеристик одного семейства

Fig. 3. Intersection of characteristics of one family

Найдем точку пересечения этих характеристик:

У 2 - У 1 x                    .

tg 0 1 - tg 0 2

Поскольку y 1 >  y ₂,tg 0 1 <  tg 0 ₂, тогда 0 1 <0 ₂, следовательно, функция 0 ( x ) возрастает. Тем самым качественное исследование дает следующие условия пересечения характеристик одного семейства:

Для пересечения характеристик, вдоль которых ^ = const , достаточно чтобы 0 = 0 0 ( x ) была возрастающей функцией.

Проверим это условия на численно-аналитических решениях.

Вычисление характеристик, используя законы сохранения

В работах [2; 10–12] был предложен метод решения задачи Коши на основе законов сохранения исходной системы пластичности.

Ищем законы сохранения для системы (1) в виде функций С = С (σ, θ), D = D (σ, θ), для кото-

рых равенство	д С + ™ = 0                             (15) д x   д y
приводится к виду	— -— tg 0 = 0,                           (16) д^ д^ — + — ctg 0 = 0.                           (17) дп дп

Вводя новые зависимые функции φ, ѱ,

Ф = D - tg0 C, ф = D + ctg0 C,                                (18) получаем систему

∂ϕ 1

- tg θ ( ψ -ϕ ) = 0,

∂ξ 2

∂ϕ 1

+ ctg θ ( ψ -ϕ ) = 0.

∂η 2

После замены переменных по формуле ρ =ϕ cos θ , приходим к уравнению

ρ ξη - ^ρ ₄ = 0,                                        (20)

т. е. к известному телеграфному уравнению.

Запишем интеграл по замкнутому контуру SPR. Здесь SP – граничная кривая; RS – характеристики первого семейства; RP – второго; R – точка пересечения характеристик. Используя соотношение (15) в теореме Стокса для плоскости [13], заключаем, что этот интеграл равен нулю:

j Ddx - Cdy = I + j + J = 0.

SPR               SP PR : η=η ₀ RS : ξ=ξ ₀

Для координаты у_R , полагая φ = 1, ѱ = 0, получаем граничные условия для системы (19) вида

ϕ RS = 1, ψ PR = 0.                                     (21)

При таких условиях выражение для координаты xR принимает вид xR = ∫ (Ddx-Cdy)+xs.                                 (22)

SP

Аналогично для координаты у_R , пологая φ = tgθ, ѱ = 0, получаем граничные условия для системы (19) вида

ϕ

RS

= tg

η-ξ ₀ 0

ψ _PR = 0.

При таких условиях выражение для координаты y_R принимает вид y_R = ∫ ( Ddx - Cdy ) + y_s .

SP

Учитывая, что φ, ѱ связаны с функцией ρ так:

ρ 2 ∂ρ

, ψ= , cos θ      sinθ ∂ξ получаем две задачи:

∂ρ _- ρ _{= 0,}

∂ξ∂η 4

η-ξ

ρ _{ξ=ξ 0} = cos ₂⁰ ,

∂ρ

∂ξ

= 0.

η=η ₀

∂2ρ

ρ = 0, ∂ξ∂η 4

-

^ρ ξ=ξ 0 ⁼

= sin ^{η-ξ 0}

∂ρ

2 ∂ξ

= 0.

η=η ₀

Решением для задачи (26) для координаты x_R является функция

ρ=ρ1(ξ,η)=I0(у](ξ-ξ0)(η-η0))cosη02-ξ0 - 12 ∫I0(у/(ξ-ξ0)(η-τ))sinτ-2ξ0 dτ,(28)

η ₀

причем

^{∂ρ 1} = ¹cos ^{η 0 -ξ 0} I 1 (7( ξ-ξ 0 )( η-η 0 ) ^{η-η 0} - ¹ ∫ ^η I 1 (7( ξ-ξ ₀)( η-τ )) η^-τ sin ^{τ-ξ 0} d τ . (29)

∂ξ 2       2    1        0       0 \ ξ-ξ0 4η0 1        0          ξ - ξ02

Решением для задачи (27) для координаты yR является функция:

ρ=ρ2(ξ,η)=I0(V(ξ-ξ0)(η-η0))sinη02-ξ0 - 12 ∫I0(7(ξ-ξ0)(η-τ))cosτ-2ξ0 dτ,(30)

η ₀

причем

^∂ρ ² = ¹sin ^{η 0 -ξ 0} I 1 (7( ξ-ξ 0 )( η-η 0 ) ^{η-η 0} + ¹ ∫ ^η I 1 ( J ( ξ-ξ 0 )( η-τ )) ^{η - τ} cos ^{τ - ξ 0} d τ , (31)

∂ξ 2      2    1        0       0 \ ξ - ξ0 4 η0                      ξ - ξ02

где I 0 – является функцией Бесселя первого типа мнимого аргумента.

Функции φ, ѱ восстанавливаются по формулам (25). Из соотношений (18) определяются компоненты законов сохранения:

D = ψ sin² θ + ϕ cos² θ , C = ( ψ - ϕ ) sin θ cos θ .

Находим координаты точки R , подставляя найденные С и D в формулы (22) и (24).

Вычисления характеристик для известных точных решений

Построим характеристики для уравнений (1) методом, описанным в предыдущем пункте.

Для построения характеристик задачи Коши для уравнений идеальной пластичности с применением законов сохранения, нами была разработаны программы в среде Maple [14; 15]. Для проверки программы были построены известные характеристики решений Прадтля и решения Надаи.

Проверив программу на двух этих решениях, был сделан вывод, что она выдает релевантные решения. Погрешность вычислений порядка 10–8.

Построение разрывных решений

Для проверки условия не пересечения характеристик одного семейства были построены характеристики с различными граничными условиями, рассмотрим некоторые из них. Зададим следующие граничное условие, с помощью программы построены две характеристики первого семейства до их пересечения, результат показан на рис. 4.

σI _{y = 0} =σ ₀( x ) =- x + 1, θ

_{y = 0} =θ ₀( x ) = x - π ₄.

Для граничной задачи (33) нарушается условие о невозрастании функции θ и возникает разрыв решения.

Поставим следующее граничное условие, с помощью программы построены две характеристики первого семейства до их пересечения, результат показан на рис. 5.

σ I _{y = 0} =σ ₀( x ) = 1, θ I y = 0 =θ 0 ( x ) = x ².                              (34)

В случае с граничной задачей (34) нарушается условие о невозрастании функции θ и возникает разрыв решения.

Рис. 4. Пересечение характеристик первого семейства при граничном условии (33)

• Fig. 4.    Intersection of the characteristics of the first family under the boundary condition (33)

Рис. 5. Пересечение характеристик первого семейства при граничном условии (34)

• Fig. 5.    Intersection of the characteristics of the first family under the boundary condition (34)

Заключение

Таким образом, показано, что задача Коши имеет непрерывное решение не для всех граничных условий, но качественное исследование и числено-аналитический расчет дает следующее условие непрерывности решений: для непрерывности решения задачи Коши достаточно чтобы 0 = 0 0 ( x ) была убывающей функцией.

Работа поддержана Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ (Соглашение №075-02-2026-1314).

Acknowledgements

This work is supported by the Krasnoyarsk Mathematical Center and financed by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement №075-02-2026-1314).