Календарное планирование трудовых ресурсов

Решения по управлению трудовыми ресурсами, принятые на основании здравого смысла, часто оказываются не эффективными. Для повышения качества подобных решений следует использовать экономикоматематические методы.

В процессе производственно-хозяйственной деятельности предприятиям и организациям часто приходится регулировать численность трудовых ресурсов, т.е. определять, какие работники и в каком количестве потребуются для достижения производственных целей. При этом, как правило: задан перечень работ, которые должны быть выполнены, и их объём; существуют различные варианты выполнения этих работ; эти варианты отличаются один от другого количеством затрачиваемых трудовых ресурсов.

Поэтому стремятся выбрать такой вариант выполнения заданных работ, который позволит минимизировать затраты на их выполнение, и определить оптимальную потребность в трудовых ресурсах.

В качестве примера подобной ситуации рассмотрим задачу календарного планирования трудовых ресурсов. Её можно сформулировать следующим образом.

Работодателю нужно составить план регулирования численности рабочих на ближайшие m недель. Численность рабочих регулируется путём найма и увольнения. Первоначальное число рабочих равно х 0. Привлечение дополнительных рабочих связано с затратами в виде накладных расходов по найму / 1 ( X i - X i-1 ) , где X i и X i-1 - это фактическое число рабочих на i -й и i -1-й неделях. Предположим, что увольнение рабочих не требует дополнительных расходов. Объёмы работ для каждой недели известны. Минимальное число рабочих, позволяющее в течение i -й недели выполнить запланированный объем работ, равно b i ( i =1, ... , m). Если фактическое число рабочих на i -й неделе превышает b i , то возникают дополнительные затраты, связанные с простоями рабочих на этой неделе / 2 ( x i - b i ) .

Требуется определить число рабочих для каждой недели так, чтобы суммарные затраты работодателя, связанные с наймом и простоями рабочих, за m недель оказались минимальными.

Для решения данной задачи можно использовать метод динамического программирования. При этом:

• 1)    процесс решения задачи разделяется на m этапов в соответствии с числом недель в плановом периоде;

• 2)    состояние системы перед началом i -го этапа характеризуется одним параметром X i-1 - фактическим числом рабочих на i -1-й неделе;

• 3)    в качестве допустимых управлений на i -м этапе выступают варианты численности рабочих на i -й неделе X i , i =1, ... ,m;

• 4)    функциональное уравнение задачи выглядит следующим образом:

уравнение для m-го этапа dm(xm-1) = fi(xm- xm-i); xm = bm ; bm-i — xm-1 — max{bm-i ; bm} ;

уравнение для i-го этапа, i=m-1, ... ,1

d i (x i-1 ) =

max bi ≤xi ≤max{bi ;…;bm} bi-1 ≤ xi-1

{fl (Xi - Xi-i) +f2 (Xi - bi) + di+i(xi )}, — max{bi-i ;^;bm}, где di(xi-1) - минимально возможная величина затрат работодателя с i-й по последнюю (m-ю) неделю, если число рабочих на i-1-й неделе равнялось xi-1 .

Рассмотрим числовой пример.

Строительной организации требуется составить план регулирования численности рабочих на следующие 5 недель. К началу рассматриваемого периода времени в исследуемой бригаде имеется 6 рабочих (х0=6). Минимальные потребности в рабочей силе на i-й неделе (i =1,...,5) составляют: bi=5, b2 =7, b3=8, b4 =4, b5 =6 человек. Затраты, связанные с наймом рабочих, определяются выражением fi(Xi - Xi-i) = {

40 + 20 · (xi - xi-1 ), если xi ≥ xi-1

• 0, если x i — x i-1 .

Затраты, связанные с простоями рабочих, заданы функцией f₂ ( x i - b i ) = = 30 • (x i - b i ) .

Процесс решения задачи разделяем на 5 этапов в соответствии с числом недель и производим условную оптимизацию. Начинаем с последнего этапа, на котором рассматриваем варианты численности рабочих на 5-й неделе.

5-й этап

К началу 5-го этапа система может оказаться в одном из трех состояний (b₄ — x₄ — max{b₄ ; b₅}): x₄ = 4, 5 или 6 (численность рабочих на 4-й неделе составляла 4, 5 или 6 человек).

Для любого из перечисленных состояний системы условнооптимальное управление состоит в том, чтобы к началу 5-й недели довести численность рабочих до 6 человек, так как b5 — x5 — b5 . Запишем соответствующие функциональные уравнения:

d_s(4)=f i ( X 5 - X 4 )=f i ( 6- 4) = 80; d s (5) = f i ( x₅ - X 4 ) = fi (6 - 5) = 60; d s (6)= fi ( X 5 -X 4 )= fi(6-6) = 0.

На последнем этапе имеют место только затраты, связанные с наймом рабочих, поскольку простои рабочих исключены ( x5 = b5 ). Таким образом, если на 4-й неделе имеется 4, 5 или 6 рабочих, то затраты работодателя на 5й неделе составят, соответственно, 80, 60 или 0 тыс. руб.

4-й этап

К началу 4-го этапа система окажется в состоянии x3 =8 (численность рабочих на 3-й неделе составляла 8 человек), так как b3 < х3 < max{b3 ; b4; b5 }. Для этого состояния существует три допустимых управления: х4 =4, 5 или 6 (уменьшить численность рабочих к началу 4-й недели до 4, 5 или 6 человек). Среди них нужно выбрать условно- оптимальное управление, которому соответствуют минимальные затраты работодателя за 4-ю и 5-ю недели:

ƒ1(4 - 8) + ƒ2(4 - d4 (8)= min  ƒ1(5- 8) +ƒ2(5-

4<%4<6 I            ч      ,

⁴    ƒ 1 (6 - 8) + ƒ 2 (6 -

4) + d 5 (4) = 80

4) + d 5 (5) = 90

4) + d 5 (6) = 60

}

= 60.

Таким образом, для состояния х₃ =8 условно-оптимальное управление заключается в том, чтобы довести численность рабочих к началу 4-й недели до 6 человек, уволив 2 рабочих (x₄ = 6).

3-й этап

К началу 3-го этапа система может оказаться в одном из двух состояний: х₂ =7 или 8 (численность рабочих на 2-й неделе составляла 7 или 8 человек), так как b₂< x₂< max{b₂ ; b₃; b₄; b₅ } .

Для каждого из этих состояний существует только одно допустимое управление x3 =8 (довести численность рабочих к началу 3-й недели до 8 человек). Запишем соответствующие функциональные уравнения d3(7) = fi(8 -7) +f2(8 - 8) + d4(8) = 120;

d₃(8) = f i ( 8 - 8) + f₂(8 - 8) + d 4 (8) = 60.

2-й этап

К началу 2-го этапа система может оказаться в одном из четырех состояний: x1 = 5, 6, 7 или 8 (численность рабочих на 1-й неделе составляла 5,6,7 или 8 человек), так как              b1 < x1

Для каждого из этих состояний существуют два допустимых управления: x₂= 7 или 8 (довести численность рабочих к началу 2-й недели до 7 или 8

человек). Запишем соответствующие функциональные уравнения

ƒ1(7-5)+ƒ2(7-7)+d3(7) =200

⁽⁾7^81/1(8-5) + f₂(8-7) + d₃(8) = 190}     ^;

ƒ1(7-6)+ƒ2(7-7)+d3(7) =180

d2 (6)= min                                      = 170.

7<х₂<8 (Ji (8 — 6) + /2 (8 — 7) + d3 (8) — 170

Следовательно, для состояний x1 = 5 и x1= 6 условно-оптимальное управление заключается в том, чтобы к началу 2-й недели довести численность рабочих до 8 человек (x₂ =8), для чего потребуется нанять, соответственно, 3 и 2 рабочих.

ƒ1(7 -7) +ƒ2(7 d2 (7)= min

¹ ’ 7SX2_S8{fi(8 -7)+Г(8

-

-

7) + d3(7) = 120

7) + d3(8) = 150

} —120;

d2 (8)= min {^ƒ1(7

' 7<Х₂<8  /1(8

-

-

8) + ƒ2(7

8) + ƒ2(8

-

-

7) + d3(7) = 120

7) +d3(8) =90

}=90.

Таким образом, для состояний x1 =7 и x1 =8 условно-оптимальное управление заключается в том, чтобы к началу 2-й недели оставить численность рабочих без изменения (x2 = 7 или 8).

1-й этап

Перед началом 1-го этапа система находится в состоянии х0=6 (имеется 6 рабочих). Для него существуют четыре допустимых управления: х1=5 , 6 , 7 или 8 (довести численность рабочих к началу 1-й недели до 5,6,7 или 8 человек). Решим соответствующее функциональное уравнение d1(6)= min

5<х1<8

ƒ1(5 -6)+ƒ2(5- 5) +d2(5) = 190 ƒ1(6 -6)+ƒ2(6- 5) +d2(6) =200^⎫ Г1(7 —6)+f2(7- 5) + d2(7) = 240 I ƒ1(8 -6)+ƒ2(8- 5) +d2(8) =260⎭

Таким образом, для начального состояния системы наилучшее управление заключается в том, чтобы к началу 1-й недели уменьшить численность рабочих до 5 чел. (х1=5), для чего потребуется уволить одного рабочего. В этом случае затраты работодателя за 5 недель составят 190 тыс. руб.

В заключение определим оптимальную стратегию. Как было выяснено на 1 -м этапе, к началу 1 -й недели численность рабочих следует довести до 5 чел. Следовательно, к началу 2-го этапа система окажется в состоянии х1=5. Оптимальное управление для этого состояния, как было определено на 2-м этапе, заключается в том, чтобы к началу 2-й недели увеличить численность рабочих до 8 чел. Таким образом, к началу 3-го этапа система окажется в состоянии х₂ =8. Оптимальное управление для этого состояния на 3-м этапе состоит в том, чтобы в начале 3-й недели оставить численность рабочих без изменения. Следовательно, к началу 4-го этапа система останется в состоянии х₃=8. Оптимальное управление для этого состояния на 4-м этапе заключается в том, чтобы к началу 4-й недели уменьшить численность рабочих до 6 чел. Следовательно, к началу 5-го этапа система окажется в состоянии х₄=6. Оптимальное управление для этого состояния на 5-м этапе состоит в том, чтобы в начале 5-й недели оставить численность рабочих без изменения.

Таким образом, наилучшее решение по регулированию численности рабочих бригады заключается в том, чтобы использовать на первой неделе 5, на второй и третьей - 8, на четвертой и пятой - 6 чел. В этом случае затраты работодателя за рассматриваемый период окажутся минимальными и составят только 190 тыс. руб.