Когерентный анализ сигналов по ключу

Когерентный анализ сигналов был разработан авторами с целью повышения разрешающей способности обнаружения и описания скрытых слабых закономерностей в условиях большого шума.

Стандартные методы обработки сигналов, такие как дисперсионный, корреляционный и спектральный, имеют ряд существенных ограничений, к числу которых относятся условия, снижающие их разрешающую способность.

Прежде всего следует отметить их относительно хорошую работу в условиях низкого шума, когда отношение сигнал/шум больше пяти.

Этот порог можно несколько снизить если известен закон распределения шума. Тогда можно построить спектральный анализ сигнала с оптимальной фильтрацией. При хорошем разделении сигнала и шума методы с оптимальной фильтрацией позволяют снизить пороговое значение отношения сигнал/шум до единицы [1].

Если к тому же известны спектральные характеристики самого сигнала, значительно отличающиеся от спектральных характеристик известного шума, то методы оптимальной фильтрации могут иметь высокую и даже очень высокую разрешающую способность обнаружения сигнала с пороговым значением отношения сигнал/шум, измеряемым процентами и даже их долями. Однако такая ситуация встречается крайне редко. Как правило, проблема возникает уже на уровне разделения сигнала и шума, не говоря уже о знании их спектральных или других характеристик распределения, которые, как правило, неизвестны.

Другой не менее важной проблемой является проблема различения и распознавания обнаруженных слабых сигналов. Несмотря на большое количество весьма красивых стандартных методов распознавания в условиях шума, когда сигналы, накладываясь друг на друга, становятся совместными, практически все они перестают работать в силу недостаточных разрешающих возможностей различения.

Практически все хорошо отработанные стандартные методы обработки сигналов в решении проблем обнаружения, различения и распознавания могут удовлетворительно работать только в условиях стационарных сигналов. В случае нестационарных, нестабильных сигналов эти методы, по существу, перестают работать.

Всякие попытки построения время-частотных динамических фильтров не решают проблему получения удовлетворительной разрешающей способности. Более того, возникает высокий уровень неопределенности и ложных фантомных сигналов, наведенных самим методом обработки, например в случае анализа нестационарных разрывных сигналов, когда в местах разрыва появляются фантомы.

Следует также отметить, что динамические фильтры Калмана не оправдали надежд на возможность их эффективного применения к анализу нестационарных сигналов.

Когерентное суммирование линейных немультипликативных сигналов эффективно тогда, когда суммируемые сигналы синфазны, когерентны, од-нонаправлены. В этих условиях кумулятивная сумма даже очень слабых сигналов при определенных объемах суммирования становится выше порога обнаружения, различения и распознавания и становится пригодной для эффективного решения этих проблем.

Основная проблема реализации когерентного анализа лежит в способах выделения кластеров когерентности. Таких способов может быть неопределенное множество, отличающихся друг от друга своими ключевыми процедурами выделения когерентных кластеров и способами их группировки по классам подобия. Когерентное линейное суммирование производится по каждому классу подобия отдельно. В результате возникают распределения когерентных сумм по выделенным классам подобия, которые и используются для решения проблем обнаружения, различения, селекции и распознавания сигналов.

Подобные методы анализа сигналов будем кратко называть когерентным анализом по ключу .

В данном разделе рассматривается один из методов когерентного анализа по ключу, основанный на статистической фильтрации сигналов.

Этот анализ производится в режиме самоорганизации, самонастройки без всяких предварительных гипотез о разделении сигнала и шума, а также о характере законов их распределения.

Когерентный анализ по ключу производится в несколько последовательных крупных этапов.

• 1.    Этап когерентной кластеризации сигнала по максимумам и минимумам (минимаксные методы).

• 2.    Этап статистической фильтрации сигнала и получения статистического фильтра.

• 3.    Этап линейного суммирования сигналов по классам подобия когерентных кластеров на основе статистического фильтра.

• 4.    Этап линейного суммирования сигналов по классам подобия когерентных кластеров и получения распределений сумм по этим классам.

• 5.    Этап сравнения распределений разных сигналов, обнаружения аномалий, их различения, селекции и распознавания.

Следует отметить, что по всем пяти этапам имеются свои оригинальные разработки нестандартного анализа . Однако, когда качественно выполнены первые четыре этапа нестандартного анализа, то пятый этап можно выполнить даже простым визуальным методом или соответствующими отработанными методами стандартного анализа сравнения распределений.

Поэтому в статье будут рассмотрены особенности нестандартного анализа первых четырех этапов.

• 1.    КОГЕРЕНТНАЯ КЛАСТЕРИЗАЦИЯ СИГНАЛА МИНИМАКСНЫМИ

МЕТОДАМИ

Основная идея этого метода основана на выделении областей сигнала (кластеров) между соседними минимумами, между которыми находится один максимум (триады минимум–максимум–ми-нимум).

В самом простом случае достаточно иметь три последовательных значения сигнала x 1 , x 2 , x 3 , чтобы по ним обнаружить как минимум, так и максимум. А именно:

для максимума справедливы сравнения x 2 > x1 и x 2 > x 3;

для минимума имеем сравнения противоположного плана x 2 < x1 и x 2 < x 3.

Глобально для триады минимум – максимум – минимум достаточно иметь минимум три точки . Если сигнал регулярной периодичности типа сину соиды , то одна точка , а именно минимум между двумя соседними триадами , является общей . По этому для обнаружения регулярных триад в этом регулярном случае требуется по две точки на каж дую триаду .

Если триады возникают с частотой f, а время наблюдений Т, то общее количество точек такого регулярного сигнала будет равно

N = 2 f ■ T .

Как видим, это типичный аналог теоремы Котельникова.

В условиях нерегулярных сигналов с шумом, чтобы отфильтровать влияние высокочастотных шумов на обработку сигнала, целесообразно рассматривать не отдельные отсчеты сигнала, а их последовательные суммы. При этом возможны два полярных случая. В первом случае суммы x1, x2, x3 несовместны, но рядом положены. Во втором случае суммы x1, x3 несовместны и рядом положены, а сумма x2 совместна с ними обеими на их смежных симметричных частях. В этом случае мы имеем четыре несовместные рядом положенные суммы y1, y2, y3, y4. Причем с предыдущими суммами они связаны соотношениями x1 = y1 + y2, x2 = y2 + y3, x3 = y3 + y4.

Минимальное количество отсчетов, удовлетворяющих этим двум несовместным разбиениям общего измерительного кортежа равно 12, это число есть наименьшее общее кратное чисел 3 и 4.

Таким образом, для выделения регулярных кластеров в условиях высокочастотного шума требуется общее количество точек

N = 24 f • T .

Точки минимума и максимума в этом случае

определяются условиями:

для максимума

x 2 >  x 1 и x 2 >  x 3 ,

или

y 2 + y 3 >  У 1 + y 2 и y 2 + y 3 >  y 3 + y 4

для минимума

x 2 <  x 1 и x 2 <  x 3 ,

или

y 2 + y 3 <  y 1 + y 2 и y 2 + y 3 <  y 3 + y 4 .

Здесь 12 точек кортежа в первом случае разбиваются на 3 суммы x 1 , x 2 , x 3 по 4 точки в каждой.

Во втором случае они разбиваются на 4 суммы y 1 , y 2 , y 3 , y 4 по 3 точки в каждой.

Каждую пару сравнений можно взвесить и получить по одному равномощному сравнению.

Для максимума

• ^{3 x} 2 + 4( у 2 + у з ) >  ^{3 x} 1 + 4( y 1 + у 2 ),

I ³ x 2 + ⁴⁽ у 2 + у 3 ) >  ³ x 3 + ⁴⁽ у з + у 4 ).

Для минимума

• ^{3 x} 2 + ⁴⁽ у 2 + у 3 ) <  ³ x 1 + ⁴⁽ у 1 + у 2 ),

I ³ x 2 + ⁴⁽ у 2 + у 3 ) <  ³ x 3 + ⁴⁽ у 3 + у 4 ).

Разделительными точками кластеров являются точки минимума, между которыми находится одна точка максимума.

Перенумеруем все максимумы сигнала и рассмотрим кластер ( к ) между точками ( к ) и ( к + 1) с временами t_k и t_{k +1} и со значениями минимумов ^x 1, к , ^x 1, к +1 -

По точкам минимумов можно проводить аппроксимационные огибающие разного порядка. В самом простом случае огибающая будет состоять из отрезков прямых первого порядка.

Сигнал огибающей кластера (к) в момент t имеет вид x 1 к + 1 — x 1 к , x 1(t) = x 1,к + —.------—(t- tk)> tе [tk, tk+1].

• ^t k + 1 ^t k

Таким образом, минимумы исходного сигнала x ( t ) образуют сигнал огибающей первого порядка x 1 ( t ).

Теперь мы можем сформировать неотрицательный сигнал первого порядка у 1(t) = x(t) - x 1(t).

Отсчеты каждого кластера в этом случае будут положительные и их можно накапливать простым линейным суммированиями.

Огибающую минимумов первого порядка x 1(t) можно рассматривать как самостоятельный сигнал, который можно разбить на кластеры второго порядка триадами минимум-максимум-минимум с огибающей x2(t) и сигналом у 2( t) = X 1( t) — X 2< t).

Эти сигналы положительны и их можно накапливать в кумулятивных суммах распределений второго порядка. Ясно, что кластеры второго порядка будут более протяженными.

Такую процедуру можно продолжать до тех пор, пока на некотором порядке n либо не будет максимумов между минимумам, либо не будет ни максимумов, ни минимумов, либо будет один глобальный минимум, либо один глобальный максимум.

В этом случае процесс останавливается. Вся информация исходного сигнала исчерпана и пе- решла в кластеры первого, второго и т.д. порядков.

Каждый кластер ( к ) сигнала порядка ( т ) имеет сумму сигнала

Хтк = Stут(t), t£ [tk, tk+1], где St — интеграл Лебега, которую можно рассматривать как кумулятивный импульс кластера (тк). Длительность этого импульса равна ттк tk+1 — tk .

Максимум сигнала кластерного импульса у_тк разделяет его интервал на две части

• ^т тк ^т 1 тк ^{+ т} 2 тк •

• 2.    СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛА

Среднее значение его равно утк = X тк !Ттк .

Здесь перечислены основные информационные характеристики первого порядка для кластерного импульса ( тк ). Разбиение совокупности кластерных импульсов порядка ( т ) выполним по их длительности т _тк , к е J_m , где J_m — множество кластерных импульсов порядка ( т ).

Рассмотрим центрированный сигнал x со средним значением (^x ^ = 0, вторым моментом xx ² ^ = D , третьим моментом ^х ³ ^ = aD и четвертым моментом ^ x ⁴ ^ = dD , где ( ^ есть стандартное математическое ожидание; D , а , dD — соответственно дисперсия, асимметрия и четвертый момент, определенный стандартным способом.

В самом простейшем случае представим исходный сигнал модельным сигналом с тремя состояниями x = ( x 1 , 0, x ₂), которые определяются процедурой фильтрации.

Значения модельного сигнала пребывают в них с вероятностями

P = (p 1 , p , p 2 ), p 1 + p 2 + p = 1.

Размах модельного сигнала равен s = x 2 - x 1.                       (1)

Моменты модельного сигнала подчиняются соотношению

X x" ( x - x 1 )( x - x ₂ ) = 0, n е N .

Потребуем, чтобы первые 4 момента модельного сигнала были равны первым четырем моментам исходного сигнала.

При таком допущении модельный сигнал подобен исходному по четырем статистическим инвариантам, построенным на его четырех начальных моментах. При n = 1, 2 имеем

(x ³ - ( x ₉ + x ,) x ² + x,x₉x ) = 0,

;        2                    \(2)

/ 4      /       . x 3 .              2\ x - (x2 + x1 ) x + x1 x2 x = 0.

Совместное решение этих уравнений позволяет выразить размах сигнала через его моменты s2 = 4d - a2.(3)

где количество модельных сигналов ( n ) определено ниже по формуле (13)

Рассмотрим первые 4 момента такой модельной суммы.

(x „ =V x, = nx ) = 0.

n _k k

(xn2=(X .x. I2 = X k^k 2+X k ^ m, или xmxk

Аналогичным образом можно определить разрешенные состояния модельного процесса и вероятности пребывания в них

2 xn или

= nx ² = n ( n - 1) xx ^ = 0,

x ₂ = ( a + s )/2,

2 D

Р 2 = /       , s (s + a)

p =1 -

x 1 = (a - s)/2, 2D p1 =          , s (s - a)

D d - a2

Таким образом, статистический фильтр модельного процесса полностью определен. Его распределение вероятностей по разрешенным состояниям и сами эти разрешенные состояния эквивалентны исходному процессу с точностью до первых четырех моментов.

Для моментов более высокого порядка справедлива рекуррентная возвратная последовательность

(xⁿ = ax" ^{- 1} + ( d - a ²) x^{n ;};, n >  4. (5)

Возвратную последовательность можно использовать для прогноза моментов более высокого порядка и на их основе получить оценки разброса всех статистических характеристик модельного сигнала (дисперсии, асимметрии и эксцесса).

Однако есть возможность сделать модельный сигнал более точным приближением исследуемого сигнала. Для этого дополнительно к условиям (2) добавим еще одно, а именно равенство размахов исследуемого и модельного сигналов.

Чтобы модельная система не была переопределенной, представим исследуемый сигнал в виде независимой суммы одинаковых модельных сигналов. Обозначим это чисто символически, не вводя новых обозначений:

x n = X . x . ,    k = 1,..., n,                (6)

В системе (2) состояния x 1 , x ₂ определяются по формулам (4) через размах s и асимметрию а , в результате получаются формулы (3) и (4).

В возвратных последовательностях более высокие моменты < xⁿ > выражаются через более низкие < x^{n - 1}>, < x^{n - 2}>,

n

= 0,

где D_n — дисперсия исходного сигнала, D — дисперсия модельного сигнала.

lx 3 = > X?   > X       > X X,X xn    Akxk + ^im,k m xk ' ^i,k,m i *l i ^ k ^ m, или

(x

n или

3 x_n

Далее

4 x_n

= nx ³ + 2 n ( n - 1) x ² x + n ( n - 1)( n - 2) xxx ^,

= naD = a nD = aDn ^.

+L

= Х X +Х ./•’ xk +Х m/m 2 x^ ‘ + i,k,mxi xkxm + ^j,.,m,ixjxkxmxi/ ’

или xxn 4 = nx4 + 3n(n - 1)x3 x + 3n(n - 1)x2 x2 +

+ 6n(n -1)(n - 2)x2xx + 3n(n -1)(n - 2)(n - 3)xxxx^, или

Xx_n ⁴ - 3 D_n² = n ( x ⁴ - 3 D ²) = D_n ( d - 3 D )},

или

d

n

-

3 D n = d - 3 D ,   d n = xx_n ⁴

J ^ i ^ k ^ m.

Как видим, новый модельный сигнал содержит 4 статистических инварианта

x_n = n x = 0 , D_n = nD ,

Xx_n ³^ = naD = aD_n , Xx_n ⁴ - 3 D_n ² = n ( x ⁴ - 3 D ²)}.

Из этих линейных инвариантов строятся два значимых инварианта исходного и модельного процессов

An = a, dn - 3Dn = d - 3D , d = (x 4 Id \                      (11)

d n xnn /D n / •

Что касается размахов исходного и модельного процессов, то они тоже связаны линейным соотношением

s_n = ns .

Изложенные зависимости позволяют получить квадратное уравнение относительно числа слагаемых линейного процесса ( n )

S n ² = 12 nD + n ²(4( d n - 3 D n ) - 3 a n ²). (13)

Наблюдая S_n , D_n , d_n , a n реального исходного сигнала по этой зависимости, находим число независимых слагаемых исходного процесса ( n ). Это позволяет найти характеристики элементарного модельного процесса

s = S nf n , D = D n(ⁿ , a = a n ,    x ₂ = ( a + s )/2,

d = d_n - (3 D_n - D ), x = ( a — s )/ 2,

2D s (s + a) ’

2 D s ( s - a )

p = ^{1 -}

D d - a2

В компактном виде вся информация дискретного распределения содержится в стандартной производящей функции с состояниями ( х 1 , 0, х ₂) и вероятностями ( p 1 , p , p ₂)

F ( Z ) = ( p 1 Z^{x 1} + pZ^X = ⁰ + p ₂ Z^{x 2}) ⁿ . (15)

Вероятность состояния xmk = mx 1 + kx 2

равна

p, = mk

pmpkpn - k - m m!k!(n - k - m)! 1 2

•

Таким образом, построен генератор модельного процесса со своей производящей функцией, со своими разрешенными модельными состояниями и вероятностями пребывания в них.

3. ВЫДЕЛЕНИЕ КЛАССОВ ПОДОБИЯ КОГЕРЕНТНЫХ КЛАСТЕРОВ НА ОСНОВЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО ФИЛЬТРА

xnk Tk,     kЕ J, где J — множество когерентных кластеров рассматриваемого порядка.

Определим из этого множества основные статистические характеристики

(x_n ), S n , D n , d n , a n , n , s , D , d , a , N n , x 1, x 2, где ( x_n ), N_n — среднее значение интервалов кластеров и их общее количество.

Упорядочим все кластеры по возрастанию их интервалов. Тогда в класс (mk) с разрешенным интервалом xmk = mx1 + kx2 и вероятностью пребывания в нем р =_______n!_______pmpkpn - k - m mk m! k!(n - k - m)! 1 2

входит

N mk = p mk N кластеров * .

4. ЛИНЕЙНОЕ СУММИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ ПО КЛАССАМ ПОДОБИЯ

Упорядочив все состояния x mk по возрастанию, с соответствующим числом кластеров N mk , получаем разбиение общего количества кластеров N , на классы x mk мощностью N mk . Просуммировав все импульсы кластеров класса ( mk ), получаем кумулятивный импульс класса ( mk ) с разрешенным интервалом x_mk = T _mk .

Все компоненты кумулятивных сумм положительны. Поэтому при достаточной длительности сигнала даже очень слабые кластерные импульсы, накапливаясь в кумулятивных суммах, вырастают в значимые наблюдаемые, обнаруживаемые и различаемые сигналы. Еще раз обращаем внимание на то, что все сигналы кластеров одного класса когерентны, поэтому их сигналы в суммах не уничтожают друг друга, а усиливают. В этом основное преимущество линейного когерентного суммирования.

С точки зрения вычислительной сложности все процедуры выделения кластеров по максимумам и минимумам и суммирования сигналов в пределах одного кластера, а также суммирования сигналов в пределах одного класса кластеров легко распараллеливаются. Кроме того, все процедуры статисти-

Применим изложенную модель статистической фильтрации для выделения классов подобия когерентных кластеров по их длительности.

Итак, в качестве исходного сигнала рассматриваются интервалы когерентных кластеров

Область применения изложенного метода статистической фильтрации распространяется на сигналы с огра-

ниченной дисперсией.

Рис. Типичная кардиограмма здорового человека (по [5])

ческой фильтрации также выполняются в параллельном режиме.

Для современных суперЭВМ эти процедуры являются весьма технологичными, позволяющими выполнять вычис*ления практически в режиме реального времени*.

Итак, на каждом уровне кластеризации получаем классы кумулятивных импульсов y mk с длительностью τ mk .

Это позволяет сравнивать между собой распределения разных сигналов и на основе этого сравнения решать проблемы обнаружения, различения, селекции и распознавания, используя либо стандартные, либо нами разработанные нестандартные технологии решения проблем.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В статье рассматривается задача извлечения информации из статистических свойств обрабатываемого сигнала достаточно произвольной формы (задача «статистики излучения») [2, 3] в реальном времени. Ранее [4] рассматривался когерентный анализ нестационарных процессов в форме наиболее удобной для сигналов импульсной и периодической природы, т. к. такой анализ обеспечивает линейный рост вычислительной сложности и поэтому кажется наиболее подходящим для обработки сигналов в реальном времени.

Предложенные при этом рекурсивные процедуры, основанные на принципах самоорганизации и ультраметрии обобщаются с помощью метода кластеризации, позволяющего выделять набор особенностей статистического сигнала, специфических для данной задачи их когерентного накопления.

В качестве примера когерентного анализа сигнала по триадам минимум–максимум–минимум рассмотрим анализ типичной кардиограммы здорового человека, изображенной на рис. и взятой из монографии [5].

Как видно из рис., кардиоцикл содержит пять экстремальных точек: P, Q, R, S, T, среди которых P, R, T — максимумы, а Q, S — минимумы. Кардиологи установили, что P — импульс активности предсердия, R — импульс активности желудочка сердца, T — импульс релаксации мышечной среды. Причем установлено, что импульсы P, R частично работают совместно, и накладываются друг на друга, а импульс релаксации срабатывает несовместно с ними, после них.

Авторы рассмотрели независимую работу двух равноправных резонаторов в активной среде, равноправной с ними с точки зрения периода активности, и установили, что относительная активность резонаторов P, R и среды Т подчиняется квадратному уравнению (1 – p )² = p , положительный корень которого равен золотому сечению ( p = 0,382). Как видно из рис., интервал T – P равен 14 в общем цикле длительностью 36 и составляет долю p = 14/36 =0,382. Как показал В.Д. Цветков в монографии [6], эта закономерность присуща всем животным.

В Пущинском центре РАН исследовались кардиоциклы разных животных разных весов и при разных нагрузках в течение последних 15 лет. Они чисто статистически, используя стандартные методы обработки на ЭВМ, пришли к отмеченной выше закономерности, которая нами была получена простым когерентным анализом триад. Более того, мы на этой основе получили прекрасную модельную интерпретацию закономерности золотого сечения в кардиоритмах здорового организма.

Можно также сигнал и его производные представить в виде двумерной картины на дисплее и разработать методы когерентного анализа по ключу для задач более общего вида. Основными особенностями такого когерентного анализа являются обработка данных в разных масштабах времени и с несколькими временными переменными. Это требует создания так называемых единых алгоритмов [7], которые позволят реализовать изложенный выше метод когерентного анализа по ключу в различных приспособленных к конкретной задаче функциональных элементных базах.