Колебания полосы с отслоением в рамках однопараметрической модели Айфантиса градиентной теории упругости
Автор: Ватульян А.О., Явруян О.В.
Статья в выпуске: 3, 2022 года.
Бесплатный доступ
Проведено исследование плоской и антиплоской задач об установившихся колебаниях изотропной упругой полосы с отслоением на нижней границе. Исследование направлено на анализ напряженно-деформированного состояния (НДС) в окрестности вершин трещины и построении функции раскрытия трещины - основных механических показателей при исследовании задач теории трещин. Задачи решены в рамках неклассической градиентной теории упругости (ГТУ), однопараметрической модели Айфантиса. Построены граничные интегральные уравнения (ГИУ) относительно функций раскрытия трещины или их производных. Проведен анализ ГИУ, выделены регулярные и нерегулярные части, полученные ГИУ с сингулярными (с гиперсингулярными, с кубической сингулярностью) интегралами решены на основе методов коллокаций, аппроксимирующих полиномов Чебышева, квадратурных формул для сингулярных интегралов. Для решения плоской задачи применен упрощенный подход Ру - Айфантиса, позволяющий разделить исходную краевую задачу на две вспомогательные подзадачи - классическую задачу ЛТУ и упрощенную краевую задачу для отыскания градиентного решения, в которую входит найденное решение классической задачи,. Для каждой из задач построены полуаналитические выражения для функций раскрытия трещины, проведен анализ НДС в окрестности вершин трещины. Задачи также решены в случае трещины малой относительной длины, проведен анализ ГИУ в зависимости от соотношения малых параметров, получены явные выражения для функций раскрытия трещины. Проведены численные расчеты. Определены зоны работоспособности асимптотического подхода и осуществлен сравнительный анализ результатов, полученных на основе моделей ГТУ и ЛТУ, в зависимости от значений градиентного параметра и длины расслоения.
Колебания, установившийся режим, упругий, полоса, отслоение, градиентная теория упругости, линейная теория упругости, асимптотический метод, метод ру - айфантиса, граничные интегральные уравнения, сингулярность
Короткий адрес: https://sciup.org/146282553
IDR: 146282553 | УДК: 539.3 | DOI: 10.15593/perm.mech/2022.3.08
Vibrations of a strip with delamination in the framework of the one-parameter Aifantis model of gradient elasticity theory
The problems on in-plane and anti-planar steady-state vibrations of an isotropic elastic strip with delamination at the lower boundary has been investigated. The goal of the study is to analyze the stress-strain state in the crack tips areas and to construct a crack opening function being the main mechanical characteristics in the crack theory problems. The problems under study have been solved in the framework of the nonclassical gradient elasticity theory (GET) on the basis of the one-parameter model proposed by Aifantis. The boundary integral equations (BIE) are obtained with respect to crack opening functions or their derivatives. The analysis of BIEs is carried out, regular and irregular parts are distinguished, the obtained BIEs with singular (e.g., with hypersingular, with cubic singularity) integrals are solved via collocation methods, approximating Chebyshev polynomials, quadrature formulas for singular integrals. For the in-plane problem solution, the simplified Ru-Aifantis method has been applied. The Ru-Aifantis method allows to divide the initial boundary value problem into two sub-problems - the classical linear elasticity theory (LTE) problem and the simplified boundary value problem for finding the gradient solution which includes the solution found via the classical theory. For each of the problems, semi-analytical expressions for the functions of crack opening have been constructed, and the analysis of the stress-strain state in the area of crack tips has been carried out. The problems have also been solved in the case of a crack with small relative length, the analysis of BIE depending on small parameters ratio has been carried out, and explicit expressions for the crack opening functions have been obtained. Numerical calculations have been performed; the applicability conditions for the asymptotic method are determined, and a comparative analysis of the results obtained on the basis of GET and LTE models, depending on the values of the gradient parameter and the delamination length, is realized.
Список литературы Колебания полосы с отслоением в рамках однопараметрической модели Айфантиса градиентной теории упругости
- Об уточнении напряжённого состояния в прикладных задачах упругости за счёт градиентных эффектов / Е.В. Ломакин, С.А. Лурье, Л.Н. Рабинский, Ю.О. Соляев // Доклады Академии наук. – 2019. – Т. 489, № 6. – C. 585–591. DOI: 10.31857/S0869-56524896585-591
- Askes H., Aifantis E.C. Gradient elasticity in static and dynamics: An overview of formulations, length scale identification procedures, finite element implementations and new results // International Journal of Solids and Structures. – 2011. – Vol. 48. – P. 1962–1990. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2011.03.006.
- Askes H., Aifantis E.C. Gradient elasticity and flexural wave dispersion in carbon nanotubes // Physical review. – 2009. – Vol. 80, Art. number 195412. DOI: 10.1103/PhysRevB.80.195412
- Askes Н., Bennett T., Aifantis E.C. A new formulation and C0-implementation of dynamically consistent gradient elasticity // Int. J. Numer. Meth. Engng. – 2007. – Vol. 72, no. 1. – P. 111–126. DOI: 10.1002/nme.2017
- Exadaktylos G. Gradient elasticity with surface energy: mode-I crack // International Journal of Solids and Structures. – 1997. – Vol. 35. – P. 421–456.
- Vardoulakis I., Exadaktylos G., Aifantis E.С Gradient elasticity with surface energy: mode-III crack problem // International Journal of Solids and Structures. – 1994. – Vol. 33, No. 33. – P. 4531–4559. DOI: 10.1016/0020-7683(95)00277-4.
- Erdogan F., Gupta G.D. On the numerical solution of singular integral equations // Q. Appl. Math. – 1972. – Vol. 30. – P. 525–534.
- Konda N., Erdogan F. The mixed mode crack probleb in a nonhomogeneous elastic medium // Engineering fracture mechanics. – 1994. – Vol. 47, no. 4. – P. 533–545.
- The mode III full-field solution in elastic materials with strain gradient effects / L. Zhang, Y. Huang, J.Y. Chen, K.C. Hwang // International Journal of Fracture. – 1998. – Vol. 92, no. 4. – P. 325–348. DOI: 10.1023/A: 1007552621307.
- Karimipour I., Fotuhi A.R. Anti-plane analysis of an infinite plane with multiple cracks based on strain gradient theory // Acta Mech. – 2017. – Vol. 228. – P. 1793–1817. DOI: 10.1007/s00707-016-1793-0.
- Wang X.A Circular inhomogeneity incorporating surface/interface strain gradient elasticity // Mathematics and Mechanics of Solids. – 2018. – Vol. 23, no. 4. – P. 573–587. DOI: 10.1177/1081286516680865
- Gradient theory for crack problems in quasicrystals / J. Sladek, V. Sladek, M. Repka, S. Schmauder // European Journal of Mechanics – A/Solids. – 2019. – Vol. 77. Art. number 103813. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2019.103813.
- Fracture mechanics analysis of size-dependent piezoelectric solids / J. Sladek, V. Sladek, P. Stanak, Ch. Zhang, Ch.-L. Tan // International Journal of Solids and Structures. – 2017. – Vol. 113–114. – P. 1–9. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2016.08.011.
- Shlyannikov V., Tumanov A., Khamidullin R. Straingradient effect on the crack tip dislocations density // Frattura ed Integrità Strutturale. – 2020. – Vol. 14, no. 54. – P. 192–201. DOI: 10.3221/IGF-ESIS.54.14.
- Martínez-Pañeda E., Fleck N.A. Mode I crack tip fields: Strain gradient plasticity theory versus J2 flow theory // European Journal of Mechanics – A/Solids. – No. 75. – P. 381–388. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2019.02.009.
- Хамидуллин Р.М., Федотова Д.В. Анализ полей напряжений в вершине трещины и параметры сопротивления разрушению в условиях градиентной пластичности // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2021. – № 4. – C. 136–148. DOI: 10.15593/perm.mech/2021.4.13
- Georgiadis H.G. The mode III crack problem in microstructured solids governed by dipolar gradient elasticity: static and dynamic analysis // Journal of Applied Mechanics. – 2003. – Vol. 70. – P. 517–530.
- Fannjiang A.C., Chan Y.-S., Paulino G.H. Strain gradient elasticity for antiplane shear cracks: A hypersingular integrodifferential equation approach // Society for Industrial and Applied Mathematics. – 2006. – Vol. 62, no. 3. – P. 1066–1091.
- Paulino G.H., Fannjiang A.C., Chan Y.-S. Gradient elasticity theory for mode III fracture in functionally graded materials – Part I: crack perpendicular to the material gradation // Journal of Applied Mechanics. – 2003. – Vol. 70. – P. 531–542.
- Change of constitutive relations due to interaction between strain-gradient effect and material gradation / Y-S. Chan, G.H. Paulino, A.C. Fannjiang, Y.-S. Chan // Journal of Applied Mechanics. – 2006. – Vol. 73. – P. 871–875.
- Ватульян А.О., Явруян О.В. Асимптотический метод решения задачи идентификации криволинейной трещины в упругом слое // Дефектоскопия. – 2020. – № 10. – С. 39–48. – DOI: 10.31857/S0130308220100048.
- Ватульян А.О., Явруян О.В. Колебания слоя с расслоением в рамках градиентной теории упругости // Дефектоскопия. – 2021. – № 10. – С. 3–15. – DOI: 10.31857/S0130308221100018.
- Ru C.Q., Aifantis E.C. A simple approach to solve boundary-value problems in gradient elasticity // Acta Mechanica. – 1993. – Vol. 101. – P. 59–68.
- Askes H., Morata I., Aifantis E.C. Finite element analysis with staggered gradient elasticity // Computers and Structures. – 2008. – Vol. 86, no. 11–12. – P. 4531–4559. DOI: 10.1016/j.compstruc.2007.11.002.
- Васильев В.В., Лурье C.А. Oбобщенная теория упругости // МТТ – 2015. – № 4. – С.16–27.
- Васильев В.В., Лурье С.А. Нелокальные решения сингулярных задач математической физики и механики // ПММ – 2018. – Т. 82, № 4. – С.459–471.
- Stoer J., Bulirsch R. Introduction to numerical analysis. – Springer, 2002. – 746 p. DOI: 10.1007/978-0-387-21738-3.
- Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. – М.: Наука, 1977. – 384 с.
- Ватульян А.О., Нестеров С.А., Юров В.О. Исследование напряженно-деформированного состояния полого цилиндра с покрытием на основе градиентной модели термоупругости // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2021. – № 4. – C. 60–70. DOI: 10.15593/perm.mech/2021.4.07.
- Ворович И.И., Бабешко В.В. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. – М.: Наука, 1989. – 320 с.
- Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. – М.: Наука, 1981. – 688 с.
- Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. – М.: Наука, 1985. – 253с.
- Саакян А.В. Решение задачи для краевой трещины с гиперсингулярным определяющим уравнением методом механических квадратур. // Известия НАН РА. Механика. – 2020. – Т.73, № 2. – С. 44–57. DOI: 10.33018/73.2.4.
- Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. – М.: Наука, 1966. – 708 с.
