Комбинаторное разнообразие фуллеренов С62-С150

Автор: Войтеховский Юрий Леонидович, Степенщиков Д.Г.

Статья в выпуске: 9 (333), 2022 года.

Бесплатный доступ

Краткое сообщение посвящено комбинаторному разнообразию фуллеренов С62-С150, полученному и охарактеризованному точечными группами симметрии с помощью оригинальных компьютерных алгоритмов. Установлено, что 28 допустимых для фуллеренов точечных групп симметрии реализуются уже в диапазоне С20-С140. Предложены критерии внутренней проверки результатов.

Фуллерен, комбинаторное разнообразие, порядок группы автоморфизмов, точечная группа симметрии

Короткий адрес: https://sciup.org/149141392

IDR: 149141392 | DOI: 10.19110/geov.2022.9.5

Текст краткого сообщения Комбинаторное разнообразие фуллеренов С62-С150

После открытия фуллеренов как стабильных полиэдрических молекул [11] быстро выяснилось, что стабильность им обеспечивают главным образом критерии Г. Крото: отсутствие в структуре контактирующих пентагонов и высокая симметрия [9, 10]. Именно этим формам посвящена основная масса статей по проблеме. Исключение — атлас [7], в котором даны все фуллерены С20–С50 и формы с изолированными пентагонами С60–С100. Кроме того, структуры того же типа давно наблюдались в биологии (белковые капсиды икосаэдрических вирусов, скелеты радиолярий и мн. др.). И в этих областях интересны все комбинаторные типы фуллеренов. Это побудило авторов заняться их систематическим перечислением. В каталогах [2, 3] даны все фуллерены С20 — С60 (5770), С62 — С70 (1236) без троек контактирующих пентагонов и С72 — С100 (1265) с изолированными пентагонами. Все фуллерены изображены в проекциях Шлегеля на одну из граней. Особенность авторского подхода — в характеризации всех форм не только порядками групп автоморфизмов (п. г. а.) реберного графа, но и точечными группами симметрии (т. г. с.) соответствующего выпуклого полиэдра, гарантированного теоремой Мани [12].

Известно, что для фуллеренов возможны лишь 28 т. г. с. [6, 14]. В диапазоне С20 — С60 авторами данной статьи ранее зафиксированы 23 т. г. с. в порядке генерирования [2, 3]: 1 — С20; — С24; — С26; 222, — С28; mm2, — С30; 2, 32, — С32; m, 3m — С34; 1, , 6/mmm — С36; 3, mmm, — С40; , 23 — С44; 2/m — С48; — С56; 52 — С60. Встает вопрос о реализациях оставшихся 5 т. г. с., который был решен в данной статье.

Методика и результаты

Методика перечисления комбинаторных типов фуллеренов в целом сводится к построению, сравнению и элиминированию повторяющихся полиэдрических графов, у которых разрешены только 5- и 6-угольные грани, сходящиеся по 3 в каждой вершине [2]. В деталях алгоритмы являются know how авторов. Результаты даны в табл. 1 и дают ответ на поставленный выше вопрос: — С₆₂; — С₆₈; 622 — С₇₂; — C₉₂; 235 — C₁₄₀. Таким образом, все 28 т. г. с. реализуются уже в диапазоне С₂₀ — С₁₄₀. Из них 6 некристаллографических: 52 , , , , 235 , . Из 32 кристаллографических т. г. с. в фуллеренах не реализуются 10: тетрагональные — 4 , 422 , 4/m , 4mm , 4/mmm , гексагональные — 6 , 6/m , 6mm и кубические 432 , .

Таблица 1. Числа фуллеренов С₆₂–С₁₅₀ в разрешенных т. г. с.

Table 1. The numbers of C₆₂ to C₁₅₀ fullerenes in allowed s. p. g.’s

п. г. а.	1	2			3	4				6				8		10	12				20	20	24	24	24	24	60	120	Всего Sum
т. г. с.	1	2	m	1	3	mm 2	2/ m	222	4	32	3 m	6	3	mmm	42 m	52	3 m	6 m 2	622	23	To m 2	5 m	43 m	6/ mmm	122 m	m 3	235	35 m
n	1	2	m	1	3	mm 2	2/ m	222	4	32	3 m	6	3	mmm	42 m	52	3 m	6 m 2	622	23	To m 2	5 m	43 m	6/ mmm	122 m	m 3	235	35 m
62	2135	142	80		4	16				4	1	1						2											2385
64	2990	316	118	2	8	4	4	17			4			1	1														3465
66	4134	211	112			18				2	1																		4478
68	5714	411	122		5	21	7	28	2	10		1	1	2	2		3	1		1			1						6332
70	7634	300	186		8	14					5										2								8149
72	10304	619	190	3	1	26	7	24		3	1			5	4				1						2				11190
74	13557	414	237		9	18				6	1	1						3											14246
76	18005	800	246	2	14	14	11	45	4		5				3					1			1						19151
78	23197	557	312		2	35				3								3											24109
80	30280	1146	371	5	15	28	16	39	1	12	2						2	2			2	2						1	31924
82	38548	742	380		15	28					5																		39718
84	49590	1436	434	9	1	29	4	59	3	6	1			6	9		1	1					1	2					51592
86	62212	976	505		15	36				9	5							3											63761
88	79033	1945	596	10	24	43	16	52	1		8			5	4					1									81738
90	97936	1266	655		3	50				4						1		1			2								99918
92	123141	2412	646	12	20	38	13	80	5	19	2	2		4	4		5	3		1			1			1			126409
94	150939	1603	879		26	42					4																		153493
96	187505	3200	972	20	4	28	16	70		9	2			3	3		1	1						2	3				191839
98	227934	2029	952		27	58				13	1	1						2											231017
100	280730	3801	1093	14	40	66	28	114	9		5			2	5	2				2		2	1						285914
102	337808	2542	1228		3	67				6	4																		341658
104	412339	4954	1413	29	37	82	23	89	1	24	2			7	7		4	1		1									419013
106	492768	3126	1541		38	48					8																		497529
108	596532	5872	1501	26	5	65	29	145	9	10	1	1		3	10		2	3	1					2					604217
110	707441	3846	1874		42	90				14	5					1		4			2								713319
112	850295	7403	2147	41	59	54	28	116	1		8			6	2								1						860161
114	1001569	4684	2079		7	88				9	5							3											1008444
116	1195728	8713	2238	44	49	76	22	169	7	34	2	4	1	10	12		5	2		2						1			1207119
118	1400184	5610	2609		54	84					12																		1408553
120	1660007	10787	2921	52	10	139	51	157	3	11	5			8	8	2			2		1	4	1		2				1674171
122	1932981	6765	3008		59	90				21	1	1						3											1942929
124	2279671	12436	3119	59	80	63	30	221	11		10			6	12					2			1						2295721
126	2638922	8067	3729		10	125				11		1						1											2650866
128	3094318	15346	4065	83	78	69	42	178	1	38	2	1	1	3	3		4	4											3114236
130	3566798	9491	4131		79	124					11					1					2								3580637
132	4159762	17505	4164	74	13	148	54	279	15	20	4			7	13		5	4	1	1				2					4182071
134	4771426	11219	4818		77	134				25	10	1						5											4787715
136	5539717	21034	5515	106	108	154	49	226	4		16			11	7					1			1						5566949
138	6325855	13174	5482		16	157				12	2																		6344698
140	7310743	24046	5545	98	100	163	74	336	22	46	7	2	2			2	6	6		3		2					1		7341204
142	8316868	15241	6668		106	142					8																		8339033
144	9567654	28779	7318	144	20	122	54	269	1	18	2			12	8		1	2	2					1	4				9604411
146	10842497	17769	7050		108	168				31	2	2						4											10867631
148	12428537	32165	7470	137	146	138	53	387	15		8			12	21					3									12469092
150	14029812	20597	8493		24	216				16	7					2		3			4								14059174

Обсуждение

Уязвимое место компьютерного генерирования — невозможность внутренней проверки результатов. Поэтому важны любые тесты, опирающиеся на доказанные теоремы. Авторам известны два таких теста.

В работах [5, 8] независимо (и до открытия фуллеренов) получена формула для числа вершин выпуклого полиэдра с икосаэдрической т. г. с.: как решение специальной математической задачи [8] и в связи с систематикой капсидов икосаэдрических вирусов [5]. Число вершин равно 20 Т, где Т = h² + ht + t², h ≥ t = 0, 1, 2…²Таблица чисел Т приведена ранее [1, табл. 1]. При t = 0 и t = h получим Т = h² и Т = 3h², h = 1, 2, 3… — две серии фуллеренов с т. г. с. (верхняя строка и диагональ [1, табл. 1]). При этом вторая получается из первой переходом к дуальным формам и обрезанием всех вершин. Первые представители серий С₂₀, С₈₀ и С₆₀ получены при генерировании ранее. Следующие за ними С₁₈₀ и С₂₄₀ выходят за изученный диапазон. Серия фуллеренов с т. г. с. 235 получается при h > k > 1. Первые представители: С₁₄₀, С₂₆₀. Фуллерен С₁₄₀ получен при генерировании в этом исследовании, С₂₆₀ выходит за изученный диапазон.

Дуальный переход с обрезанием вершин, утраивающий их число и сохраняющий т. г. с., можно применить к любому фуллерену. Отсюда следует идея: начав с диапазона С20–С50 [2], перейти к С60–С150. В классах Cn второго диапазона (n должно делиться на 2 и 3, т. е. на 6) т. г. с. первого должны повториться с неменьшим числом фуллеренов (новые т. г. с. и формы возможны). И этот критерий в табл. 1 выполнен.

Ясно, почему 10 из 32 кристаллографических т. г. с. несовместимы со структурами фуллеренов. Заметим, что оси симметрии могут пронзать любой полиэдр (в нашем случае — фуллерен) лишь в центрах граней (у нас 5- или 6-угольных), серединах ребер или вершинах (у нас 3-валентных). Это исключает для фуллеренов простые оси 4–го порядка (именно простые, тогда как инверсионные 4-го порядка разрешены) и, следовательно, тетрагональные 4 , 422 , 4/m , 4mm , 4/mmm и кубические 432 , . т. г. с.

Невозможность гексагональных т. г. с. 6 , 6/m , 6mm выясняется иначе. Приведем схему доказательства. Ясно, что в фуллеренах простые оси 6-го порядка могут проходить лишь через центры двух 6-угольных граней. Начнем строить плоскую проекцию Шлегеля, последовательно обкладывая одну из них «поясами» из шести (генерируемых осью 6-го порядка) 5- или 6-угольников. Вопрос в том, когда будут присоединены два пояса 5-угольников (на любом фуллерене их 12, т. е. два пояса). Первый можно присоединить после четного (тип 1) и нечетного (тип 2) числа n поясов 6-угольников. Те же возможности для второго пояса дают четыре подтипа: 1₁, 1₂, 2₁ и 2₂. Построением проверяется, что в подтипах 1₁ (n = 0 на первом шаге, 0, 2, 4… на втором) и 2₁ (n = 1 на первом шаге, 0, 2, 4… на втором) получаются фуллерены с т. г. с. и (n = 2 на первом шаге, 0, 2, 4… на втором) 622, в подтипе 1₂ — с т. г. с. 6/mmm (n = 0 на первом шаге, n = 1, 3, 5… на втором).

Другие т. г. с. невозможны. Тип 22 не приводит к замыканию проекции Шлегеля.

Заключение

Полный перечень фуллеренов диапазона С20–С150, охарактеризованных т. г. с. и доступных в проекциях Шлегеля на одну из граней, имеет прикладное значение в молекулярном и инженерном дизайне (не случайно они носят имя архитектора Р. Б. Фуллера), при классификации капсидов икосаэдрических вирусов, скелетов радиолярий и других минеральных и органических микроструктур. Он важен при анализе активно изучаемых трансформаций фуллеренов (G – C — Голдберга – Коксетера, S – W — Стоуна – Уоллеса [13], S – V — авторов этой статьи [4], с внедрением и изъятием С2 и др.) в попытке связать их в единое многообразие.

Авторы благодарят рецензентов за квалифицированные замечания, способствовавшие более строгому изложению результатов.

Список литературы Комбинаторное разнообразие фуллеренов С62-С150

Войтеховский Ю. Л. Из опыта преподавания. III. Кристаллография икосаэдрических вирусов // Вестник геонаук. 2020. № 4. C. 40–44. DOI: 10.19110/geov.2020.4.6.
Войтеховский Ю. Л., Степенщиков Д. Г. Фуллерены С20– С60: каталог комбинаторных типов и точечных групп симметрии. Апатиты: К & M, 2002. 55 с.
Войтеховский Ю. Л., Степенщиков Д. Г. Фуллерены С62–С100: каталог комбинаторных типов и точечных групп симметрии. Апатиты: К & M, 2003. 50 с.
Степенщиков Д. Г. О трансформации фуллеренов // Вестник КНЦ РАН. 2016. № 24. С. 32–37.
Caspar D. L. D., Klug A. Physical principles in the construction of regular viruses // Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol. 1962. V. 27. P. 1–24.
Deza M., Dutour-Sikirić M., Fowler P. W. The symmetries of cubic polyhedral graphs with face size no larger than 6 // Comm. Math. Comput. Chem. 2009. V. 61. P. 589–602.
Fowler P. W., Manolopoulos D. E. An atlas of fullerenes. Oxford: Clarendon Press, 1995. 392 p.
Goldberg M. A class of multi–symmetric polyhedra // Tohoku Math. J. 1937. V. 43. P. 104–108.
Klein D. J., Seitz W. A., Schmalz T. G. Icosahedral symmetry carbon cage molecules // Nature. 1986. V. 323. P. 703–706.
Kroto H. W. The stability of the fullerenes Cn with n = 24, 28, 32, 36, 50, 60 and 70 // Nature. 1987. V. 329. P. 529–531.
Kroto H. W., Heath J. R., O’Brien S. C., Curl R. F., Smalley R. E. C60: buckminsterfullerene // Nature. 1985. V. 318. P. 162–163.
Mani P. Automorphismen von polyedrischen Graphen // Math. Ann. 1971. V. 192. S. 279–303.
Stone A. J., Wales D. J. Theoretical studies of icosahedral C60 and some related species // Chem. Phys. Letters. 1986. V. 128. P. 501–503.
Yoshida M., Fowler P. W. Dihedral fullerenes of threefold symmetry with and without face spirals // J. Chem. Soc. 1997. V. 93. P. 3289–3294.

Еще

Краткое сообщение