Комбинаторное разнообразие фуллеренов С62-С150
Автор: Войтеховский Юрий Леонидович, Степенщиков Д.Г.
Журнал: Вестник геонаук @vestnik-geo
Рубрика: Научные статьи
Статья в выпуске: 9 (333), 2022 года.
Бесплатный доступ
Краткое сообщение посвящено комбинаторному разнообразию фуллеренов С62-С150, полученному и охарактеризованному точечными группами симметрии с помощью оригинальных компьютерных алгоритмов. Установлено, что 28 допустимых для фуллеренов точечных групп симметрии реализуются уже в диапазоне С20-С140. Предложены критерии внутренней проверки результатов.
Фуллерен, комбинаторное разнообразие, порядок группы автоморфизмов, точечная группа симметрии
Короткий адрес: https://sciup.org/149141392
IDR: 149141392 | DOI: 10.19110/geov.2022.9.5
Текст краткого сообщения Комбинаторное разнообразие фуллеренов С62-С150
После открытия фуллеренов как стабильных полиэдрических молекул [11] быстро выяснилось, что стабильность им обеспечивают главным образом критерии Г. Крото: отсутствие в структуре контактирующих пентагонов и высокая симметрия [9, 10]. Именно этим формам посвящена основная масса статей по проблеме. Исключение — атлас [7], в котором даны все фуллерены С20–С50 и формы с изолированными пентагонами С60–С100. Кроме того, структуры того же типа давно наблюдались в биологии (белковые капсиды икосаэдрических вирусов, скелеты радиолярий и мн. др.). И в этих областях интересны все комбинаторные типы фуллеренов. Это побудило авторов заняться их систематическим перечислением. В каталогах [2, 3] даны все фуллерены С20 — С60 (5770), С62 — С70 (1236) без троек контактирующих пентагонов и С72 — С100 (1265) с изолированными пентагонами. Все фуллерены изображены в проекциях Шлегеля на одну из граней. Особенность авторского подхода — в характеризации всех форм не только порядками групп автоморфизмов (п. г. а.) реберного графа, но и точечными группами симметрии (т. г. с.) соответствующего выпуклого полиэдра, гарантированного теоремой Мани [12].
Известно, что для фуллеренов возможны лишь 28 т. г. с. [6, 14]. В диапазоне С20 — С60 авторами данной статьи ранее зафиксированы 23 т. г. с. в порядке генерирования [2, 3]: 1 — С20; — С24; — С26; 222, — С28; mm2, — С30; 2, 32, — С32; m, 3m — С34; 1, , 6/mmm — С36; 3, mmm, — С40; , 23 — С44; 2/m — С48; — С56; 52 — С60. Встает вопрос о реализациях оставшихся 5 т. г. с., который был решен в данной статье.
Методика и результаты
Методика перечисления комбинаторных типов фуллеренов в целом сводится к построению, сравнению и элиминированию повторяющихся полиэдрических графов, у которых разрешены только 5- и 6-угольные грани, сходящиеся по 3 в каждой вершине [2]. В деталях алгоритмы являются know how авторов. Результаты даны в табл. 1 и дают ответ на поставленный выше вопрос: — С62; — С68; 622 — С72; — C92; 235 — C140. Таким образом, все 28 т. г. с. реализуются уже в диапазоне С20 — С140. Из них 6 некристаллографических: 52 , , , , 235 , . Из 32 кристаллографических т. г. с. в фуллеренах не реализуются 10: тетрагональные — 4 , 422 , 4/m , 4mm , 4/mmm , гексагональные — 6 , 6/m , 6mm и кубические 432 , .
Таблица 1. Числа фуллеренов С62–С150 в разрешенных т. г. с.
Table 1. The numbers of C62 to C150 fullerenes in allowed s. p. g.’s
п. г. а. |
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
20 |
20 |
24 |
24 |
24 |
24 |
60 |
120 |
Всего Sum |
||||||||||||
т. г. с. |
1 |
2 |
m |
1 |
3 |
mm 2 |
2/ m |
222 |
4 |
32 |
3 m |
6 |
3 |
mmm |
42 m |
52 |
3 m |
6 m 2 |
622 |
23 |
To m 2 |
5 m |
43 m |
6/ mmm |
122 m |
m 3 |
235 |
35 m |
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||||
62 |
2135 |
142 |
80 |
4 |
16 |
4 |
1 |
1 |
2 |
2385 |
|||||||||||||||||||
64 |
2990 |
316 |
118 |
2 |
8 |
4 |
4 |
17 |
4 |
1 |
1 |
3465 |
|||||||||||||||||
66 |
4134 |
211 |
112 |
18 |
2 |
1 |
4478 |
||||||||||||||||||||||
68 |
5714 |
411 |
122 |
5 |
21 |
7 |
28 |
2 |
10 |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
1 |
1 |
1 |
6332 |
|||||||||||
70 |
7634 |
300 |
186 |
8 |
14 |
5 |
2 |
8149 |
|||||||||||||||||||||
72 |
10304 |
619 |
190 |
3 |
1 |
26 |
7 |
24 |
3 |
1 |
5 |
4 |
1 |
2 |
11190 |
||||||||||||||
74 |
13557 |
414 |
237 |
9 |
18 |
6 |
1 |
1 |
3 |
14246 |
|||||||||||||||||||
76 |
18005 |
800 |
246 |
2 |
14 |
14 |
11 |
45 |
4 |
5 |
3 |
1 |
1 |
19151 |
|||||||||||||||
78 |
23197 |
557 |
312 |
2 |
35 |
3 |
3 |
24109 |
|||||||||||||||||||||
80 |
30280 |
1146 |
371 |
5 |
15 |
28 |
16 |
39 |
1 |
12 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
1 |
31924 |
||||||||||||
82 |
38548 |
742 |
380 |
15 |
28 |
5 |
39718 |
||||||||||||||||||||||
84 |
49590 |
1436 |
434 |
9 |
1 |
29 |
4 |
59 |
3 |
6 |
1 |
6 |
9 |
1 |
1 |
1 |
2 |
51592 |
|||||||||||
86 |
62212 |
976 |
505 |
15 |
36 |
9 |
5 |
3 |
63761 |
||||||||||||||||||||
88 |
79033 |
1945 |
596 |
10 |
24 |
43 |
16 |
52 |
1 |
8 |
5 |
4 |
1 |
81738 |
|||||||||||||||
90 |
97936 |
1266 |
655 |
3 |
50 |
4 |
1 |
1 |
2 |
99918 |
|||||||||||||||||||
92 |
123141 |
2412 |
646 |
12 |
20 |
38 |
13 |
80 |
5 |
19 |
2 |
2 |
4 |
4 |
5 |
3 |
1 |
1 |
1 |
126409 |
|||||||||
94 |
150939 |
1603 |
879 |
26 |
42 |
4 |
153493 |
||||||||||||||||||||||
96 |
187505 |
3200 |
972 |
20 |
4 |
28 |
16 |
70 |
9 |
2 |
3 |
3 |
1 |
1 |
2 |
3 |
191839 |
||||||||||||
98 |
227934 |
2029 |
952 |
27 |
58 |
13 |
1 |
1 |
2 |
231017 |
|||||||||||||||||||
100 |
280730 |
3801 |
1093 |
14 |
40 |
66 |
28 |
114 |
9 |
5 |
2 |
5 |
2 |
2 |
2 |
1 |
285914 |
||||||||||||
102 |
337808 |
2542 |
1228 |
3 |
67 |
6 |
4 |
341658 |
|||||||||||||||||||||
104 |
412339 |
4954 |
1413 |
29 |
37 |
82 |
23 |
89 |
1 |
24 |
2 |
7 |
7 |
4 |
1 |
1 |
419013 |
||||||||||||
106 |
492768 |
3126 |
1541 |
38 |
48 |
8 |
497529 |
||||||||||||||||||||||
108 |
596532 |
5872 |
1501 |
26 |
5 |
65 |
29 |
145 |
9 |
10 |
1 |
1 |
3 |
10 |
2 |
3 |
1 |
2 |
604217 |
||||||||||
110 |
707441 |
3846 |
1874 |
42 |
90 |
14 |
5 |
1 |
4 |
2 |
713319 |
||||||||||||||||||
112 |
850295 |
7403 |
2147 |
41 |
59 |
54 |
28 |
116 |
1 |
8 |
6 |
2 |
1 |
860161 |
|||||||||||||||
114 |
1001569 |
4684 |
2079 |
7 |
88 |
9 |
5 |
3 |
1008444 |
||||||||||||||||||||
116 |
1195728 |
8713 |
2238 |
44 |
49 |
76 |
22 |
169 |
7 |
34 |
2 |
4 |
1 |
10 |
12 |
5 |
2 |
2 |
1 |
1207119 |
|||||||||
118 |
1400184 |
5610 |
2609 |
54 |
84 |
12 |
1408553 |
||||||||||||||||||||||
120 |
1660007 |
10787 |
2921 |
52 |
10 |
139 |
51 |
157 |
3 |
11 |
5 |
8 |
8 |
2 |
2 |
1 |
4 |
1 |
2 |
1674171 |
|||||||||
122 |
1932981 |
6765 |
3008 |
59 |
90 |
21 |
1 |
1 |
3 |
1942929 |
|||||||||||||||||||
124 |
2279671 |
12436 |
3119 |
59 |
80 |
63 |
30 |
221 |
11 |
10 |
6 |
12 |
2 |
1 |
2295721 |
||||||||||||||
126 |
2638922 |
8067 |
3729 |
10 |
125 |
11 |
1 |
1 |
2650866 |
||||||||||||||||||||
128 |
3094318 |
15346 |
4065 |
83 |
78 |
69 |
42 |
178 |
1 |
38 |
2 |
1 |
1 |
3 |
3 |
4 |
4 |
3114236 |
|||||||||||
130 |
3566798 |
9491 |
4131 |
79 |
124 |
11 |
1 |
2 |
3580637 |
||||||||||||||||||||
132 |
4159762 |
17505 |
4164 |
74 |
13 |
148 |
54 |
279 |
15 |
20 |
4 |
7 |
13 |
5 |
4 |
1 |
1 |
2 |
4182071 |
||||||||||
134 |
4771426 |
11219 |
4818 |
77 |
134 |
25 |
10 |
1 |
5 |
4787715 |
|||||||||||||||||||
136 |
5539717 |
21034 |
5515 |
106 |
108 |
154 |
49 |
226 |
4 |
16 |
11 |
7 |
1 |
1 |
5566949 |
||||||||||||||
138 |
6325855 |
13174 |
5482 |
16 |
157 |
12 |
2 |
6344698 |
|||||||||||||||||||||
140 |
7310743 |
24046 |
5545 |
98 |
100 |
163 |
74 |
336 |
22 |
46 |
7 |
2 |
2 |
2 |
6 |
6 |
3 |
2 |
1 |
7341204 |
|||||||||
142 |
8316868 |
15241 |
6668 |
106 |
142 |
8 |
8339033 |
||||||||||||||||||||||
144 |
9567654 |
28779 |
7318 |
144 |
20 |
122 |
54 |
269 |
1 |
18 |
2 |
12 |
8 |
1 |
2 |
2 |
1 |
4 |
9604411 |
||||||||||
146 |
10842497 |
17769 |
7050 |
108 |
168 |
31 |
2 |
2 |
4 |
10867631 |
|||||||||||||||||||
148 |
12428537 |
32165 |
7470 |
137 |
146 |
138 |
53 |
387 |
15 |
8 |
12 |
21 |
3 |
12469092 |
|||||||||||||||
150 |
14029812 |
20597 |
8493 |
24 |
216 |
16 |
7 |
2 |
3 |
4 |
14059174 |
Обсуждение
Уязвимое место компьютерного генерирования — невозможность внутренней проверки результатов. Поэтому важны любые тесты, опирающиеся на доказанные теоремы. Авторам известны два таких теста.
В работах [5, 8] независимо (и до открытия фуллеренов) получена формула для числа вершин выпуклого полиэдра с икосаэдрической т. г. с.: как решение специальной математической задачи [8] и в связи с систематикой капсидов икосаэдрических вирусов [5]. Число вершин равно 20 Т, где Т = h2 + ht + t2, h ≥ t = 0, 1, 2…2 Таблица чисел Т приведена ранее [1, табл. 1]. При t = 0 и t = h получим Т = h2 и Т = 3h2, h = 1, 2, 3… — две серии фуллеренов с т. г. с. (верхняя строка и диагональ [1, табл. 1]). При этом вторая получается из первой переходом к дуальным формам и обрезанием всех вершин. Первые представители серий С20, С80 и С60 получены при генерировании ранее. Следующие за ними С180 и С240 выходят за изученный диапазон. Серия фуллеренов с т. г. с. 235 получается при h > k > 1. Первые представители: С140, С260. Фуллерен С140 получен при генерировании в этом исследовании, С260 выходит за изученный диапазон.
Дуальный переход с обрезанием вершин, утраивающий их число и сохраняющий т. г. с., можно применить к любому фуллерену. Отсюда следует идея: начав с диапазона С20–С50 [2], перейти к С60–С150. В классах Cn второго диапазона (n должно делиться на 2 и 3, т. е. на 6) т. г. с. первого должны повториться с неменьшим числом фуллеренов (новые т. г. с. и формы возможны). И этот критерий в табл. 1 выполнен.
Ясно, почему 10 из 32 кристаллографических т. г. с. несовместимы со структурами фуллеренов. Заметим, что оси симметрии могут пронзать любой полиэдр (в нашем случае — фуллерен) лишь в центрах граней (у нас 5- или 6-угольных), серединах ребер или вершинах (у нас 3-валентных). Это исключает для фуллеренов простые оси 4–го порядка (именно простые, тогда как инверсионные 4-го порядка разрешены) и, следовательно, тетрагональные 4 , 422 , 4/m , 4mm , 4/mmm и кубические 432 , . т. г. с.
Невозможность гексагональных т. г. с. 6 , 6/m , 6mm выясняется иначе. Приведем схему доказательства. Ясно, что в фуллеренах простые оси 6-го порядка могут проходить лишь через центры двух 6-угольных граней. Начнем строить плоскую проекцию Шлегеля, последовательно обкладывая одну из них «поясами» из шести (генерируемых осью 6-го порядка) 5- или 6-угольников. Вопрос в том, когда будут присоединены два пояса 5-угольников (на любом фуллерене их 12, т. е. два пояса). Первый можно присоединить после четного (тип 1) и нечетного (тип 2) числа n поясов 6-угольников. Те же возможности для второго пояса дают четыре подтипа: 11, 12, 21 и 22. Построением проверяется, что в подтипах 11 (n = 0 на первом шаге, 0, 2, 4… на втором) и 21 (n = 1 на первом шаге, 0, 2, 4… на втором) получаются фуллерены с т. г. с. и (n = 2 на первом шаге, 0, 2, 4… на втором) 622, в подтипе 12 — с т. г. с. 6/mmm (n = 0 на первом шаге, n = 1, 3, 5… на втором).
Другие т. г. с. невозможны. Тип 22 не приводит к замыканию проекции Шлегеля.
Заключение
Полный перечень фуллеренов диапазона С20–С150, охарактеризованных т. г. с. и доступных в проекциях Шлегеля на одну из граней, имеет прикладное значение в молекулярном и инженерном дизайне (не случайно они носят имя архитектора Р. Б. Фуллера), при классификации капсидов икосаэдрических вирусов, скелетов радиолярий и других минеральных и органических микроструктур. Он важен при анализе активно изучаемых трансформаций фуллеренов (G – C — Голдберга – Коксетера, S – W — Стоуна – Уоллеса [13], S – V — авторов этой статьи [4], с внедрением и изъятием С2 и др.) в попытке связать их в единое многообразие.
Авторы благодарят рецензентов за квалифицированные замечания, способствовавшие более строгому изложению результатов.
Список литературы Комбинаторное разнообразие фуллеренов С62-С150
- Войтеховский Ю. Л. Из опыта преподавания. III. Кристаллография икосаэдрических вирусов // Вестник геонаук. 2020. № 4. C. 40–44. DOI: 10.19110/geov.2020.4.6.
- Войтеховский Ю. Л., Степенщиков Д. Г. Фуллерены С20– С60: каталог комбинаторных типов и точечных групп симметрии. Апатиты: К & M, 2002. 55 с.
- Войтеховский Ю. Л., Степенщиков Д. Г. Фуллерены С62–С100: каталог комбинаторных типов и точечных групп симметрии. Апатиты: К & M, 2003. 50 с.
- Степенщиков Д. Г. О трансформации фуллеренов // Вестник КНЦ РАН. 2016. № 24. С. 32–37.
- Caspar D. L. D., Klug A. Physical principles in the construction of regular viruses // Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol. 1962. V. 27. P. 1–24.
- Deza M., Dutour-Sikirić M., Fowler P. W. The symmetries of cubic polyhedral graphs with face size no larger than 6 // Comm. Math. Comput. Chem. 2009. V. 61. P. 589–602.
- Fowler P. W., Manolopoulos D. E. An atlas of fullerenes. Oxford: Clarendon Press, 1995. 392 p.
- Goldberg M. A class of multi–symmetric polyhedra // Tohoku Math. J. 1937. V. 43. P. 104–108.
- Klein D. J., Seitz W. A., Schmalz T. G. Icosahedral symmetry carbon cage molecules // Nature. 1986. V. 323. P. 703–706.
- Kroto H. W. The stability of the fullerenes Cn with n = 24, 28, 32, 36, 50, 60 and 70 // Nature. 1987. V. 329. P. 529–531.
- Kroto H. W., Heath J. R., O’Brien S. C., Curl R. F., Smalley R. E. C60: buckminsterfullerene // Nature. 1985. V. 318. P. 162–163.
- Mani P. Automorphismen von polyedrischen Graphen // Math. Ann. 1971. V. 192. S. 279–303.
- Stone A. J., Wales D. J. Theoretical studies of icosahedral C60 and some related species // Chem. Phys. Letters. 1986. V. 128. P. 501–503.
- Yoshida M., Fowler P. W. Dihedral fullerenes of threefold symmetry with and without face spirals // J. Chem. Soc. 1997. V. 93. P. 3289–3294.