Комбинаторное разнообразие фуллеренов С62-С150

Автор: Войтеховский Юрий Леонидович, Степенщиков Д.Г.

Журнал: Вестник геонаук @vestnik-geo

Рубрика: Научные статьи

Статья в выпуске: 9 (333), 2022 года.

Бесплатный доступ

Краткое сообщение посвящено комбинаторному разнообразию фуллеренов С62-С150, полученному и охарактеризованному точечными группами симметрии с помощью оригинальных компьютерных алгоритмов. Установлено, что 28 допустимых для фуллеренов точечных групп симметрии реализуются уже в диапазоне С20-С140. Предложены критерии внутренней проверки результатов.

Фуллерен, комбинаторное разнообразие, порядок группы автоморфизмов, точечная группа симметрии

Короткий адрес: https://sciup.org/149141392

IDR: 149141392   |   DOI: 10.19110/geov.2022.9.5

Текст краткого сообщения Комбинаторное разнообразие фуллеренов С62-С150

После открытия фуллеренов как стабильных полиэдрических молекул [11] быстро выяснилось, что стабильность им обеспечивают главным образом критерии Г. Крото: отсутствие в структуре контактирующих пентагонов и высокая симметрия [9, 10]. Именно этим формам посвящена основная масса статей по проблеме. Исключение — атлас [7], в котором даны все фуллерены С20–С50 и формы с изолированными пентагонами С60–С100. Кроме того, структуры того же типа давно наблюдались в биологии (белковые капсиды икосаэдрических вирусов, скелеты радиолярий и мн. др.). И в этих областях интересны все комбинаторные типы фуллеренов. Это побудило авторов заняться их систематическим перечислением. В каталогах [2, 3] даны все фуллерены С20 — С60 (5770), С62 — С70 (1236) без троек контактирующих пентагонов и С72 — С100 (1265) с изолированными пентагонами. Все фуллерены изображены в проекциях Шлегеля на одну из граней. Особенность авторского подхода — в характеризации всех форм не только порядками групп автоморфизмов (п. г. а.) реберного графа, но и точечными группами симметрии (т. г. с.) соответствующего выпуклого полиэдра, гарантированного теоремой Мани [12].

Известно, что для фуллеренов возможны лишь 28 т. г. с. [6, 14]. В диапазоне С20 — С60 авторами данной статьи ранее зафиксированы 23 т. г. с. в порядке генерирования [2, 3]: 1 — С20; — С24; — С26; 222, — С28; mm2, — С30; 2, 32, — С32; m, 3m — С34; 1, , 6/mmm — С36; 3, mmm, — С40; , 23 — С44; 2/m — С48; — С56; 52 — С60. Встает вопрос о реализациях оставшихся 5 т. г. с., который был решен в данной статье.

Методика и результаты

Методика перечисления комбинаторных типов фуллеренов в целом сводится к построению, сравнению и элиминированию повторяющихся полиэдрических графов, у которых разрешены только 5- и 6-угольные грани, сходящиеся по 3 в каждой вершине [2]. В деталях алгоритмы являются know how авторов. Результаты даны в табл. 1 и дают ответ на поставленный выше вопрос: — С62; — С68; 622 — С72; — C92; 235 — C140. Таким образом, все 28 т. г. с. реализуются уже в диапазоне С20 — С140. Из них 6 некристаллографических: 52 , , , , 235 , . Из 32 кристаллографических т. г. с. в фуллеренах не реализуются 10: тетрагональные — 4 , 422 , 4/m , 4mm , 4/mmm , гексагональные — 6 , 6/m , 6mm и кубические 432 , .

Таблица 1. Числа фуллеренов С62–С150 в разрешенных т. г. с.

Table 1. The numbers of C62 to C150 fullerenes in allowed s. p. g.’s

п. г. а.

1

2

3

4

6

8

10

12

20

20

24

24

24

24

60

120

Всего Sum

т. г. с.

1

2

m

1

3

mm 2

2/ m

222

4

32

3 m

6

3

mmm

42 m

52

3 m

6 m 2

622

23

To m 2

5 m

43 m

6/ mmm

122 m

m 3

235

35 m

n

62

2135

142

80

4

16

4

1

1

2

2385

64

2990

316

118

2

8

4

4

17

4

1

1

3465

66

4134

211

112

18

2

1

4478

68

5714

411

122

5

21

7

28

2

10

1

1

2

2

3

1

1

1

6332

70

7634

300

186

8

14

5

2

8149

72

10304

619

190

3

1

26

7

24

3

1

5

4

1

2

11190

74

13557

414

237

9

18

6

1

1

3

14246

76

18005

800

246

2

14

14

11

45

4

5

3

1

1

19151

78

23197

557

312

2

35

3

3

24109

80

30280

1146

371

5

15

28

16

39

1

12

2

2

2

2

2

1

31924

82

38548

742

380

15

28

5

39718

84

49590

1436

434

9

1

29

4

59

3

6

1

6

9

1

1

1

2

51592

86

62212

976

505

15

36

9

5

3

63761

88

79033

1945

596

10

24

43

16

52

1

8

5

4

1

81738

90

97936

1266

655

3

50

4

1

1

2

99918

92

123141

2412

646

12

20

38

13

80

5

19

2

2

4

4

5

3

1

1

1

126409

94

150939

1603

879

26

42

4

153493

96

187505

3200

972

20

4

28

16

70

9

2

3

3

1

1

2

3

191839

98

227934

2029

952

27

58

13

1

1

2

231017

100

280730

3801

1093

14

40

66

28

114

9

5

2

5

2

2

2

1

285914

102

337808

2542

1228

3

67

6

4

341658

104

412339

4954

1413

29

37

82

23

89

1

24

2

7

7

4

1

1

419013

106

492768

3126

1541

38

48

8

497529

108

596532

5872

1501

26

5

65

29

145

9

10

1

1

3

10

2

3

1

2

604217

110

707441

3846

1874

42

90

14

5

1

4

2

713319

112

850295

7403

2147

41

59

54

28

116

1

8

6

2

1

860161

114

1001569

4684

2079

7

88

9

5

3

1008444

116

1195728

8713

2238

44

49

76

22

169

7

34

2

4

1

10

12

5

2

2

1

1207119

118

1400184

5610

2609

54

84

12

1408553

120

1660007

10787

2921

52

10

139

51

157

3

11

5

8

8

2

2

1

4

1

2

1674171

122

1932981

6765

3008

59

90

21

1

1

3

1942929

124

2279671

12436

3119

59

80

63

30

221

11

10

6

12

2

1

2295721

126

2638922

8067

3729

10

125

11

1

1

2650866

128

3094318

15346

4065

83

78

69

42

178

1

38

2

1

1

3

3

4

4

3114236

130

3566798

9491

4131

79

124

11

1

2

3580637

132

4159762

17505

4164

74

13

148

54

279

15

20

4

7

13

5

4

1

1

2

4182071

134

4771426

11219

4818

77

134

25

10

1

5

4787715

136

5539717

21034

5515

106

108

154

49

226

4

16

11

7

1

1

5566949

138

6325855

13174

5482

16

157

12

2

6344698

140

7310743

24046

5545

98

100

163

74

336

22

46

7

2

2

2

6

6

3

2

1

7341204

142

8316868

15241

6668

106

142

8

8339033

144

9567654

28779

7318

144

20

122

54

269

1

18

2

12

8

1

2

2

1

4

9604411

146

10842497

17769

7050

108

168

31

2

2

4

10867631

148

12428537

32165

7470

137

146

138

53

387

15

8

12

21

3

12469092

150

14029812

20597

8493

24

216

16

7

2

3

4

14059174

Обсуждение

Уязвимое место компьютерного генерирования — невозможность внутренней проверки результатов. Поэтому важны любые тесты, опирающиеся на доказанные теоремы. Авторам известны два таких теста.

В работах [5, 8] независимо (и до открытия фуллеренов) получена формула для числа вершин выпуклого полиэдра с икосаэдрической т. г. с.: как решение специальной математической задачи [8] и в связи с систематикой капсидов икосаэдрических вирусов [5]. Число вершин равно 20 Т, где Т = h2 + ht + t2, h ≥ t = 0, 1, 2…2 Таблица чисел Т приведена ранее [1, табл. 1]. При t = 0 и t = h получим Т = h2 и Т = 3h2, h = 1, 2, 3… — две серии фуллеренов с т. г. с. (верхняя строка и диагональ [1, табл. 1]). При этом вторая получается из первой переходом к дуальным формам и обрезанием всех вершин. Первые представители серий С20, С80 и С60 получены при генерировании ранее. Следующие за ними С180 и С240 выходят за изученный диапазон. Серия фуллеренов с т. г. с. 235 получается при h > k > 1. Первые представители: С140, С260. Фуллерен С140 получен при генерировании в этом исследовании, С260 выходит за изученный диапазон.

Дуальный переход с обрезанием вершин, утраивающий их число и сохраняющий т. г. с., можно применить к любому фуллерену. Отсюда следует идея: начав с диапазона С20–С50 [2], перейти к С60–С150. В классах Cn второго диапазона (n должно делиться на 2 и 3, т. е. на 6) т. г. с. первого должны повториться с неменьшим числом фуллеренов (новые т. г. с. и формы возможны). И этот критерий в табл. 1 выполнен.

Ясно, почему 10 из 32 кристаллографических т. г. с. несовместимы со структурами фуллеренов. Заметим, что оси симметрии могут пронзать любой полиэдр (в нашем случае — фуллерен) лишь в центрах граней (у нас 5- или 6-угольных), серединах ребер или вершинах (у нас 3-валентных). Это исключает для фуллеренов простые оси 4–го порядка (именно простые, тогда как инверсионные 4-го порядка разрешены) и, следовательно, тетрагональные 4 , 422 , 4/m , 4mm , 4/mmm и кубические 432 , . т. г. с.

Невозможность гексагональных т. г. с. 6 , 6/m , 6mm выясняется иначе. Приведем схему доказательства. Ясно, что в фуллеренах простые оси 6-го порядка могут проходить лишь через центры двух 6-угольных граней. Начнем строить плоскую проекцию Шлегеля, последовательно обкладывая одну из них «поясами» из шести (генерируемых осью 6-го порядка) 5- или 6-угольников. Вопрос в том, когда будут присоединены два пояса 5-угольников (на любом фуллерене их 12, т. е. два пояса). Первый можно присоединить после четного (тип 1) и нечетного (тип 2) числа n поясов 6-угольников. Те же возможности для второго пояса дают четыре подтипа: 11, 12, 21 и 22. Построением проверяется, что в подтипах 11 (n = 0 на первом шаге, 0, 2, 4… на втором) и 21 (n = 1 на первом шаге, 0, 2, 4… на втором) получаются фуллерены с т. г. с. и (n = 2 на первом шаге, 0, 2, 4… на втором) 622, в подтипе 12 — с т. г. с. 6/mmm (n = 0 на первом шаге, n = 1, 3, 5… на втором).

Другие т. г. с. невозможны. Тип 22 не приводит к замыканию проекции Шлегеля.

Заключение

Полный перечень фуллеренов диапазона С20–С150, охарактеризованных т. г. с. и доступных в проекциях Шлегеля на одну из граней, имеет прикладное значение в молекулярном и инженерном дизайне (не случайно они носят имя архитектора Р. Б. Фуллера), при классификации капсидов икосаэдрических вирусов, скелетов радиолярий и других минеральных и органических микроструктур. Он важен при анализе активно изучаемых трансформаций фуллеренов (G – C — Голдберга – Коксетера, S – W — Стоуна – Уоллеса [13], S – V — авторов этой статьи [4], с внедрением и изъятием С2 и др.) в попытке связать их в единое многообразие.

Авторы благодарят рецензентов за квалифицированные замечания, способствовавшие более строгому изложению результатов.

Список литературы Комбинаторное разнообразие фуллеренов С62-С150

  • Войтеховский Ю. Л. Из опыта преподавания. III. Кристаллография икосаэдрических вирусов // Вестник геонаук. 2020. № 4. C. 40–44. DOI: 10.19110/geov.2020.4.6.
  • Войтеховский Ю. Л., Степенщиков Д. Г. Фуллерены С20– С60: каталог комбинаторных типов и точечных групп симметрии. Апатиты: К & M, 2002. 55 с.
  • Войтеховский Ю. Л., Степенщиков Д. Г. Фуллерены С62–С100: каталог комбинаторных типов и точечных групп симметрии. Апатиты: К & M, 2003. 50 с.
  • Степенщиков Д. Г. О трансформации фуллеренов // Вестник КНЦ РАН. 2016. № 24. С. 32–37.
  • Caspar D. L. D., Klug A. Physical principles in the construction of regular viruses // Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol. 1962. V. 27. P. 1–24.
  • Deza M., Dutour-Sikirić M., Fowler P. W. The symmetries of cubic polyhedral graphs with face size no larger than 6 // Comm. Math. Comput. Chem. 2009. V. 61. P. 589–602.
  • Fowler P. W., Manolopoulos D. E. An atlas of fullerenes. Oxford: Clarendon Press, 1995. 392 p.
  • Goldberg M. A class of multi–symmetric polyhedra // Tohoku Math. J. 1937. V. 43. P. 104–108.
  • Klein D. J., Seitz W. A., Schmalz T. G. Icosahedral symmetry carbon cage molecules // Nature. 1986. V. 323. P. 703–706.
  • Kroto H. W. The stability of the fullerenes Cn with n = 24, 28, 32, 36, 50, 60 and 70 // Nature. 1987. V. 329. P. 529–531.
  • Kroto H. W., Heath J. R., O’Brien S. C., Curl R. F., Smalley R. E. C60: buckminsterfullerene // Nature. 1985. V. 318. P. 162–163.
  • Mani P. Automorphismen von polyedrischen Graphen // Math. Ann. 1971. V. 192. S. 279–303.
  • Stone A. J., Wales D. J. Theoretical studies of icosahedral C60 and some related species // Chem. Phys. Letters. 1986. V. 128. P. 501–503.
  • Yoshida M., Fowler P. W. Dihedral fullerenes of threefold symmetry with and without face spirals // J. Chem. Soc. 1997. V. 93. P. 3289–3294.
Еще
Краткое сообщение