Комбинаторное разнообразие фуллеренов С62-С150

Войтеховский Юрий Леонидович; Степенщиков Д.Г.; Voytehovskiy Yuri; Stepenschikov D.

doi:10.19110/geov.2022.9.5

Научные статьи \ Математика. Естественные науки \ Химия. Кристаллография. Минералогия \ Минералогические науки. Кристаллография. Минералогия \ Кристаллография

Комбинаторное разнообразие фуллеренов С62-С150

Автор: Войтеховский Юрий Леонидович, Степенщиков Д.Г.

Журнал: Вестник геонаук @vestnik-geo

Рубрика: Научные статьи

Статья в выпуске: 9 (333), 2022 года.

Бесплатный доступ

Краткое сообщение посвящено комбинаторному разнообразию фуллеренов С62-С150, полученному и охарактеризованному точечными группами симметрии с помощью оригинальных компьютерных алгоритмов. Установлено, что 28 допустимых для фуллеренов точечных групп симметрии реализуются уже в диапазоне С20-С140. Предложены критерии внутренней проверки результатов.

Фуллерен, комбинаторное разнообразие, порядок группы автоморфизмов, точечная группа симметрии

Короткий адрес: https://sciup.org/149141392

IDR: 149141392 | УДК: 548 | DOI: 10.19110/geov.2022.9.5

Combinatorial diversity of C62 to C150 fullerenes

We shortly report on the combinatorial variety of C62 to C150 fullerenes, obtained and characterized by symmetry point groups using original computer algorithms. It is established that all 28 symmetry point groups allowed for fullerenes are already realized in the range C20 to C140. The criteria of internal verification of the results are proposed.

Текст краткого сообщения Комбинаторное разнообразие фуллеренов С62-С150

После открытия фуллеренов как стабильных полиэдрических молекул [11] быстро выяснилось, что стабильность им обеспечивают главным образом критерии Г. Крото: отсутствие в структуре контактирующих пентагонов и высокая симметрия [9, 10]. Именно этим формам посвящена основная масса статей по проблеме. Исключение — атлас [7], в котором даны все фуллерены С20–С50 и формы с изолированными пентагонами С60–С100. Кроме того, структуры того же типа давно наблюдались в биологии (белковые капсиды икосаэдрических вирусов, скелеты радиолярий и мн. др.). И в этих областях интересны все комбинаторные типы фуллеренов. Это побудило авторов заняться их систематическим перечислением. В каталогах [2, 3] даны все фуллерены С20 — С60 (5770), С62 — С70 (1236) без троек контактирующих пентагонов и С72 — С100 (1265) с изолированными пентагонами. Все фуллерены изображены в проекциях Шлегеля на одну из граней. Особенность авторского подхода — в характеризации всех форм не только порядками групп автоморфизмов (п. г. а.) реберного графа, но и точечными группами симметрии (т. г. с.) соответствующего выпуклого полиэдра, гарантированного теоремой Мани [12].

Известно, что для фуллеренов возможны лишь 28 т. г. с. [6, 14]. В диапазоне С20 — С60 авторами данной статьи ранее зафиксированы 23 т. г. с. в порядке генерирования [2, 3]: 1 — С20; — С24; — С26; 222, — С28; mm2, — С30; 2, 32, — С32; m, 3m — С34; 1, , 6/mmm — С36; 3, mmm, — С40; , 23 — С44; 2/m — С48; — С56; 52 — С60. Встает вопрос о реализациях оставшихся 5 т. г. с., который был решен в данной статье.

Методика и результаты

Методика перечисления комбинаторных типов фуллеренов в целом сводится к построению, сравнению и элиминированию повторяющихся полиэдрических графов, у которых разрешены только 5- и 6-угольные грани, сходящиеся по 3 в каждой вершине [2]. В деталях алгоритмы являются know how авторов. Результаты даны в табл. 1 и дают ответ на поставленный выше вопрос: — С₆₂; — С₆₈; 622 — С₇₂; — C₉₂; 235 — C₁₄₀. Таким образом, все 28 т. г. с. реализуются уже в диапазоне С₂₀ — С₁₄₀. Из них 6 некристаллографических: 52 , , , , 235 , . Из 32 кристаллографических т. г. с. в фуллеренах не реализуются 10: тетрагональные — 4 , 422 , 4/m , 4mm , 4/mmm , гексагональные — 6 , 6/m , 6mm и кубические 432 , .

Таблица 1. Числа фуллеренов С₆₂–С₁₅₀ в разрешенных т. г. с.

Table 1. The numbers of C₆₂ to C₁₅₀ fullerenes in allowed s. p. g.’s

п. г. а.	1	2			3	4				6				8		10	12				20	20	24	24	24	24	60	120	Всего Sum
т. г. с.	1	2	m	1	3	mm 2	2/ m	222	4	32	3 m	6	3	mmm	42 m	52	3 m	6 m 2	622	23	To m 2	5 m	43 m	6/ mmm	122 m	m 3	235	35 m
n	1	2	m	1	3	mm 2	2/ m	222	4	32	3 m	6	3	mmm	42 m	52	3 m	6 m 2	622	23	To m 2	5 m	43 m	6/ mmm	122 m	m 3	235	35 m
62	2135	142	80		4	16				4	1	1						2											2385
64	2990	316	118	2	8	4	4	17			4			1	1														3465
66	4134	211	112			18				2	1																		4478
68	5714	411	122		5	21	7	28	2	10		1	1	2	2		3	1		1			1						6332
70	7634	300	186		8	14					5										2								8149
72	10304	619	190	3	1	26	7	24		3	1			5	4				1						2				11190
74	13557	414	237		9	18				6	1	1						3											14246
76	18005	800	246	2	14	14	11	45	4		5				3					1			1						19151
78	23197	557	312		2	35				3								3											24109
80	30280	1146	371	5	15	28	16	39	1	12	2						2	2			2	2						1	31924
82	38548	742	380		15	28					5																		39718
84	49590	1436	434	9	1	29	4	59	3	6	1			6	9		1	1					1	2					51592
86	62212	976	505		15	36				9	5							3											63761
88	79033	1945	596	10	24	43	16	52	1		8			5	4					1									81738
90	97936	1266	655		3	50				4						1		1			2								99918
92	123141	2412	646	12	20	38	13	80	5	19	2	2		4	4		5	3		1			1			1			126409
94	150939	1603	879		26	42					4																		153493
96	187505	3200	972	20	4	28	16	70		9	2			3	3		1	1						2	3				191839
98	227934	2029	952		27	58				13	1	1						2											231017
100	280730	3801	1093	14	40	66	28	114	9		5			2	5	2				2		2	1						285914
102	337808	2542	1228		3	67				6	4																		341658
104	412339	4954	1413	29	37	82	23	89	1	24	2			7	7		4	1		1									419013
106	492768	3126	1541		38	48					8																		497529
108	596532	5872	1501	26	5	65	29	145	9	10	1	1		3	10		2	3	1					2					604217
110	707441	3846	1874		42	90				14	5					1		4			2								713319
112	850295	7403	2147	41	59	54	28	116	1		8			6	2								1						860161
114	1001569	4684	2079		7	88				9	5							3											1008444
116	1195728	8713	2238	44	49	76	22	169	7	34	2	4	1	10	12		5	2		2						1			1207119
118	1400184	5610	2609		54	84					12																		1408553
120	1660007	10787	2921	52	10	139	51	157	3	11	5			8	8	2			2		1	4	1		2				1674171
122	1932981	6765	3008		59	90				21	1	1						3											1942929
124	2279671	12436	3119	59	80	63	30	221	11		10			6	12					2			1						2295721
126	2638922	8067	3729		10	125				11		1						1											2650866
128	3094318	15346	4065	83	78	69	42	178	1	38	2	1	1	3	3		4	4											3114236
130	3566798	9491	4131		79	124					11					1					2								3580637
132	4159762	17505	4164	74	13	148	54	279	15	20	4			7	13		5	4	1	1				2					4182071
134	4771426	11219	4818		77	134				25	10	1						5											4787715
136	5539717	21034	5515	106	108	154	49	226	4		16			11	7					1			1						5566949
138	6325855	13174	5482		16	157				12	2																		6344698
140	7310743	24046	5545	98	100	163	74	336	22	46	7	2	2			2	6	6		3		2					1		7341204
142	8316868	15241	6668		106	142					8																		8339033
144	9567654	28779	7318	144	20	122	54	269	1	18	2			12	8		1	2	2					1	4				9604411
146	10842497	17769	7050		108	168				31	2	2						4											10867631
148	12428537	32165	7470	137	146	138	53	387	15		8			12	21					3									12469092
150	14029812	20597	8493		24	216				16	7					2		3			4								14059174

Обсуждение

Уязвимое место компьютерного генерирования — невозможность внутренней проверки результатов. Поэтому важны любые тесты, опирающиеся на доказанные теоремы. Авторам известны два таких теста.

В работах [5, 8] независимо (и до открытия фуллеренов) получена формула для числа вершин выпуклого полиэдра с икосаэдрической т. г. с.: как решение специальной математической задачи [8] и в связи с систематикой капсидов икосаэдрических вирусов [5]. Число вершин равно 20 Т, где Т = h² + ht + t², h ≥ t = 0, 1, 2…²Таблица чисел Т приведена ранее [1, табл. 1]. При t = 0 и t = h получим Т = h² и Т = 3h², h = 1, 2, 3… — две серии фуллеренов с т. г. с. (верхняя строка и диагональ [1, табл. 1]). При этом вторая получается из первой переходом к дуальным формам и обрезанием всех вершин. Первые представители серий С₂₀, С₈₀ и С₆₀ получены при генерировании ранее. Следующие за ними С₁₈₀ и С₂₄₀ выходят за изученный диапазон. Серия фуллеренов с т. г. с. 235 получается при h > k > 1. Первые представители: С₁₄₀, С₂₆₀. Фуллерен С₁₄₀ получен при генерировании в этом исследовании, С₂₆₀ выходит за изученный диапазон.

Дуальный переход с обрезанием вершин, утраивающий их число и сохраняющий т. г. с., можно применить к любому фуллерену. Отсюда следует идея: начав с диапазона С20–С50 [2], перейти к С60–С150. В классах Cn второго диапазона (n должно делиться на 2 и 3, т. е. на 6) т. г. с. первого должны повториться с неменьшим числом фуллеренов (новые т. г. с. и формы возможны). И этот критерий в табл. 1 выполнен.

Ясно, почему 10 из 32 кристаллографических т. г. с. несовместимы со структурами фуллеренов. Заметим, что оси симметрии могут пронзать любой полиэдр (в нашем случае — фуллерен) лишь в центрах граней (у нас 5- или 6-угольных), серединах ребер или вершинах (у нас 3-валентных). Это исключает для фуллеренов простые оси 4–го порядка (именно простые, тогда как инверсионные 4-го порядка разрешены) и, следовательно, тетрагональные 4 , 422 , 4/m , 4mm , 4/mmm и кубические 432 , . т. г. с.

Невозможность гексагональных т. г. с. 6 , 6/m , 6mm выясняется иначе. Приведем схему доказательства. Ясно, что в фуллеренах простые оси 6-го порядка могут проходить лишь через центры двух 6-угольных граней. Начнем строить плоскую проекцию Шлегеля, последовательно обкладывая одну из них «поясами» из шести (генерируемых осью 6-го порядка) 5- или 6-угольников. Вопрос в том, когда будут присоединены два пояса 5-угольников (на любом фуллерене их 12, т. е. два пояса). Первый можно присоединить после четного (тип 1) и нечетного (тип 2) числа n поясов 6-угольников. Те же возможности для второго пояса дают четыре подтипа: 1₁, 1₂, 2₁ и 2₂. Построением проверяется, что в подтипах 1₁ (n = 0 на первом шаге, 0, 2, 4… на втором) и 2₁ (n = 1 на первом шаге, 0, 2, 4… на втором) получаются фуллерены с т. г. с. и (n = 2 на первом шаге, 0, 2, 4… на втором) 622, в подтипе 1₂ — с т. г. с. 6/mmm (n = 0 на первом шаге, n = 1, 3, 5… на втором).

Другие т. г. с. невозможны. Тип 22 не приводит к замыканию проекции Шлегеля.

Заключение

Полный перечень фуллеренов диапазона С20–С150, охарактеризованных т. г. с. и доступных в проекциях Шлегеля на одну из граней, имеет прикладное значение в молекулярном и инженерном дизайне (не случайно они носят имя архитектора Р. Б. Фуллера), при классификации капсидов икосаэдрических вирусов, скелетов радиолярий и других минеральных и органических микроструктур. Он важен при анализе активно изучаемых трансформаций фуллеренов (G – C — Голдберга – Коксетера, S – W — Стоуна – Уоллеса [13], S – V — авторов этой статьи [4], с внедрением и изъятием С2 и др.) в попытке связать их в единое многообразие.

Авторы благодарят рецензентов за квалифицированные замечания, способствовавшие более строгому изложению результатов.

Список литературы Комбинаторное разнообразие фуллеренов С62-С150

Войтеховский Ю. Л. Из опыта преподавания. III. Кристаллография икосаэдрических вирусов // Вестник геонаук. 2020. № 4. C. 40–44. DOI: 10.19110/geov.2020.4.6.
Войтеховский Ю. Л., Степенщиков Д. Г. Фуллерены С20– С60: каталог комбинаторных типов и точечных групп симметрии. Апатиты: К & M, 2002. 55 с.
Войтеховский Ю. Л., Степенщиков Д. Г. Фуллерены С62–С100: каталог комбинаторных типов и точечных групп симметрии. Апатиты: К & M, 2003. 50 с.
Степенщиков Д. Г. О трансформации фуллеренов // Вестник КНЦ РАН. 2016. № 24. С. 32–37.
Caspar D. L. D., Klug A. Physical principles in the construction of regular viruses // Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol. 1962. V. 27. P. 1–24.
Deza M., Dutour-Sikirić M., Fowler P. W. The symmetries of cubic polyhedral graphs with face size no larger than 6 // Comm. Math. Comput. Chem. 2009. V. 61. P. 589–602.
Fowler P. W., Manolopoulos D. E. An atlas of fullerenes. Oxford: Clarendon Press, 1995. 392 p.
Goldberg M. A class of multi–symmetric polyhedra // Tohoku Math. J. 1937. V. 43. P. 104–108.
Klein D. J., Seitz W. A., Schmalz T. G. Icosahedral symmetry carbon cage molecules // Nature. 1986. V. 323. P. 703–706.
Kroto H. W. The stability of the fullerenes Cn with n = 24, 28, 32, 36, 50, 60 and 70 // Nature. 1987. V. 329. P. 529–531.
Kroto H. W., Heath J. R., O’Brien S. C., Curl R. F., Smalley R. E. C60: buckminsterfullerene // Nature. 1985. V. 318. P. 162–163.
Mani P. Automorphismen von polyedrischen Graphen // Math. Ann. 1971. V. 192. S. 279–303.
Stone A. J., Wales D. J. Theoretical studies of icosahedral C60 and some related species // Chem. Phys. Letters. 1986. V. 128. P. 501–503.
Yoshida M., Fowler P. W. Dihedral fullerenes of threefold symmetry with and without face spirals // J. Chem. Soc. 1997. V. 93. P. 3289–3294.

Еще