Комбинирование априорных модельных условий применительно к задачам повышения точности геокартирования

Ограниченность количества точек наблюдения, в которых определены экспериментальные значения картируемого показателя, обусловливает отсутствие однозначного решения задачи геокартирования. Этим определяется наличие и использование большого числа алгоритмов решения задачи картопостроения, которые в явном или неявном виде реализуют различные формализованные математические модели. Достоверность полученных результатов в конечном итоге определяется соответствием этих модельных условий пространственного изменения картируемых показателей реальным.

В рамках вариационно-сеточного метода геокартирования [1, 2 и др.] реализуется подход, с применением модельных условий, базирующихся на использовании уравнений в частных производных достаточно общего вида. Это, с одной стороны, обеспечивает гибкость метода и его применимость для решения широкого круга геологических задач. Но, вместе с тем, и определяет трудности в интерпретации массива наблюдаемых данных с целью выявления соответствующих им модельных условий. На практике, при отсутствии достоверных сведений о закономерностях пространственного изменения картируемых параметров, как правило, в качестве априорных применяют интегральные условия минимума кривизны или минимума поверхности результирующей карты.

На первом этапе для анализа фактических данных и выявления оптимальных для них модельных условий наиболее простым представляется подход, основанный на комбинированном использовании этих двух априорных моделей. В предположении, что эти модели являются некоторыми «крайними» условиями, можно ожидать, что такое комбинирование позволит приблизить модельные закономерности к реальным.

В качестве критерия приемлемости тех или иных модельных условий для картирования конкретных данных может рассматриваться точность прогнозных построений.

Для оценки приемлемости реализации комбинирования априорных модельных условий в данной работе выполнена серия расчетов на примере фактических данных по значениям отметок кровли продуктивного пласта в 856 скважинах одного из хорошо изученного месторождения углеводородов Западной Сибири. Абсолютные отметки изменяются в диапазоне от 1538,5 м до 1668,9 м, среднее значение равно 1630,3 м, стандартное отклонение составляет 17,8 м.

В рамках сопоставительной оценки различных модельных условий выполнено многовариантное разделение имеющихся данных на обучающую и экзаменационную выборки. По данным, входящим в обучающую выборку осуществлялось построение структурных карт, а по экзаменационным рассчитывались среднеквадратические отклонения фактических и прогнозных значений картируемого параметра. Расчеты проведены для серии из трех вариантов с соотношением количества данных в обучающей и экзаменационной группах 50 на 50%, а также 75 на 25%. Использование выборок с достаточно большим объемом данных направлено на обеспечение надежности статистических оценок результирующих погрешностей прогноза. При построениях использован программный комплекс GST, реализующий вариационно-сеточный метод геокартирования [3].

Поскольку этот метод является аппроксимационным, то при картировании по обучающей выборке точность построения является неоднозначной, но контролируемой с использованием весовых коэффициентов на данные. В этих условиях для обеспечения возможности сравнительного анализа прогностических свойств различных модельных условий выполнялась их «калибровка» таким образом, чтобы погрешности аппроксимации по обучающим выборкам были близкими.

Отметим также, что при невысокой точности аппроксимации результирующие карты в большей степени отражают трендовые закономерности. При повышении точности детальность картирования в точках с данными увеличивается, но могут появляться эффекты артефактов, снижающих достоверность прогноза. Различия в построенных картах соответственно отражаются в разнице прогнозных погрешностей по данным из экзаменационной выборки. Поэтому расчеты проводились для вариантов с относительно высокой и средней точностью аппроксимации данных обучающих выборок.

Комбинированная модель строится на основе комплексирования условий минимума кривизны и минимума поверхности со значениями весовых коэффициентов, пропорциональными полученным в результате раздельного применения этих условий (при построении карт по данным из обучающей выборки).

Как показывает анализ, результирующие карты имеют близкий вид независимо от используемого метода построения и различаются относительно незначительными, отдельными деталями. Четко прослеживается наличие структуры с куполом в центральной части области картирования, с тенденцией к увеличению глубин к границам. Значимые отличия приурочены к областям с низкой плотностью фактических данных или их отсутствием.

В отношении прогностических свойств также наблюдается высокая схожесть результатов для всех рассмотренных вариантов используемых модельных условий и методов. В табл.1 представлены результаты расчетов стандартных отклонений погрешностей прогноза (σэкз) для трех вариантов разделения данных на обучающие и экзаменационные выборки. Для каждого из этих вариантов реализованы построения с использованием трех видов модельных условий – минимума кривизны (Мин Кр), минимума поверхности (Мин Пв) и их комбинирования (Комб) и двух показателей соотношения количества данных в выборках (50/50 и 75/25%).

Кроме того все расчеты проведены для двух характерных значений погрешности (стандартных отклонений, σ _об ) аппроксимации данных обучающих выборок – около 1 и 5 м. Первое значение более чем на порядок, а второе более чем в три раза меньше стандартного отклонения (17,8 м) фактических значений от средней величины по всем данным. Соответственно такой выбор уровня погрешности аппроксимации в определенной степени характеризуют расчеты при высокой и средней степени детальности картопостроения.

Таблица 1

Среднеквадратические погрешности прогноза (м)

Мод. условия	σ об	σ экз
		1	2	3
	50/50
Мин Кр Мин Пв Комб Мин Кр Мин Пв Комб Мин Кр Мин Пв Комб Мин Кр Мин Пв Комб Мин Кр Мин Пв Комб	1,00	9,46	9,47	8,72
		8,85	8,48	8,44
		8,74	8,54	8,40
	50/50
	5,00	7,31	7,56	7,80
		9,25	8,97	9,04
		8,88	8,72	8,81
	75/25
	1,00	10,43	9,54	8,95
		9,82	8,11	7,76
		9,91	8,20	7,82
	75/25
	5,00	7,98	6,31	7,35
		10,05	7,94	8,13
		9,71	7,64	7,83
	тренд+корректировка
	1,00	9,47	9,48	8,72
		8,19	8,00	7,93
		8,33	8,22	8,04

Как следует из приведенных результатов, погрешности прогноза (стандартные отклонения) для рассмотренных вариантов весьма значительны и варьируют от 6,31 до 10,43 м. Весьма суще- ственные различия наблюдаются и в рамках одного метода построения, но для разных наборов обучающих и экзаменационных выборок. Например, для варианта с использованием в качестве модельных условий стабилизатора минимума поверхности (Мин Пв), при погрешности аппроксимации по обучающей выборке (σоб) 5 м и при соотношении количества данных в выборках 75 на 25%, стандартные отклонения погрешностей прогноза σэкз отличаются более на 2 м (10,05 и 7,94 м в вариантах 1 и 2, соответственно).

Вместе с тем, несмотря на значительную вариативность прогнозных погрешностей, в их значениях прослеживаются определенные закономерности.

Во-первых, при использовании комбинированных условий статистические результаты близки к показателям, полученным при реализации условий минимума поверхности. При этом практически для всех рассмотренных вариантов комбинирование условий минимума кривизны и минимума поверхности приводит к ухудшению прогностических свойств модели.

Во-вторых, можно заметить, что для одних и тех же модельных условий (а также при равных погрешностях аппроксимации для обучающих выборок, σ об ) разброс по трем вариантам расчетов стандартных отклонений погрешностей прогноза существенно меньше в случаях, когда обучающие и экзаменационные выборки разделены в cотношении 50 на 50%, по сравнению с расчетами по группам с соотношением 75 на 25%. В частности, для приведенного выше примера при делении выборок в соотношении 50 на 50% различия в значениях σ экз составляют не 2,11 м, а всего 0,28 м, то есть на порядок меньше. По-видимому, это является следствием того, что с уменьшением количества данных в экзаменационных выборках (в условиях, когда в целом данные характеризуются значительной дисперсией) статистические различия между ними проявляются в большей мере, в том числе и в отношении согласованности с моделируемыми пространственными закономерностями.

И, в третьих, для групп с различной точностью аппроксимации данных обучающих выборок проявляются противоположные закономерности в прогностических свойствах карт, построенных с использованием различных модельных условий – минимума кривизны или минимума поверхности. Для расчетов с более высокой точ- ностью аппроксимации (σоб равно 1 м) для всех вариантов более точный прогноз обеспечивают модельные условия минимума поверхности и, наоборот, при построениях со среднеквадратичной погрешностью σоб равной 5 м большей прогностической точностью характеризуются карты, построенные с применением условия минимума кривизны. Отметим, что эти закономерности прослеживаются для выборок с разделением данных как 50/50%, так и 75/25%.

Очевидно, в этом проявляется отсутствие единства в модельных условиях при выявлении разномасштабных закономерностей (на уровне трендовых или локальных особенностей), характерных для наблюдаемых данных. Видимо именно этим может быть обусловлено то, что использование комбинированного единого условия приводит к ухудшению прогностических свойств модели.

С учетом последнего можно предположить, что добиться повышения прогностической точности картирования можно за счет предварительного построения трендовой составляющей с использованием одних модельных условий и последующей корректирующей поправки с применением других условий. Расчетные результаты реализации такого подхода для вариантов с разделением количества данных в обучающих и экзаменационных выборках в соотношении 50/50% приведены в табл. 1 под заголовком «тренд + корректировка».

В качестве трендовых здесь использованы карты, построенные с применением стабилизатора минимума кривизны и со среднеквадратичной погрешностью σ _об равной 5 м. Именно эти построения характеризуются наименьшей погрешностью на экзаменационных выборках ( σ экз от 7,31 до 7.80 м). Последующее картирование отклонений фактических значений от расчетных трендовых (по обучающим выборкам) осуществлено с более высокой точностью ( σ об равно 1 м), с использованием, также как и ранее, трех рассматриваемых модельных условий.

Из приведенных в таблице данных видно, что на этапе корректировки наилучшие конечные результаты действительно обеспечивает применение условий минимума поверхности (по сравнению с условиями минимума кривизны, которые предпочтительны на этапе картирования трендовых зависимостей). Среднеквадратическая погрешность σ экз при этом составляет от 7,93 до

8,19 м. Вместе с тем, несколько неожиданным является явное ухудшение прогностических свойств «уточненных» карт по сравнению с трендовыми. Очевидно, это свидетельствует о том, что используемые априорные модельные условия не подходят (по крайней мере, в данном конкретном примере) для надежного описания локальных особенностей пространственного изменения картируемого показателя.

Таким образом, выполненные исследования свидетельствуют о том, что использование при геокартировании модели, основанной на комбинировании условий минимума кривизны и минимума поверхности, не обеспечивает улучшение прогностических свойств результирующих карт. И, соответственно, простое комбинирование стандартных рассматриваемых априорных условий не позволяет решать задачу поиска и анализа модельных закономерностей, прослеживаемых в наблюдаемых данных.

Полученные результаты свидетельствуют о необходимости разработки специализированных методов поиска модельных условий непосредственно в виде системы уравнений в частных производных. Это в свою очередь ставит целый ряд задач, связанных с выбором достоверных методов оценки значений производных, обоснованию алгоритмов определения количества уравнений в системе, их вида, а также количественных значений их параметров.