Комбинированные адаптивные модели взаимосвязанных технологических процессов

Важным этапом построения различных систем управления является построение математических моделей, описывающих процессы, происходящие в исследуемых объектах. В технологических процессах металлургии, строительной индустрии, нефтехимии и других часто возникает ситуация, когда априорные сведения о структуре модели явно не достаточны для математической постановки задачи. Существенной особенностью таких процессов являются высокая зашумленность, недостаточно развитая система контроля, непредставительность про-боотбора и т. п. Данная работа посвящена решению задачи идентификации взаимосвязанных процессов в усло виях, когда параметрическая структура модели определена не полностью. В этом случае перспективным является путь построения комбинированных моделей, т. е. моделей, представляющих собой систему как параметрических, так и непараметрических моделей.

Рассмотрим общий случай задачи построения математической модели стационарного объекта в условиях частичной априорной неопределенности._Пусть объект имеет / выходных переменных (у 1,..., y l )= Y и к входных (x1,...,xk) = X . ВекторыX6q(X) иYе q(y) принадлежат замкнутым, ограниченным областям в Rk, R1 соответ ственно. Связи между переменными X и Y представле ны следующей системой соотношений:

F j ( x j , у j , a j ) = 0, j = 1, m, m ^ l y j — Ф j ( x j , У j ) = 0, j = m + 1, l ,

где x j , y j , j = 1, l - векторы, составленные из компонент векторов X и Y , входящих ву-е соотношение. Функции F j (...), j = 1, m известны с точн остью до набора параметров a ¹ . Вид функции ф j ( ... ) j = m + 1, l не задан, и ее параметриз ация затруднена. По наблюдениям { X [ t ], Y [ t ] } , t = 1, N вектора состояний вход-выход требуется восстановить математическую модель объекта (1) и оценить выход Y при заданном значении входных переменных x i = Xi , i = 1, k .

Такая задача была рассмотрена в работе [3], где показано, что оценка выхода при x = X по модели объекта (1) определяется условным математическим ожиданием Y по 8 = 0 :

Y = M { Y / 8 = 0 } ,               (2)

где вектор 8 = ( 8 1 ,..., 8 l ) - вектор невязок, t -е значение которого получено по системе:

8 j [ t ] = F j ( x j , y j [ t 1 (5c j ) j = 1, m

8 j ^{[ t ]} = y j -^{[ t ] -} ' ф j_N ⁽ x^j , y j ^{[ t} D, ^j = m ⁺ 1 l ,         ⁽³⁾

здесь t5 ^j - оценки параметров a ^j [2], ф j N (. .. ) являются статистиками:

Ф. (xj,yj)= £yj [M-1(N)(xj — xj[i])• i=1

• ф ( с - ¹ ( N ) ( y^j - y^j [ i ] ) /f £ ф ( с - ¹ ( N ) ( x ^j — x^j [ i ] ) ) •      (4)

\ i = 1

• ф ( с - * ( N ) ( y j - y j [ i ] ) ) ) .

В качестве оценки (2) принимается статистика

У1„=1У1№(р-1(N Х0 -8[i]))/ jN i=1                                                    (5)

/ £ ф(с-'(NX0 - 8[i]) ) j = m +1, l, i =1

являющаяся непараметрической оценкой кривой регрессии (2). Оценка (5) является асимптотически несмещенной и состоятельной оценкой корня систем уравнений [3]

Fj(xj У, (И 0, j = 1, l yj- Ф jN (xj’ yj )= 0,j = m + 1 l,

которая является моделью объекта (1). Заметим, что ма тематическое описание технологических переделов гидрометаллургического производства (ГМП) точно совпадает с системой (1). Таким образом, для получения оценки выхода П1,..., П5 последовательно применяется алгоритм (3), (4), (5). Вопросы выбора функций ф(...) и коэффициентов c 1 (N), c2 (N) в (4), (5) опускаем, они достаточно подробно представлены в [4].

Изложенная теория применялась при разработке адаптивной математической модели ГМП. Получение технической серы и сульфидного медно-никелевого концентрата путем переработки исходного сырья - очищенного пирротинового концентрата - является непрерывным многоэтапным и многокомпонентным процессом, вклю чающим следующие переделы: автоклавное выщелачи вание (П1), осаждение (П2), серосульфидную флотацию (П3), дезинтеграцию и серную флотацию (П4), выплавку серы (П5).

Передел П1. Введем некоторые обозначения:

- X1 = (x 1, x 12, x 1з, x 14)- вектор входных переменных, где x 1., i = 1,4 - количество никеля, меди, железа и серы в пир- ротиновом концентрате, поступающем на переработку;

- Y 1 = (y 11,У 12’...’У 19,У 110)- вектор выходных перемен ных, где У 11 - количество твердого в пульпе после выщелачивания (ПВ); у 12 - объем жидкого в ПВ, у 12■+1’ у 12■+2’ i = 1’4 -содержание никеля, меди, железа и серы в твердом и жидком ПВ соответственно. В принятых обозна чениях передел П1 может быть описан следующим образом:

^У 1 1 ^У 1 2 , + 1 ^{+ У} 1 2 ^У 1 2 , + 2 - x 1 i = ⁰’ i = 1,4 ,

5 1 У 1 , ^- У 1₂ = ⁰ ,    _

У 1 ,„. - f L^ 1 , , у 1,J = 0: = >’⁴ •

где неизвестные статистические зависимости f 1 ( ... ), i = 1,4 представлены выборками наблюдений { у 1 2 _{( + 1}, У 1 2 _{f +} 2 , X r J t ’ i = 1,4, ⁽ = 1, N ( ^N - объем выборки), снятыми в режиме нормальной работы П1.

Передел П2. Входными воздействиями данного передела X 2 являются выходные переменные П1, т. е.

X 2 = ⁽ X 2 1 , X 2 2 , X 2 3 , ^x 2 4 ) = ⁽-, ^у i i ^{у + y}_h^y   ,Д i = 1,4 ■ №

Введем вектор выхода П2:

Y 2 = (У 21, У 22,-, У 29, У 210)’ где У21 - количество твердого в пульпе после осаждения (ПО); у 22 - объем жидкого в пульпе ПО; у 22i+1, у 22i+2, i - 1,4 - содержание никеля, меди, железа и серы в твердом и жидком ПО соответственно. Тогда П2 описывается системой уравнений

У 2 1 У 2 2 , + 1 ⁺ У 2 2 У 2 2 , + 2 — P i ^X 1 . — ^X 2 , = ^{0 , i - 1,4 ,}

« 2 У 2 1 — У 2 2 = ^{0 ,}

^У 2 1 — ^У 1 1 -Р з ^X 1 i = ⁰ ,                       ⁽⁹⁾

Р 1 = Р ₂ =Р 4 = 0 ,

У 2 . — f 2 i ( y 2 2 J= ^{0 , i -} 1,4 ■

Зависимости f ₂ i СО неизвестны, но представлены ^{выборками} { у _w у 2 2 i J , , i =1,4, t =L N .

Передел ПЗ. Здесь соотношение между входными переменными данного передела и выходными предыдущего передела П2 аналогичны (8):

Y 3 = (y 31,у з2’—>у 319,у з20), у 31 - количество твердого серосульфидного концентрата;

У _{3 2} - объем раствора серосульфидного концентрата; У _{3 2 i + 1} , У _{3 2 i + 2} , i - 1,4 - содержание никеля, меди, железа и серы в твердом и растворе серосульфидного концентрата соответственно; у _{3 11} - количество твердого хвостов серосульфидной флотации; у ₃ - объем раствора хвостов серосульфидной флотации; у ₃ 2 _{i + 1} , у ₃ 2 i _{+ 2} , i - 6,9 - содержание никеля, меди, железа и серы в твердом и растворе хвостов серосульфидной флотации.

Тогда система ПЗ описывается системой уравнений у. У, + у, у, + у, у,    + у, у,     -Яг = 0

^J 3 1 3 2 i + 1        3 2 3 2 i + 2        3 11 3 2( i + 5) + 1 ^J 3 12 ^J 3 2( i + 5) + 2 ^{X 3} i        ^{, 1 1}<^{Т ,}

« 3 У 3 1 - У 3 2 = ⁰,

Y 3 ^у 3 11 ^{- у} 3 12 = ^0,              _

У 31 (У 32i+1 - У 32( i+5)+1)- У 21 С 22 i+1 - У 32(M)J= 0 , i - 1,4 , у3 + у3 - Уч = 0 , 17 31 ^311 21 ,

• ^{у 3 12} у ^{3 16 -} у ^{2 2 у 2 6} = ⁰ >           _    (1₀₎

• ^У 3 11 ( У 3 ₂.1 ^{- У} 3 2( i + 5) + 1 ^{)- У} 2 1 ( y 3₂. 1 ^{- у} 22.0 = ⁰ , i - 1,4 ,

У 3 4 = f 3 1 ( У 3 3 ⁺ У 3 5 ) ,

У 3 2 = f 32 С3 5 ) ,

У 3 13 ⁺ У 3 15 ^- f 3 3 ( У 3 3 ⁺ У 3 5 ) = ^{0 ,}

• ^У 3 8 ^{- f} 3 4 ( y 3 17 ^{+ У} 3 18 ) = ^{0 ,}

• ^У 3 10 ^{- f} 3 5 ( y 3 20 ) = ⁰ .

В системе (10) зависимости f ₃ i ( ... ) неизвестны, но заданы выборками наблюдений

{ y 3 2 i + 1 , ^у3 2i + ^{2 ,}...^{, у} 3 ₂( i + 5) + 1 , ^у3 2(i + 5) + ₂ ! t , i - 1,4 , ; = 1, N .

Передел П4. Под вектором входных переменных данного передела будем понимать вектор

X ⁴ = ( ..., ^x 4 i ,... ) = (• .., ^у 3 ₁ ^у 3 ₂ i _{+ 1} ^{+ у} 3 2 ^у 3 2 i _{+ 2} ,..^{. )} , ^{i - 1},⁴ .

Обозначим вектор выходных переменных Y 4 = ( у _{4 1} ,..., У _{4 10} ,..., У _{4 19} ) , где у _{4 1} - количество сульфидного концентрата; у ₄ 2 - количество серного концентрата; у _{4 11} - количество хвостов выплавки серы; у _{4 12} - количество технической серы; у , у , i = 1,4 - содержание нике- 4 2 i + 1      4 2 i + 2

ля, меди, железа и серы в сульфидном и серном концентратах соответственно; у 4 i , i = 1,4 - содержание никеля, меди, железа и серы в хвостах выплавки серы.

Имеем систему уравнений:

y 4 ₁ y 4 2 i _{+ 1} - X 4 i ^- X 4 i X 4 1 = ⁰, i = ¹,⁴ ,

« 4 i = 0, i = 1,3,

• У 4 2 У 4 ₂.₂ - У 4 11 У 4 2( i + 5) + 1 = ⁰, i = ¹,4 .

Передел П5. Поскольку передел П4 технологически связан с переделом выплавки серы П5 посредством появления оборотного продукта - хвостов выплавки серы, то к (11) необходимо добавить описание П5 и в дальнейшем рассматривать систему совместно. Такими уравнениями являются

У 4 2 У 4 10 « 5 - У 4 12 = ^{0 ,} У 4 2 ⁺ У 4 1 ^- У 4 12 = ⁰ .

Отметим, что некоторые показатели по полупродуктам и готовой продукции ГМП, которые незначительно изменяются в допустимых границах требований технологии, называются стандартами предприятия и задаются априори. Последними являются а1, а2, а3, ₽3, Y3, «4, У 314, У 315, а5.

На основании известных стандартов предприятия, входных переменных и выборок статистических наблюдений за качественными показателями металлосодержащих материалов по переделам необходимо определить с помощью соотношений (7)-(12) основные технологические показатели процесса получения сульфидного медно-никелевого концентрата и технической серы. Вопросы непараметрической оценки кривых регрессии (при определении зависимостей f _{k i} , где к - номер передела) подробно рассмотрены в работах [1^4].

При этом определены размерности векторов: входных переменных - 29; выходных переменных -56; количество известных уравнений системы (балансы металлов на переделах) - З9; количество непараметрических уравнений-17.

В основе пирометаллургической технологии лежит последовательно-паралельная, с рециклами схема переработки металлосодержащих материалов с целью получения никелевого файнштейна, анодной меди и серы технической. Условно производство можно разделить на медную и никелевую линии, которые в свою очередь делятся на следующие переделы:

• 1)    печи взвешенной плавки медной линии (ПВП-CU);

• 2)    печи взвешенной плавки никелевой линии (ПВП-NI);

• З)    обеднительные электропечи (ОЭП);

• 4)    конвертирование медной линии (КОН-CU);

• 5)    конвертирование никелевой линии (КОН-NI);

• 6)    анодная плавка (АП).

На ПВП-CU поступает на переработку медный концентрат, обороты и пыль, полученная на КОН-CU. В процессе плавки с добавлением кварцевого песка получают штейн и шлак.

На КОН-CU перерабатывается штейн ПВП-CU, скрап медный и шлак АП, в качестве флюса добавляется песчаник. Результатом работы являются черновая медь, конвертерный шлак, пыль, обороты и сухой свернутый никелевый шлак.

На АП из черновой меди получают анодную медь -товарный продукт медной линии и анодный шлак.

ПВП-NI работает аналогично ПВП-CU, но перерабатывает смесь никелевого и сульфидного концентратов вместо медного.

На ОЭП перерабатывается тяжелая фракция, шлаки ПВП и КОН обеих линий, обороты, в качестве флюса используется песчаник. Результатом работы являются штейн и гранулированный отвальный шлак - конечный продукт пирометаллургического производства (ПМП).

На КОН-NI поступают на переработку штейны никелевой линии и часть штейна ПВП-CU, сухой свернутый никелевый шлак, обороты из остатка и песчаник. Результатом работы являются файнштейн - товарный продукт никелевой линии, а также шлак, пыль, обороты.

Решение задачи прогноза промежуточных и выходных продуктов ПМП при заданном входе, полученное в результате реализации построенной модели, должно удовлетворять балансовым соотношениям по цветным металлам, сере, железу и кремневке, технологическим зависимостям, обнаруженным в результате анализа статистической информации, условиям кондиционности некоторых продуктов. Кроме того, физические веса продуктов должны быть неотрицательными, а содержание элементов в продуктах должны лежать в допустимых технологических диапазонах.

Формализуя эти условия, будем иметь ограничения на решение, получаемое по модели, причем первые три условия будут в виде равенств, последние - в виде неравенств. Для этого необходимо выбрать способ задания переменных. В качестве переменных выберем физические веса элементов в продуктах в тоннах там, где общий физический вес продукта неизвестен, в противном случае (только для оборотов) неизвестными будут содержания. Этот способ позволяет задать балансовые соотношения в виде линейных уравнений, а ограничения на переменные - в виде нелинейных отношений (дробей). Существует стандартный прием введения так называемых фиктивных переменных и дополнительных уравнений, с помощью которых нелинейности такого рода приводятся к линейному виду. Таким образом, несколько увеличив размерность, получим линейную модель.

Необходимо отметить, что балансовыми соотношениями являются уравнения, в левой части которых приводится сумма цветных металлов во всех входных продуктах технологической операции, а в правой части - сумма цветных металлов во всех выходных продуктах с учетом потерь.

Для определения количества и рационального состава промежуточных и конечных продуктов ПМП при заданном количестве и качестве (Cu, Ni, Co, Fe, S) никелевого и медного концентратов и некоторых стандартов пред приятия необходимо решить следующую задачу по расчету баланса металлов^найти X такой, что АX = В, при ограничениях С х X х D, где_4 - матрица системы размером тхп, причем т х п; X - вектор неизвестных переменных задачи и начальное приближение итерационной процедуры длины п (в нашем случае это количество цветных металлов в промежуточных и конечных продуктах ПМП); С - вектор ограничений снизу длины n; D - вектор ограничений сверху длины п; B - вектор правых частей длины т .

В дальнейшем нам понадобятся следующие величины: E - вектор невязок длины т , E = AX - B ; 5 - вектор спуска длины п ; Y - новое приближение итерационной процедуры длины п ; Q - диагональная матрица квадратов расстояний до ближайших границ размером п х п ; U - вектор двойственных переменных длины т .

Кроме этого, квадратные скобки будут означать скалярное произведение, а звездочка справа сверху от матрицы - ее транспонирование. Точки, удовлетворяющие ограничениям типа неравенств, будем называть допустимыми. Очевидно, что множество решений этой задачи может быть как бесконечным, таки, пустым, в зависимости от конкретных значений А , В , С , D .В первом случае нас устроит любое из допустимых решений, во втором -под решением будем понимать такой допустимый вектор X , который минимизирует невязку в среднеквадратическом смысле. Итерационная процедура поиска решения состоит из следующих этапов:

• 1.    Выбор начального приближения из допустимой области.

• 2.    Поиск направления спуска, уменьшающего невязку. Как известно, кратчайшим из всех таких направлений является перпендикуляр, его мы и будем искать, но чтобы учесть ограничения типа неравенств, на каждом шаге итерационного процесса будем менять метрику пространства таким образом, чтобы расстояния от начальной точки до всех ближайших границ были равны единице.

• 3.    Выбор длины шага. Она должна быть не так велика, чтобы новое приближение не вышло из допустимой области, но и не слишком мала, чтобы существенно не увеличивать число итераций.

• 4.    Для остановки процесса используют два условия: первое - норма невязки стала меньше ранее заданной малой величины (допустим, 1 кг), т. е. решение получено; второе - длина шага стремится к нулю, т. е. решение находится за границей допустимой области.

Выбор начального приближения не представляет трудностей. Если нет никаких априорных сведений о решении, то можно взять среднюю величину, X = 0,5 ( с + D ) .

Целью расчетов балансов металлов является минимизация невязок количества металлов по входным и выходным продуктам. В связи с этим направление спуска 5 ищется как решение следующей задачи квадратичного программирования:

Min 0.5 [ s , Q ¹5 ] ,при А 5 = Е .

Функция Лагранжа для этой задачи имеет следующий вид:

Ф ( 5 , U ) = 0.5 [ 5 , Q^-15 ] - U , А 5 - е ] .

Приравняв частные производные по S и U к пулю, получим систему уравнений для определения седловой точки:

S = QA * U

A S = E ■

Легко видеть, что

A Y - B = a ( X -X S ) - B = E ( 1 -X ) , т е. движение в вычисленном направлении S обеспечивает покомпонентное уменьшение невязки обратно пропорционально выбранной длине шага X , которая вычисляется следующим образом:

X = mm ( 1,max ( pp , ф ) ) , где Ц -расстояние до границы допустимой области; p -величина из интервала (0,5,1) на усмотрение лица, принимающего решение (ЛПР); ф - расстояние до границы эллипсоида, вписанного в параллелепипед, определяемый ограничениями типа неравенств с центром в точке X , ф^{- 2} = Q A U , A * и ] ■

Окончательный порядоквычисленийтаков:

• 1.    Находим начальное приближение X = 0,5 ( С + D ) .

• 2.    Определяем вектор невязок E = AX - B , проверяем условия.

• 3.    Получаем матрицу Q с элементами q j j = ^{( min} w ^- c j , d j ^- x j ) ) ^{2 ,}J^ 1, n ■

• 4.    Ищем двойственные переменные U = ( AQa* ) ^{- 1} E .

• 5.    Находим вектор спуска S = QA U .

• 6.    Определяем длину шага X = min(1, тах( рц , ф )) , проверяем условие.                  _ _  _

• 7.    Получаем новое приближение Y = X -X S .

• 8.    Новое приближение принимаем за начальное и возвращаемся к п. 2.

На основе изложенных подходов были разработаны комбинированные адаптивные модели технологических процессов Надеждинского металлургического завода Норильского горно-металлургического комбината.