Компьютерное моделирование бернсайдовой группы В(2,5)

Пусть B (2,5) - двупорожденная бернсайдова группа периода 5, а B 0 (2,5) - максимальная универсальная конечная двупорожденная группа того же периода (порядок последней равен 5³⁴ [1]). Вопрос о совпадении указанных групп в настоящее время является открытым [2].

В работе [3] был предложен алгоритм для моделирования произвольных конечнопорожденных периодических групп (в частности, бернсайдовых групп), заданных порождающими элементами и определяющими соотношениями. При помощи этого алгоритма конечнопорож-денная периодическая группа G была представлена в виде динамической системы объектов K s ( G ) = ( P s , A s , C s , T s ), где P_s - множество всех минимальных слов группы G , не превосходящих по длине s , с заданной на этом множестве таблицей умножения T_s , обрабатывая которую при помощи алгоритма A_s , мы получаем список соотношений C_s в группе G .

В работе [4] на основе компьютерного моделирования по алгоритму [3] было показано, что в терминах минимальных слов группы B (2,5) и B ₀(2,5) совпадают на словах длины <  27.

В данной статье вычисления продолжены, и на длине 30 и последующих длинах найдены первые несовпадения элементов и соотношений в данных группах, представленных в виде минимальных слов.

Основные понятия. Пусть G = (^ X ₂,..., ^x m | V , = w , , v 2 = w 2 , к, v k = w k ) ^- периодическая группа, т. е. группа, у которой все элементы имеют конечный порядок, со множеством свободных порождающих { x ,, x ₂,..., x m } и определяющими соотношениями в G { v i = w i }. На множестве порождающих введем отношение порядка p (меньше): { x , p x ₂ p . p x m }.

Пусть g - элемент группы G . Тогда его можно представить в виде конечного произведения из свободных порождающих, т е. g = a , -a ₂ -... -a s , где a i е { x , , x ₂,..., x m } . Правую часть данного равенства мы будем называть словом и записывать в виде v = a , a ₂... a s . В некоторых случаях, если необходимо подчеркнуть связь между элементом группы g и представляющим его словом v , т. е. записью элемента g через образующие, мы будем писать g_v = a , -a ₂ ■ к. ■ a s . Натуральное число s будем называть длиной слова v . Функция L ( v ) определена на множестве всех слов и равна длине слова v , т. е. L ( v ) = s для слова v . Единицу группы G , обозначаемую е, мы будем отождествлять с пустым словом, которое также будем обозначать e . По определению L ( е ) = 0 . Говорят, что слово x входит в слово w , если можно указать такие слова p и q , что w = pxq .

Если при этом слово p ( q ) пусто, то говорят, что x есть начало (конец) слова w .

Будем говорить, что слово w меньше слова v и запишем это как w p v , если имеет место одно из следующих утверждений:

,) L ( w ) <  L ( v );

• 2 ) если L ( w ) = L ( v ), то тогда пусть w = a , a ₂. . a s и ^v = P , p 2 K p s , " , =Pl ^a 2 = ^P 2 , -> "  k - , = ^P k - , , "  k ^p P k для некоторого I <  k <  s .

Слово v будем называть минимальным в G относительно введенного порядка, если для любого другого слова w , удовлетворяющего условию g_v = g w , будет выполняться v p w . Для любого g е G существует единственное минимальное слово v , представляющее данный элемент.

Сравнительный анализ группы В(2,5) с группой В₀(2,5). Пусть B (2,5) = ^ x ,, x ₂ | g⁵ = е ) - двупорожденная бернсайдова группа периода 5. И пусть x , = , и x ₂ = 2 -образующие групп В (2,5) и В ₀(2,5). Дж. Хавас, Г Уолл и Дж. Уэмсли в работе [,], используя коммутаторное исчисление, при помощи компьютера вычислили соотношения для базисных коммутаторов группы В ₀(2,5). В качестве первых двух коммутаторов были взяты образующие группы B ₀(2,5), а последующие коммутаторы с 3 по 34 вычислялись рекурсивно через , и 2. В этом случае каждый элемент h е B ₀ (2,5) однозначно представляется множеством упорядоченных произведением базисных коммутаторов в определенных степенях:

h = 1 " ^, ■ 2 " ²-...- 34 a ³⁴ , (,) где a i е {0,,, 2, 3, 4} ( i =,, 2, _, 34). Правую часть равенства (,) мы будем записывать k ( h ) = 1 ^{a ,} 2 a ² .34"" и называть нормальным словом [,].

Пусть у - гомоморфизм группы В (2,5) на В ₀(2,5), заданный следующим правилом:

У ⁽ g v ) ^ k ⁽ h v ).

где g_v е B (2,5) и h_v е В ₀ (2,5) - элементы, вычисленные по слову v в группах В (2,5) и В ₀(2,5) соответственно.

• ^,    Работа выполнена при финансовой поддержке грантов Президента Российской Федерации (код проекта МК-2494.2008.,), АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (код проекта 2.1.1/3023) и РФФИ (код проекта 09-01-07177-а).

Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева

Очевидно, что все соотношения группы B (2,5) будут справедливыми в B ₀(2,5). Обратное утверждение будет верно, если B (2,5) = B 0 (2,5). Таким образом, если два слова v и w равны как элементы группы в B (2,5), то под действием у они будут соответствовать одному нормальному слову в B ₀(2,5).

Если у окажется взаимно однозначным, то из этого будет следовать изоморфизм В (2,5) и В ₀(2,5), т. e. группа B (2,5) будет конечна. В противном случае B (2,5) – бесконечная группа.

При помощи компьютерных вычислений, используя у , на каждой длине можно получить максимально возможный список соотношений для группы B ₀(2,5) в терминах минимальных слов в алфавите образующих {1, 2}.

Для группы B (2,5) на основе компьютерного моделирования по алгоритму [3] был вычислен объект K ₃₃ (2, 5) . В терминах минимальных слов получилось, что | C 33 (2,5) | = 45 392 и | P₃₃ (2,5) | « 5¹⁴. Расчеты были проведены на кластере Института космических и информационных технологий Сибирского федерального университета. В качестве программного инструмента реализации была взята система компьютерной алгебры MATLAB 7.7.0 с подключенными дополнительными модулями MATLAB Distributed Computing Server и MATLAB Parallel Computing Toolbox. При поэлементном сравнении группы B (2,5) с группой B ₀(2,5) была выявлена следующая теорема.

Теорема 1. Пусть v , w – два слова в алфавите образующих {1,2}, L ( v ) <  29 и L ( w ) <  29. Тогда v = w -соотношение в группе B ₀(2,5) тогда и только тогда, когда v = w – соотношение в группе B ₀(2,5).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство следует из непосредственного вычисления. Например, в группе В ₀(2,5) имеет место соотношение 11112222 = 21212121. Действительно, 11112222 —^1 4 2 4 и 21212121 ——»1⁴2⁴. В группе В (2,5) справедливость указанного соотношения доказывается по алгоритму [3] так: 21 - 21212121 = (21) 5 = e и 21 - 11112222 = e и т. д.

Однако длина 30 явилась своеобразной точкой расхождения групп В (2,5) и В ₀(2,5). Так на длине 30 в B ₀(2,5) имеются 2 соотношения, на длине 31 – 10, на длине 32 – 47 и на длине 33 – 69 соотношений, доказать справедливость которых в B (2,5) по алгоритму [3] при применении соотношений, длины левой и правой частей которых не превышают 33, не удается. Соотношения такого вида приведены в таблице.

Поэтому имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Если в группе B (2,5) не выполняется хотя бы одно соотношение из приведенной таблицы, то тогда группа B (2,5) бесконечна.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Указанные в таблице соотношения справедливы в B ₀(2,5). Например,

у (122121121221121212211212212112) =

= у (212121122112212121122112212121) =

= 31425261748191113123134143152162172182 х х204 212 221234 244 254 263 271281 291314 322344

и т. д. Поэтому если хотя бы одно из этих соотношений не будет выполняться в B (2, 5), то B (2,5) ^ B ₀ (2,5), а это означает бесконечность B (2, 5).

Полученные результаты позволяют вполне обоснованно высказать гипотезу о том, что группа В (2,5) бесконечна. Приведем аргументы в пользу этой гипотезы:

• –    при моделировании по алгоритму [3] известных конечных бернсайдовых групп B (2,3), B (2,4) и B (3,3) не было зафиксировано ни одного случая, чтобы какое-нибудь соотношение, в котором длины слов в левой и правой части не превышают s , было найдено в объекте K_r , где r >  s ;

• –    при моделировании группы B (2,5) для поиска соотношений были использованы все групповые аксиомы, однако, как было сказано выше, ни одно из указанных в таблице соотношений доказать не удалось.

В то же время строго доказать бесконечность группы B (2,5) пока также не удается.