Контактная задача для двухслойного цилиндра

Образец для цитирования: Пожарский, А. Д. Контактная задача для двухслойного цилиндра / Д. А. Пожарский [и др]. — Вестник Донского гос. техн. ун-та. — 2018. — Т.18, №3. — С. 265-270.

Введение. Динамическая контактная задача для преднапряженного упругого цилиндра, наполненного жидкостью, изучалась в работе [1]. Статические контактные задачи для однородных упругих тел цилиндрической формы рассматривались в работах [2–6] при помощи регулярного и сингулярного асимптотических методов. Было установлено [4], что для цилиндрических тел символы ядер интегральных уравнений контактных задач характеризуются более сложным асимптотическим поведением в нуле и бесконечности, чем, например, в контактных задачах для упругой полосы. Это потребовало применения усложненных аппроксимаций этих символов легко факторизуемыми функциями при использовании сингулярного асимптотического метода. Особенно усложняется аппроксимация для полых тонкостенных цилиндров [6]. Предложенная аппроксимация [6] эффективна даже для случаев, когда тонкостенный упругий цилиндр можно рассматривать как цилиндрическую оболочку [7]. Исследовалась контактная задача о взаимодействии упругого кольца с упругим цилиндром [8]. Износ упругого цилиндра анализировался в работе [9]. Цель настоящего исследования — получить решение контактной задачи для составного двухслойного упругого цилиндра на основе сингулярного асимптотического метода и эффективной аппроксимации символа ядра интегрального уравнения.

Материалы и методы. В цилиндрических координатах r, z (при осевой симметрии) рассмотрим бесконечный упругий составной цилиндр внешнего радиуса R, который состоит из внутреннего сплошного цилиндра радиуса R 1

Используя интегральное преобразование Фурье для решения собственно смешанной (контактной) краевой задачи для уравнений Ламе упругого равновесия и вводя безразмерные обозначения (штрихи далее опускаем)

X = R, 5/ =5, Z = z, qZZ) = qs = GZ, k = R < 1,(1)

aaa  GGR получим следующее интегральное уравнение относительно q(Z):

J q (Z) k f^^^j ^^

dZ = n5 (|Z|< 1),   k(t) = JL(u)cos(ut)du,(2)

где символ ядра имеет вид

L(u) = -dZ11 - d2 Kv(3)

dd

d = (A55Абб - A56A65 )[(A12A31 - 41 A32 )(A23 A44 - A24A43) -

-A,3 A31 (A22 A44 - A24 A42) + A,4 A31 (A22 A43 - A23 A42) +

^+A13 ^A32 ⁽A21^A44 ^-A24 ^A41 ) ^{- A}14 ^A32 ⁽A21^A43 ^-A23 ^A41 ^{)] +}

+A35A5б[(A23A44 - A24A43)(A12A61 - A11A62) +

+(A22 A44 - A24 A42)(41A63 - A13 A61) + (A22 A43 - A23 A_ti)(A14A61 - A11A64) +

⁺⁽A21^A44 ^-A24 ^A41 ^)(A13 ^A62 ^{- A}12 ^A63) ^{+ (}A21^A43 ^-A23 ^A41 ^)(A12A64 ^{- A}14 A62 ) ⁺

+(A21A42 - A22A41)(A14A63 - A13A64)], d1 = (A13 A44 - A14 A43 )[ A32 ( A56 Аб5 - A55 Абб) - A35 A56 Аб2 ] -

-A35 A56 [A12 (A43 Аб4 - A44 Абз ) - А42 (A3 Аб4 - А14 Абз )], d2 =-(А13А44 - А14А4з)[Аз1(А56Аб5 - А55Абб)- А35А56Аб1] + +А35 4б [А (А43 Аб4 - А44 Аб3 ) - А41 (А13 Аб4 - А14 Абз)],

А„ = uI0 -2(1-v)11, Д₂=-uK0 -2(1-v)K„ А13 = uI„ А_м= -uK_v

А21 = (3 - 2v)uI0 - (u²+ 4(1 - v))11, А22 = -(3 - 2v)uK0 - (u²+ 4(1 - v))K^, А2₃= u(11 - uI0), А24 = -u(K + uK0),

А3, = 2(1 - v)11*, А32 = 2(1 - v)K*, А35 = -4(1 - v,)11*,

А4, = ukI*-2(1-v)I*, А42 =-ukK*-2(1-v)K*, А43 = uI*, А44 =-uK;,

А55 = ukI0*- 2(1-У1)11*, А5₆= uI1*,

А_б1 = (3 - 2v)uI* - (u²k + 4(1 - v) k^-1)1f,

42 = -(3 - 2v)uK₀* - (u²k + 4(1 - v)k-)K,

4₃= uk -1* - u²1₀0, А_б4 = -uk - K* - u²K0,

45 = -s[(3 - 2v. )uI* - (u²k + 4(1 - v.)k-¹)11* ], Абб = -su(I*k- - uI0 ),

In = In (u), Kn = Kn (u), i* = In (uk), k* = Kn (uk), n = 0,1.

Здесь In(u), Kn(u) — модифицированные функции Бесселя. Безразмерный параметр X характеризует относительную ширину области контакта.

Функция L(u) в нуле и бесконечности ведет себя следующим образом:

lim L (u) = L (0) = u ^0

(v -1)(1 + s - v1 + sv1) + k S1 2(v - 1)[(v +1)(1 + s - v1 + sv1) + k 2e1] ,

^S1 = ^{(v + 1)(v}1 ^{- 1) - s(v - 1)(v}! + ^1).

1 D

L (u ) = - + -2 + o (u  )

uu

(u ^ +«),  — = 1 - 2v.

При k=0 значение L(0) совпадает с известным для однородного сплошного цилиндра [4].

Для решения уравнения (2) применим сингулярный асимптотический метод [3,4], эффективный при достаточно малых значениях X. С целью применения метода Винера-Хопфа [10] использовалась легко факторизуемая аппроксимация функции L(u) (3) выражением

.     Vu²+ B²    Г —   ) u²+ А²G²

А²B   Г — )

C = exp .

L (0)    (102 J

L (u) = —--- exp .        —5---г"

u + с     IVu² +10⁴J u + G

При расчетах брали два случая: 1) железо внутри, цинк снаружи (е=2,12б, v=0,27, v₁=0,28); 2)

алюминий внутри, цинк снаружи (s=0,779, v=0,27, v₁=0,34). В таблице 1 даны значения параметров аппроксимации (5), ее относительная погрешность на действительной оси 9 (%), рассчитанные при использовании метода Монте-Карло при разных относительных толщинах внешнего слоя k.

Таблица 1

Параметры аппроксимации

Механика

Поскольку, как следует из (4), lim L (0) = к ^1

^{1 — v}i

2е(1 -v)(i + v₁)^,

то в случае малых е аппроксимация, рассчитываемая по формуле (5), для тонких внешних слоев должна усложняться путем увеличения числа входящих в нее параметров.

Результаты исследования. В результате применения метода Винера—Хопфа главный член асимптотического решения интегрального уравнения (2) при малых X можно построить в форме

—

L (0) J

(И< 1),

_ю( s) = W(s2+7(s), I (s) = — D sw (s — т) k0(_W²т) d т,

• VL(0)             ⁿ0

W(s) = exp—Bs) + C erf (JBs) + ^{f 1}— 1)Q(AG,s), Vns   BB        V A J

Q (F, s) = -F—C exp(—Fs )erf(J( B — F) s) + C erf(-JBs ). V B — F                  B

Здесь erf(x) ― интеграл вероятностей.

Для интегральной характеристики решения

P =j q (Z) dZ

—1

на основании формул (7) получим выражение

X

—

XL (0),

J (s) = — — [z (s — т) K₀(10² т) d т, ^п о

s —   +

2BC

exp(—Bs) + |- — 11T (AG, s), V A J

T (F, s) = C f s —   + -

¹     BB    2 B C F

—

exp(—Bs)

—

—

• 1    — C) eXPr—Fs) ertiLBlF).

FJ B——F

Как показывают расчеты, погрешность асимптотик (7), (9) при X<1 не превышает (5+9)%, где 9 — погрешность аппроксимации (5).

В таблице 2 приведены значения интегральной характеристики P8^—1, рассчитанные по формулам (9) при разных значениях к и X.

Таблица 2

Значения P8 ¹

Заключение. Как видно из таблицы 2, с уменьшением X интегральная характеристика контактных давлений возрастает, что связано с увеличением площади области контакта. Для случая более прочного материала внутри цинка (железа) контактные давления больше, чем для алюминия внутри цинка. С утончением слоя цинка вокруг железа (при возрастании k) контактные давления существенно возрастают. При утончении слоя цинка вокруг алюминия этого не наблюдается, поскольку модуль продольной упругости (а также модуль сдвига) у алюминия немного меньше, чем у цинка. Найденные асимптотики можно рекомендовать инженерам для анализа контактных прочностных характеристик деталей цилиндрической формы с покрытием.