Контактные задачи о включении в плоском упругом клине

ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА № 4, 2024PNRPU MECHANICS BULLETIN

Контактным задачам теории упругости посвящено большое число монографий, изданных как в нашей стране, так и за рубежом [1-10]. Такие задачи возникают в акустике [11] и динамике [12], исследовании поверхностей с периодическим рельефом [13-17], при касании экрана смартфона [18], в пальпационной томографии [19]. При решении контактных задач для ряда тел канонической формы может применяться метод интегральных преобразований [20], а для тел вращения — метод граничных состояний [21; 22]. Краевые и контактные задачи для упругих тел клиновидной формы изучались в [2; 5; 8; 23-25]. Помимо прямых численных методов были развиты асимптотические методы, позволяющие получать решения контактных задач в аналитической форме [2-5; 8]. Получено точное решение контактной задачи о тонком эллиптическом включении в упругом пространстве [26], интегральные уравнения которой получены на основе решения Миндлина [27]. Рассматривались плоские задачи о тонком жестком [26] или упругом [28] включении в полосе. Исследовались периодические системы включений в упругой плоскости [3; 29]. При помощи регулярного асимптотического метода в трехмерной постановке изучались задачи о единичном тонком эллиптическом включении в однородном [30] или составном [31] упругом клине (двугранном угле), а также о периодической системе эллиптических включений в пространственном клине с жестко заделанными гранями [32]. В настоящей статье, по-видимому, впервые рассматриваются плоские контактные задачи о включении в клине. Для решения интегральных уравнений применяются регулярный и сингу- лярный асимптотические методы, а также метод специальной аппроксимации символа ядра интегрального уравнения, приводящий к замкнутому решению. Последний метод позволяет контролировать точность асимптотических решений, но применим не для всех значений угла клина и коэффициента Пуассона.

Интегральные уравнения и метод специальной аппроксимации

В полярных координатах r, ф рассмотрим упругий клин {rе[0,«); фе[-а,а]} с тонким жестким включением a

ф = a : А) u_r = 0, и_ф = 0; B) и_ф = 0, т_гф = 0.

Для вывода интегральных уравнений смешанных задач А и B относительно неизвестного касательного напряжения т гф=т( r), a < r< b, ф=0, рассматриваются более простые вспомогательные задачи, в которых граничное условие контакта для Ur при ф=0 заменяется заданием напряжения тмр (на всей полуоси r). Решения этих задач находятся при помощи интегрального преобразования Меллина. Затем, используя условие контакта, получаем интегральное уравнение (0 = G4(1 - v)k-1 , к = 3 - 4v )

b oL f т(р) kI ln— | dp = п05 (a < r < b),

I r J

a

, / ,    Г L (u)       г ,

k(t)= I —~^c°s (ut)du, u

А) L (u) =

В) L(u)

2k sh²(au) - 2k¹u²sin²a к sh(2a u) - u sin(2a)

sh(2a u) -к ¹u sin(2a) ch(2a u) - c°s(2a)

Кроме контактного напряжения требуется определить связь между силой T и смещением 5 при помощи условия равновесия включения

b

/т( r )dr = T.

a

Интегральные уравнения (1) можно также вывести из интегральных уравнений соответствующих пространственных задач [30] путем специального предельного перехода к плоским задачам. Поскольку в [30] ядра интегральных уравнений имеют скрытую форму симметрии, предварительно следует их симметризовать путем сдвига контура интегрирования [23, с. 201]. В пределе при a^0, au=t, символ ядра L (u) (1) для задачи B совпадает с известным символом ядра соответствующей задачи о включении в упругой полосе (формула (3.11) в [26]).

Рис. 1. Клин с включением

Fig. 1. Wedge with an inclusion

Важную роль играет асимптотика функций-символов (1) в нуле и бесконечности:

L(u) = Au + O(u³) (u ^ 0),

L(u) = 1 + O(un exp(-2au)) (u ^ »),

A) _л = 2^Ka2 -^2K-‘sⁱⁿ2«, _n = 2,          (2)

2 Ka - sin(2a)

„ , 2a - к ¹ sin(2a) B) A =----------—-,

1 - c°s(2a)

n = 1, a / n.

При a=n, L(u)=cth(nu), задача B соответствует задаче о включении в упругой плоскости. В этом случае интегральное уравнение (1) совпадает с уравнением контактной задачи о вдавливании штампа в упругую полуплоскость и имеет точное решение (формула (6.96) в [5]).

Введем безразмерные обозначения x = X In (r / a)-1, p = X ln (p / a )-1,

X = 2/ln (b / a), g = X5 / a,            (3)

ф(р) = рт(р) / (a 0), T. = T / (a 0).

Параметр X характеризует относительную удаленность включения от вершины клина. В обозначениях (3) уравнение (1) принимает вид

1      Гр-x

/ф(р) k pyidp = ng (I x| < 1).

-1

Для получения приближенного решения уравнения (4) при учете свойств (2) используем метод специальной аппроксимации [5]

L(u) ® th(Au) (-г < u < г).(5)

После взятия интеграла [33]

^Гth (Au)

u

cos (ut) du = - In th -nt-4A в ядре уравнения (4) и введения новых переменных [5] приходим к интегральному уравнению Штаермана о вдавливании двух одинаковых штампов в упругую полуплоскость, имеющему точное решение [1]. В результате получим

_ф( x) =_________________^пg exp^{(n /(}2 A/JI_________________

• 2 AXK(exp(-n /(AX))X/2[ch(п /(AX)) - ch(пx /(AX))]^,(6) т¹ f мj g^K(V^{1 - ex}P^{(-2n /(}A^X))) T = — ф( x) dx =-----------------------.

• • X-1            XK (exp(-n /(A X)))

Здесь K(t) – полный эллиптический интеграл. Относительная погрешность решения (6) не превосходит относительной погрешности s аппроксимации (5) [5]. Решение (6) является точным в задаче А при a=n, L (u )=th (п u) (включение в плоскости с жесткой заделкой по лучу), а также в задаче B при a=n/2, L(u)=th(пu/2) (два симметричных включения в плоскости). Значение погрешности s чувствительно к коэффициенту Пуассона (рис. 2).

Рис. 2. Графики относительной погрешности s(а) (%) для задач А (а) и B (b) при v=0,25 (сплошные линии) и v=0,45 (пунктир)

Fig. 2. Plots of relative error s(а) (%) for problems A (a) and B (b) for v=0.25 (solid lines) and v=0.45 (dashed lines)

В задаче А при любом угле ае(0,п] погрешность s<6 % при v=0,25 и s<4 % при v=0,5. В задаче B при а^п значение s существенно возрастает при любом V. В связи с тем, что погрешность аппроксимации (5) приемлема не при всех значениях а и V, требуется привлечение других методов.

Регулярный асимптотический метод

Для относительно удаленных от вершины клина включений (при достаточно больших X) применим метод разложения решения в ряд по степеням малого параметра X^-1, который основан на следующей лемме [2; 4; 5].

Лемма. При всех 0≤t<∞ ядро k(t) вида (1) можно представить в форме k (t) = - ln t + F (t), и учесть свойства (2). Из леммы следует, что регулярный асимптотический метод применим при X>a-1. Значения a0, a1 и a2 даны в табл. 1.

Таблица 1

Значения постоянных (8) для разных а и V

Values of constants (8) for different а and V

“

F (t) = Г^[L⁽u)^-1]c^os⁽ut) + exp^(-u ) du, u

причем функция F(t) представима при |t|<2α абсолютно сходящимся рядом

F (t) = £ aA^{2 n}, n=0

“ a 0 = rLubl + expC-») ^и,           (8)

u

Разыскивая решение интегрального уравнения (4), (7) в виде ряда по степеням X^-1, приравнивая члены при равных степенях этого параметра, получим цепочку интегральных уравнений с логарифмическим ядром, каждое из которых имеет точное решение. В результате получим асимптотическое решение (X^»)

ф( x ) =

a

n

ⁿ г

^-)— [ L (и) -1] и²n^-1du (2n)! ₀

(n = 1, 2, ...) .

Для доказательства леммы следует разложить cos(ut) в ядре (1) в ряд Тейлора, принять во внимание значение интеграла (формула (3.951.8) в [33])

г

I

exp(-и) - cos( ut)

u

du = ln t

T ^пд

* X

Как показывают расчеты, погрешность асимптотического решения (9) при X>2а^-1не превышает 5 % (такая же оценка была получена в задаче о вдавливании штампа в грань клина [5]). В табл. 2 дано сравнение асимптотики (9) для интегральной характеристики

Table 1

To = XT / g                  (10)

с точным решением (6) для задачи B при а=п/2 и любом V. В выбранном частном случае погрешность асимптотики при X>4n^-1не превосходит даже 1 %.

Таблица 2

Интегральная характеристика (10) в задаче B при а=п/2

T. = ¹ I" Ф^{( x})^dx = g X J         X

-1

2exp (-2D / X) A AAAD

' f 1 + SE^-12 1 Л 2 DD

\ —>—¹----erf. I--+

L ADD  AX 2 AD J \ X

S exp (-2E / X) f 12 (D - E) E^A (D -E)   V X

. (14)

При X^ 0 в характеристике (14) можно учитывать главный член асимптотики

^T. - ²g / (A^X2),

Table 2

Integral characteristic (10) in problem B for a=n/2

что соответствует вырожденному решению (11).

При D<E в формулах (13) и (14) следует перейти к функции

Сингулярный асимптотический метод

Для относительно близких к вершине клина включений (при достаточно малых X) используем сингулярный асимптотический метод [4; 5; 23]. При X^ 0 интегрирование в уравнении (4) можно распространить на всю числовую ось и получить вырожденное решение

erf AD - E)  erfiAE - D)          2 x

—,         - = —.         -, erii(x) = —= exp(t )dt.

4 (D - E)      (E - D)           ТЛ J

ф(x) = g / (AX),                  (11)

Параметры аппроксимации C, D и E и ее относительная погрешность s₀ даны в табл. 3 (параметр F находится из второй формулы (12)).

Таблица 3

которое справедливо вдали от краев области контакта x = ± 1. Приближенное решение при малых X можно также получить в виде суперпозиции решений типа по-гранслоя, несущих корневые особенности в концах включения x = ± 1 и удовлетворяющих интегральным уравнениям Винера - Хопфа на полубесконечном интервале [34]. Для приближенного решения уравнений Винера - Хопфа применяется идея Койтера [35] аппроксимировать символ ядра на действительной оси легко факторизуемым выражением

. им/²+ D²(и²+ E²)    DE²    .

L (и)~ —5---- ----, = A . (12) ^V ’ (и²+ С²)(и²+ F²)     C²F²

Параметры аппроксимации (12) и погрешность £₀ (%)

Table 3

Parameters of approximation (12) and error s₀ (%)

В результате асимптотическое решение при малых X получим в виде

ф(x)=—( ) 2X

Результаты расчетов интегральной характеристики (10) тремя методами приведены в табл. 4.

Таблица 4

Интегральная характеристика (10) в задаче А при a=n/4, v=0,5

z( t )=^exP^(-Dt)+ erf VD + 4 nAt     A

+

S exp (- Et) J A (D — E)

erf (D - E) t,

Table 4

Integral characteristic (10) in problem A for a=n/4, v=0,5

S = -(C-E)(F-E)/ E , где erf(x) – интеграл вероятности.

Интегральную характеристику решения (приложенную к включению силу) на основе (13) найдем в виде

На рис. 3 показаны зависимости интегральной характеристики (10) от угла a. Минимальное отличие между жесткой и скользящей заделкой внешних граней клина наблюдается в окрестности угла клина 2a=3n/4.

Рис. 3. Графики зависимостей T0(α) при λ=3 (а) и λ=0,5 (b) для задач А (сплошные линии), B (пунктир) при ν=0,25

Fig. 3. Plots of relation T0(α) for λ=3 (a) and λ=0.5 (b) for problems A (solid lines) and B (dashed lines) for ν=0,25

b

Рис. 4. Графики зависимостей T1(ν) при λ=3 (а) и λ=0,5 (b) для задач А (сплошные линии), B (пунктир) при α=π/4

Fig. 4. Plots of T1(ν) relation for λ=3 (a) and λ=0.5 (b) for problems A (solid lines) and B (dashed lines) for α=π/4

Отличие между решениями задач А и B нарастает при α→0 и особенно при α→π, когда меняется тип символа ядра интегрального уравнения контактной задачи B с тангенса на котангенс гиперболический (при α=π).

На рис. 4 показаны зависимости интегральной характеристики

T₁=T₀4(1-ν)/κ=λT /(agG) (15)

от коэффициента Пуассона ν (здесь T – размерная сила). Минимальное отличие между жесткой и скользящей заделкой внешних граней клина наблюдается в окрестности значения ν=0,4.

Заключение

Показана близость решений плоских контактных задач о включении в упругом клине, получаемых по методу специальной аппроксимации символа ядра интеграль- ного уравнения и по асимптотическим методам «больших» и «малых» λ. При уменьшении λ (приближении включения к вершине клина) возрастают контактные напряжения и приложенная к включению сила при смещении включения на заданную величину. При жесткой заделке граней клина (задача А) контактные напряжения и сила больше, чем для случая скользящей заделки (задача B). При определенных углах и коэффициентах Пуассона отличие интегральных характеристик решений контактных задач А и B может быть минимальным. Для несжимаемого материала клина (ν=0,5) интегральные характеристики в обеих задачах существенно возрастают. При уменьшении угла клина интегральная характеристика в задаче А возрастает, а в задаче B достигает максимума при некотором остром угле. При необходимости (в задаче B при α→π) можно усложнить структуру аппроксимации (12) в сингулярном асимптотическом методе по типу аппроксимаций Паде.