Краевая задача для уравнения смешанного типа с меняющимся направлением времени в параболической части
Автор: Кумышев Р.М.
Журнал: Теория и практика современной науки @modern-j
Рубрика: Основной раздел
Статья в выпуске: 5 (5), 2015 года.
Бесплатный доступ
Исследована краевая задача для гиперболо-параболического уравнения второго порядка. Вопрос разрешимости редуцирован к исследованию разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.
Уравнение смешанного типа, регулярное решение, функциональные соотношения, функция грина, задача дарбу, задача коши
Короткий адрес: https://sciup.org/140266620
IDR: 140266620
Текст научной статьи Краевая задача для уравнения смешанного типа с меняющимся направлением времени в параболической части
Пусть О = 0'^'0 и uxx - signx • ut, t > 0,
J t^U xx — Utt , t < 0,
+ AA ( x = - 1), BB. ( x = 1)
Q - область, ограниченная отрезками 0 0 к / и
A0B0 (t = h = const), отрезками характеристик область, ограниченная характеристиками
AB ( t = 0)
уравнения (1), Q -
m + 2
AC: x m + 2
( - 1 ) 2 =- 1,
BC : x
+-- m + 2
m + 2
( - 1) 2 = 1
уравнения (1) и отрезком AB ( t = 0) .
При t > 0 уравнение (1) - смешанно-параболическое уравнение с
_ Л Q+=Q+n{x> 0} ~ прямым ходом времени в 1 и обратным ходом времени в
Q + =Q+n { x < 0 }
.
ЗАДАЧА: Найти регулярное в решение уравнения
-
(1) со свойствами:
-
1) u ( x , t ) € C ( Q ) n C '( Q );
-
2) u t ( x ,0) при x > 1 и x ^ 1 может обращаться в бесконечность
интегрируемого порядка;
-
3) u ( x , t ) удовлетворяет краевым условиям
+ u
В области 1 для уравнения xx задачу:
|
u ( - 1, t ) = ф _[( t ), u (1, t ) = ф ( t ), 0 < t < h , |
(2) |
|
u ( x , h ) = ф , ( x ), Ф - 1 ( h ) = ф , ( - 1), - 1 < x < 0, |
(3) |
|
u ( x , t ) Ac = ^ ( x ), - 1 < x < 0, ^ ( - 1) = ф _i(0). |
(4) |
- u, = 0
t рассмотрим следующую u (1, t) = ^1 (t), ux (0, t) = ^0 (t), u (x ,0) = t( x),
Q+ _ u + u. = 0 „ , а в области 2 для уравнения xx t задачу:
u ( - 1, t ) = Ф - 1 ( t ), u ( x , h ) = Ф , ( x ), u x (0, t ) = Ф 0 ( t ).
Используя функцию Грина смешанной краевой задачи (5), решения задач (5) и (6) можно представить в виде :
u 1 +
( x , t ) = J g +| ф0 ( n ) d n + J g +| r? ) d ? — J g^ + ? = 1 ф ( n ) d n ,
5 = 0 n = 0 x —+ 0
t
t
h u + (x, t) = —J G ”| t
<=0Ф0(В ) dn - J G
- 1
h
x =+ 0
Полагая в (7) и (8) получим:
, = , ф ( ? ) a ? + J G -1
t
Ф - ,( n ) d n . ? =- 1
I x ^ 0 , для определения функций т ( x ) и ф 0 (t),
|
t 1 t J G + 5 = 0 Ф 0( 7 ) d n + J G + П = 0 r ( ^ > d ^ — J G ; # = 1 ^ 1 ( 7 ) d n = * 1 x =+ 0 x =+ 0 x =+ 0 |
|
|
h 0 h |
|
|
= — J G " 5 = 0 Ф а ( Л ) d 7 — J G " I n = h V h ( 5 ) d 5 + J G — 5 =— 1 Ф — 1( 7 ) d n , x =- 0 x =- 0 x =- 0 t - 1 t t h 1 |
|
|
J G +| ; = 0 Ф 0 ( п ) d n + J g "1 5 = 0 Ф 0 ( 7 ) d n + J g + П = 0 r ( 5 ) d ; = J lx = +0 J lx = -0 J lx = +0 |
|
|
h 0 t |
|
|
= J G 5 5 =— 1 Ф — 1( 7 ) d n - J G " П = h V h ( 5 ) d 5 + J G - 5 = 1 Ф 1( 7 ) d 7 . x =- 0 x =- 0 x =+ 0 t — 1 0 |
(9) |
При t * + 0 из области О+ получаем соотношения:
Г' (x) - v(x) = 0, r(1) = ^ (0), x > 0, r"(x) + v(x) = 0, r(—1) = ф_,(0), x < 0.
Решения этих задач можно записать соответственно в виде: x1
r ( x ) = f ( x - t ) v ( t ) dt + x f ( t - 1) v ( t ) dt + V j (0), V x e (0,1),
-1 -1
r ( x ) = J ( x - 1 ) v ( t ) dt — x J ( t + 1) v ( t ) dt + ф_ , (0), V x e ( — 1,0).
x —1
Выражения (10) и (11) – есть функциональные соотношения между u ( x ,0) = r( x)
и
ut ( x ,0) = v ( x )
, принесенные на
t = 0 из области параболичности
уравнения (1).
u ( x ,0) = r ( x ), ut ( x ,0) = v (x ), — 1 < x < 1
Решение задачи Коши для уравнения (1) в области ^ , допускает представление
^ m + 2
x +----(—t )~ y m + 2
( 1 — y 2 ) в 1 dy +
у = Г(2 в ) где 1 Г 2 ( в ),
/ п 1
2 m + 2
- , y 2 t J v
V m + 2 )
x +-- m + 2
m + 2
( — t ) 2 y ( 1 — y 2 ) в dy ,
Y 2 =
Г m + 2 ) m + 2 Г (2 — 2 в )
V 4
Г 2(1 — в ) ,
в =-- m-- 2( m + 2)
.
Удовлетворив полученное решение Дарбу задачи Коши условию (4), после элементарных преобразований находим:
v| x - 1 | = y ( x + 1)1 -’- в xx r ( n )(1 + n ) в — 1 ( x — n ) в — 1 d n — / J v ( n )(1 + n ) - в ( x — П ) - в d n .
V 2 2 -1 -1 (13)
После обращения уравнения (13), получим:
т ( x ) = sin n (1 - в ) (1 + x y—,
x
— J (1 + n) в- (x - n)-в ^рд-Idn + dx V 2
— 1
+ sn^l—ElLk(1 + x)1 в — f(x — n) в(1 + n)2в 1 dnV(s)(1 + s) в(n — s) вds = n Y dx — 1
= Ф ( x ) + J v ( x ).
Отсюда, с учетом свойств гипергеометрической функции, после
J ( x )
некоторых преобразований л ' будем иметь:
sin п (1 — в ) ( m + 2 I m + 2 x
t(x) = (1 — 2 в) I I (x — s) 2ev(s)ds nY1 V 4 )
+
+ sin п (1 — в ) (1 + x ) nY 1
x в T J(1 + n) в (x — n)в 4 n^ Idn.
dx —1 V 2 ) (14)
Представление (14) - есть функциональное соотношение между т(x) и v(x), принесенное из гиперболической части на прямую t =0( 1 J(x — t)v(t)dt + xJ(t -1)v(t)dt = k J(x — t)—2вv(t)dt + Ф, (t),x G (0,1) —1 —1 —1 где Ф1(t) и Ф 2(t) известные функции, 1 1 J(x — t)v(t)dt — xJ(t + 1)v(t)dt = k J (x — t)—2ev(t)dt + Ф2(t),x g (—1,0) x —1 —1 .(16) Далее, обращая (16) и (17) как уравнения Абеля, в результате последовательного ряда преобразований окончательно получаем: v(x) — ^ J N(x, n)v(n)dn = Ф(x) —1 . (17) т.е. имеем интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода, где x n — 1 x R(x,s; Я) N(x •n)=ДПрв+«n »J (TT!)!^? ds , жидкостей. –М.: Наука, 1986. –С.287. 4. Шашков А.Г. Системно структурный анализ процесса теплообмена и его применение. –М.: Энергоатомиздание, 1983. –С.279. 5. Любовь Б.Я. Диффузионные процессы в неоднородных твердых средах. -М.: Наука,1981. –С.295. 6. Бубнов В.А., Соловьев И.А. Об использовании гиперболического уравнения в теории теплопроводности //Инженерно-физический журнал, 1977. Т.33. -№6. – С. 1131-1135.
Список литературы Краевая задача для уравнения смешанного типа с меняющимся направлением времени в параболической части
- Азиз Х., Септари Э. Математическое моделирование пластиковых систем. -М.: Неуря, 1982. -С.407.
- Вебстер А., Сеге Г. Дифференциальные уравнения в частных производных математической физики. -М.-Л.: ГТТИ, 1993. -Ч1. -С.283.
- Габов С.А., Светиков А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. -М.: Наука, 1986. -С.287.
- Шашков А.Г. Системно структурный анализ процесса теплообмена и его применение. -М.: Энергоатомиздание, 1983. -С.279.
- Любовь Б.Я. Диффузионные процессы в неоднородных твердых средах. -М.: Наука,1981. -С.295.
- Бубнов В.А., Соловьев И.А. Об использовании гиперболического уравнения в теории теплопроводности //Инженерно-физический журнал, 1977. Т.33. -№6. - С. 1131-1135.
