Краевая задача для уравнения высокого четного порядка
Автор: Пулатова Х.
Журнал: Мировая наука @science-j
Рубрика: Основной раздел
Статья в выпуске: 5 (14), 2018 года.
Бесплатный доступ
В этой статье обсуждается краевая задача для высокого уравнения
Алгебра, математика, уравнения, задача
Короткий адрес: https://sciup.org/140263579
IDR: 140263579
Текст научной статьи Краевая задача для уравнения высокого четного порядка
Для уравнения
2 n d u L[u\ = —5( ) d x 2 n
^-
( - 1 ) n Ц = 0
V ’ dy y
d ku ( 0, y ) d xk
= Ф к ( y ) , к = 0, n - 1,
5 s u ( 1, y )
—J = Ф s ( y ) , s = n ,2 n -1,(4)
оx где функции фk е C4 [0,1], фk (0) = фk (1) = ф[ (0) = ф[ (1) = 0 и удовлетворяют естественным условиям согласования.
Перейдем к исследованию задачи. Если u (x, у) решение однородной задачи, то имеем
Ц uL ( u ) dxdy = 0.
п
Проинтегрировав по частям, получим
d n X
U
д хи
Я 6 U J J А
— dxdy = 0 , n ld у )
откуда автоматически следует единственность решения задачи А.
Решение будем искать в виде бесконечного ряда
ю u (x, у) = Euk (x) sin nky. (5)
k = 1
Очевидно, что (5) удовлетворяет (2). Удовлетворим уравнению (1) к условиям (3), (4). Для этого подставим (5) в (1), тогда получим задачу uk2n) (x) + (-1)n (nk)2 uk (x) = 0, us)(0 )=ФSk, s=0,..., n- 1, uks )(1) = Фsk, s = n ,-,2 n — 1, где фsk = 2j ф5 (у)sin nkydy. 0
Нетрудно получить следующую оценку:
2 n - 1
I uk (x )l- M E ^sk I,
s = 0
где M - некоторая постоянная.
Также справедливы соотношения
„ Г1)
Фsk = O 74 .
Ik 7
Теперь покажем, что ряд (5) сходится. Действительно, м м м
Iu(x,y)|-Е\и((x)|-MЕЫ-MiЕ 4, k=1 k=1 k=1 k и аналогично да да да
Iuy (x, у)|- пЕk2 k (x)|- MnEk2 Ы- M2 Е г, k=1 k=1 k=1 k где Mx,M2 - некоторые положительные постоянные.
Отсюда делаем вывод, что ряд (5) можно дифференцировать почленно и этот ряд является сходящимся.
Значит ряд (5) является регулярным решением задачи А.
Список литературы Краевая задача для уравнения высокого четного порядка
- Филатов А.Н. Асимптотические методы в теории дифференциальних и интегро - дифференциальных уравнений. Ташкент