Краевая задача микромеханики неупругого деформирования композитов с анизотропными слоями

Элементы конструкций в ряде случаев при эксплуатации проявляют нелинейный характер деформирования. В связи с этим является актуальным анализ неупругого поведения слоистых композитов, которые являются распространенным конструкционным материалом. Подобный анализ возможен на основе решения стохастической краевой задачи микромеханики композитов. Постановка задачи в стохастической форме обусловлена множественными отклонениями реальных материалов от идеальной структуры, вызванными в первую очередь различными технологическими факторами.

Рассмотрим краевую задачу для элементарного макрообьема композиционного материала со случайным расположением плоских анизотропных слоев, ортогональных осиХ3. При этом разнородные слои могут быть разориентированы на некоторый угол. Будем считать,что на всех поверхностях раздела элементов структуры осуществляется идеальный контакт, т.е. выполняются условия [[UJ] = 0 и [[о.,]] = 0. где [[а]]означает величину скачка функции а при переходе из одного слоя в другой. U - вектор структурных перемещений.

Уравнения равновесия содержа! лишь по одному слагаемому,в котором дифференцирование проводится по переменной X,:

О,з.з= °-                                                                      (1)

Из уравнения следует, что

Со=<ао>-                                     Ш

Угловые скобки означают операцию статистического осреднения, которая в рассматриваемом случае эквивалентна осреднению по объему.

Геометрические соотношения, устанавливающие связь структурных деформаций и перемещений имеют вид :

е„ =< Г, > +,/ 2(U, }5}, + игД,),                                         (3)

где штрих означает пульсацию случайной величины (в данном случае перемещения), т.е. ее отклонения от математического ожидания

Определяющие соотношения нелинейной среды [2 ]

°,.3=CU^(4)

с^„ = c.^d^,-

где С^ -тензор модулей неупрутого деформирования, !„„,„,- единичный тензор четвертого ранга.определяемый с помощью символов Кронекера:

1ттч=1/2(М.Ч+5т,5Ч.);(

С3з - тензор упругих модулей, wpqnll- тензор материальных функций. Число независимых компонент и структура тензора <арчл„ зависит от анизотропии материала. 1*Ь) - инварианты тензора деформаций (h-l.n; п -число инвариантов).Уравнения (1), (3). (4) образуют замкнутую систему уравнений.

Граничные условия

<^>_Xj|_y =U",                                          (7)

если на границе задан вектор перемещений, или

• >^Dj| 7 ^=S "’                                                                (8)

если задан вектор поверхностных сил S", эквивалентны заданию макродеформаций или макронапряжений соответственно.

Соотношения (4) для ортотропных слоев композиционного материала при совпадении осей упругой симметрии с осями координат можно записать в следующем виде:

^11 =^-UH^ — ^l)^ll    1122 ( 1 ~ ^4 )^22 ^цзД! “ Х6 )S33 ,

О 22   ^-1122 ^   ^"4 )^ 11 *^ ^ 2222 0  ^"2 )^22 ^ ^"2233 О ^ 3 )^ 33 ’ с 33 = С и!, (1 — Х6 )8П + С2233(1 — Х5 )е2, + С3333( 1 — X, )е33 , ст12 = 2С1212(1-Х7)е12, о» = 2С1313(1-Х8)б13, о 2з — 2С2323 ( 1 ~ Х9 )е23 .

Очевидно,что независимые материальные функции неупругого поведения Х(, (а=1.....9) однозначно связаны с компонентами тензора о для рассматриваемого материала.

Для ортотропного тела аргументами материальных функций Хц (а = 1.....9) являются шесть инвариантов тензора деформаций [1]:

-Е11>       — е22’       ~Е33’      - Е 12 ’ *в -Е13>       ~Е23'          ( 1

Аналогично вводятся и инварианты тензора напряжений :

I^,,, 1^О₂₂, 1™=Озз, П^4,=°,2- ^=0.3- 1;³=^2)     (И)

Следует отметить,что инварианты тензоров деформаций и напряжений совпадают с компонентами этих тензоров только в специально выбранной системе координат.оси которой совпадают с главными осями ортотролии.

Экспериментальное определение функций от шести аргументов представляется малореальным. Поэтому следует каким-то образом (на основе теоретического прогноза или установочных экспериментов) упростить определяющие соотношения.В основу упрощения может быть положена гипотеза о линейной связи инвариантов 1^’и I‘^(ч* = 1 .--.3), т.е. Ха = 0 при Х=1.....6. В рамках простейшей теории кроме последней гипотезы могут быть приняты также следующие зависимости :

MW), ^ = 4,...,6.

Как видно из соотношений (8) с учетом (9) для определения этих зависимостей, т.е. построения материальных функций Х„, необходимо осуществить в экспериментах сдвиги по трем взаимно ортогональным плоскостям , параллельным главным осям ортотропии.

Используя уравнения (2), (5) и условие равенства нулю математического ожидания пульсации случайной величины,после преобразования получим следующие уравнения :

• *1 V^^u33^ '-'1133 ^v'22>< ^Vb22 ^V 3333 ' ^ЛХ-ИЗЗ/ ^U3.3~^U'

^> = (< о23 > -2С^'* < е23 >ХС^ )- - U™ = О,

F-" = « о13 > -2СЙЗ < £„ >ХС^;;)- - и^ = о, где i - номер компонента,

< Озз >-< (с^р,зз < Е_н > +С₂₂₃₃< £₂₂ > +С3333 < Е₃₃>ХС,ззз)  >< (С,ззз ) ¹ > ¹ ,

< °2з 2 < (С2323) > < е23 >,

< О13 >= 2 < (C^,,)-' >Ч< Е13 > .

При решении задачи в напряжениях определяющие соотношения можно записать в виде

Е„ W^™,                                        (15)

где I? -компоненты тензора податливостей неупругого деформирования, зависящие от значений независимых инвариантов тензора напряжений. Представив компоненты тензора напряжений как сумму осредненной и пульсационной составляющих п^ =< ст^ >+а^, (а,р=1,2)(16)

и используя уравнения (2) , (5), условие равенства нулю математического ожидания пульсации случайной величины, после преобразований получим следующие уравнения:

F,<0 = [А«(<еп >-ф™) + а®(<822 >-ф^жп*^)-* -а™ =0,(17)

F2(" = [А^(<е„ >-ф(;’)+А«(<Е22 >-ф^ЖО^’)-1 -о^ =0.(18)

Рз*0 = А^(<е12 >-№№Г -о^ =0,(19)

где

A JP д ₌ _т^р jr A =J^P 1^{Р J} 2222^J 1212 '                 ^J 1122^J 1212 ’            ^J 1111"' 1212 ’

A — T^p I^p — fT^p V n — T^p T^p T^p — fT^pVt^{p A}4 ^— Л11Г2222   V1122/ ’  ^ ” ^J 1U1^J 2222^J 1212 \^J 1122 / ^J 1212 *

Значения входящих в уравнения (17)-(19) <е_п>,<£₂₂> и ^<е₁₂^> определяются по соотношениям :

(гп >=(Q,P,+Q2P2)d"‘, где

< е₂₂ >= (Q,P₂ +Q₂^p2)^d"’ -      < 8,2 >= Q₃^p6^d"‘ -

Р, =,

P₂ =2D"‘ xA₄D"‘ >,

P3=,

Q, =<(ф,А,+ф2А2)П"‘ >, q2 =<(Ф,а2+ф2а3)П-' >,

Q3 =<ф3А41)' >, d=P,-P2

P4 =< A,D* >< A,DL >-,

При несовпадении осей упругой симметрии разнородных слоев компоненты тензоров Ср и Jp должны быть преобразованы по известным формулам перехода к общей системе координат. .

Таким образом,как при заданных макродеформациях <Еу>,так и при заданных макронапряжениях <о->, рассматриваемая стохастическая задача сводится к системе N=3n (n-число компонентов композита) нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных пульсаций структурных величин. Решение задачи позволяет строить эффективные материальные функции слоистых композиционных материалов. В частных случаях из полученной системы уравнений (2),(3)-(5) следуют формулы для эффективных упругих модулей [1] и разрешающая система уравнений стохастической краевой задачи для слоистых композитов с изотропными слоями [3].