Краевая задача с нелинейными трехточечными смешанными максимумами

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С НЕЛИНЕЙНЫМИ ТРЕХТОЧЕЧНЫМИ СМЕШАННЫМИ МАКСИМУМАМИ

Рассматривается однозначная разрешимость краевой задачи для системы дифференциальных уравнений с нелинейными трехточечными смешанными интегральными максимумами при заданных непрерывных условиях склеивания. При этом используетсяметод последовательных приближений в сочетании его сметодом сжимающих отображений.

Рассматривается система нелинейных уравнений с максимумами вида x'(t) = F(t,x(8j),x(82), max{x(т) те^ : 82J})’^ t е Ttt

• с краевым условием

x (0) = x ⁰, x (T ) = x^T ,                (2)

где С ( t , x , y , z ) е C ( T ₀ x X ³ ) , T ₀ = [ 0; T ] , 0 <  T <~ , X c R" -ограниченное замкнутое множество, x ( t ) е X - неизвестная n x 1 -мерная векторная функция,

( -,

8 i =8 i t , J K i ( t , s , x ( s )) ds е C ( T₀ x R " )

,

v 0

8 1 ^8 ₂ при t е T ₀, исключением являются три точки

( ti)

0 < t1 < t2 < t3 < T, при которых 81 t,, J K 1 (t,, s, x(s)) ds ti

= 82 t,, JK2(t,,s,x(s))ds i = 1,3 , К, (t, 5,х)е C(/0 xX), . ,V. 0 0 T г = 1,2 , x , x - заданные конечные n x1 -мерные постоянные векторы.

Отметим, что дифференциальные и разностные урав нения со смешанными максимумами рассматривались впервые нами в работах [1-7]. В отличие от этих работ в настоящей работе рассматривается краевая задача для системы дифференциальных уравнений с трехточечными нелинейными интегральными максимумами.

Итак, целью данной работы является изучение однозначной разрешимости краевой задачи для системы уравнений с нелинейными трехточечными смешанными максимумами. При этом используется метод последовательных приближений в сочетании его с методом сжимающих отображений.

Пусть 8 1 < 8 ₂ на множестве T 1 и Т ₃ и 8 1 > 8 ₂ на множестве T ₂ и Т ₄ . где T = [ t , - 1 ; t , ] , i = 1,4 , 1 ₀ = 0, 1 ₄ = T , T и T ₂ и T ₃ и T ₄ = T ₀ .

Однозначную разрешимость задачи (1), (2) будем изучать с помощью следующих условий непрерывного склеивания:

x ( + 1 , ) = x ( - 1 , ), i = 1,2 .                 (3)

Тогда задачи (1)-(3) на отрезке T0 эквивалентны совокупности четырех систем нелинейных функциональноинтегральных уравнений (СНФИУ) примут вид t x (t) = A (x; t) = x0 +

+ J F ( s , x ( 8 1 ), x ( 8 ₂), max { x ( т ) т е [ 8 1 ; 8 ₂ ] } ) ds ,

⁰                                                          (4)

t е T 1

x ( t ) = A ₂( x ; t ) = A 1 ( x ; t 1 ) +

+ J F ( s , x ( 8 1 ), x ( 8 2 ) t 1

, max { x ( т ) | те ^[8 2 ; 8 1 ] } ) ds , t e T , ;

< j.

J

S L1j( s )• j=1

M 1

^s s

8 s , j K ( s , 6 , x , ( 6 )) d 6

j I j                    J

s

-

+

x ( t ) = A ₃ ( x ; t ) = A ₂ ( x ; t ₂) +

+ J F ( s , x ( 8 1 ), x ( 8 2 ) t 2

, max { x ( т )| те [8 1 ; 8 2 ] } ) ds , t e T , ;

x ( t ) = A ₄( x ; t ) = x^T - J F ( s , x ( 8 1 ), x ( 8 ₂), max { x ( т ) | те [8

t

t e T₄

} ) ds ,

■(7)

t i

Через J y i ( t ) dt мы обозначим интеграл J Y i ( t ) dt

T i

= t i - 1

на отрезке T , i = 1,4, t ₀ = 0, t ₄ = T .

Лемма. Пусть выполняются следующие условия:

1) max •

J F ( t , t i - 1 , t i - 1 , t i - 1 ) dt : t e T i ■ <  M i < ~ , i = 1,4; T

• 2)    F ⁽ t , x , y , z ) e Lip ( L i 1⁽ t^ x ; L i 2⁽ t ) | y ; L i з⁽ t ) _k) , 0 < L ij ( t ), i = M~, j = 1?3;

• 3)    ^{8 (} t , u ) ^e Lip ( L j + 3 ) ⁽ t )| „ ) , ⁰ <  P^) ⁽ t ), i = 1,⁴, j = 1,2;

• 4)    K j ( t , s , x ) e Lip ( K j ( t , s ), x ) , 0 <  K ( t , s ), i = 1,4, j = 1,2;

[

• 5)    q i = q i — 1 ⁺ G i ⁽ t ) <  1, G i ⁽ t ) = J i S L ij ⁽ t ) ⁺

T i

j = 1

-

8 j- s , J K j ( s , 6 , x 0 ( 6 )) d 6

+ I ^x 1^{( s} ) - ^x 0^{( s} )||] + ^L 13^{( s} ) ^x

^M. S ⁸ j

j = 1

Г s s, J Kj (s, 6, x1(6)) d6

-

t

8 s J K ( s , 6 , x ₀ ( 6 )) d 6 +

I 0                    J

+ x1(s) - x0(s)|| ]}ds <

. Г з

J ^ S ^L 1 j ^{( s} ) "I x 1^{( s} )

j = 1

s

^{- x} 0^{( s} )| ⁺

+ M 1   S L 1j ( s ) L 1 ( 3 + j ) ( s ) J| K j ( s , 6 )|| "| x 1 ( 6 )

_ j = 1

^{+ L} 13^{( s} ) S ^L 1 ( 3 + j ) j = 1

- x0(6) d6 +

s.

( s ) J| K j ( s , 6 )|| • I x 1 ( 6 ) - x 0 ( 6 )|| d 6 ■ ds <

0                                         ]

+ M i

S L j t ) • L i ( 3 + j ) ( t )J|| K j ( t , s )| ds + j = 1                           ₀

+ L V t ) S L ( з + j ) ( t )J|| K ( t , s )| ds j = 1                ₀

i = 1,4, q ₀ = 0 .

Тогда СНФИУ (3 + i ) имеет единственное непрерывное решение на отрезке T i , i = 1,4 , удовлетворяющее условию Липшица.

Доказательство. Сначала докажем лемму для случая i = 1. Используем метод последовательных приближений. При этом положим следующие условия:

x 0⁽ t ) = ⁰ , t ^e T 1 ,                                              (₈)

x_m ( t ) = A 1 ( x m - 1 ; t ), m e N = { 1,2,3,... } , t e T .

В силу первых трех условий леммы из итерационного процесса (8) получаем

II ^x 1⁽ t ) ^{- x} 0⁽ t )|| <  x^{0 +} M 1 , t ^e T ;             (9)

t

||x 2⁽ t ) ^{- x} 1⁽ t ) I <  J [ L 11⁽ s ) I x 1 ^{( 8} 1 ) ^- x 0^{( 8} °)| ⁺

⁺ L 12 ^{( s} ) x M) ^- x 0^{( 80)}|| ⁺

(|| x ⁰|| + M 1 ) • G 1 ( t ), t e T 1 .

Продолжая этот процесс для произвольного натурального числа m > 2, по индукции получим x011 + M, xm+1 (t) - x m (t) \\ <             [G1 (t)]m, t e T1. (10)

m !

Из оценок (9) и (10) следует, что последовательность функции { x_m ( t ) } , m e N сходится равномерно по t на отрезке T к функции x ( t ) e X , которая является решением СНФИУ (4).

Если положим, что СНФИУ(4) имеет два решения: x ( t ) и y ( t ) на отрезке T , то имеем оценку вида

||^{x (} t ) ^- У ⁽ t ) <

+ m 1

+ L ₁₃ ( s ) max { x 1 ( т )| тe [8 1 ; 8 2 ] } -

- max { x ₀ (т) | т e [8⁰; 8 2 ] } I ds <

t

J

S L 1j(s) ‘Ix(s)- У(s )|l+ j=1

S L 1 j ( s ) L 1 ( 3+ j ) ( s ) J| K j ( s , 6 )|| • I | x ( 6 ) - y ( 6 ) 11 d 6 + . j' = 1                                     0

^{+ L} 13^{( s} ) S ^L 1 ( 3 + j ) j = 1

( s )J|| K “ ( s , 6 )||‘|| x ( 6 ) - y ( 6 )|| d 6 ■ ds <  0                                       ]

t

J Q 1^{( s} ) x ^{( s} ) - y ^{( s} ) ^ds , t e ^T 1 , 0

где через Q 1 ( t ) обозначена подынтегральная функция в

G 1 ( t ) ■

Применяя к выражению (11) неравенства типа Грону-олла-Бельмана на отрезке T , получаем | x ( t ) - y ( t )| = 0 , т. е. решение системы (4) является единственным на от

резке T .

Доказательство леммы в случае i = 2 . Используем метод последовательных приближений в сочетании его с методом сжимающих отображений. При этом положим

следующие условия:

x 0 < t ) = x 1 , t e T - ,

, x                            (12)

xm ⁽ t ) = A 2 ( xm - 1 ; t ) , m ^{e N} , t ^{e T} 2 .

В силу первых трех условий леммы из итерационного процесса (12) получаем

||^X 1⁽ t ) ^{- X} 0⁽ t )|| <  x ^{0 +} M 1 ^{+ М} ₂, t е Т 2 ;      (13)

I xm +1 ⁽ t ) - xm ⁽ t ) 11 <  I| ^A 2 ( xm ; t ) - ^A 2 ( xm -1 ; t )|| <  < | A 1 ( x m , t 1 ) - ^A 1 ( x m -1 , t 1 )|| ⁺

+J E L 2j( s )| Xm (5 m ) - Xm (5 ) + t j^

+ L 23⁽ s ) max { X m ⁽ t ) | те [5 m ; 5 m ] } -

— max { X m ( т ) | те [5 m ^{- 1}, 5 m ^{- 1} ]}|j ds <

+ M 1

' • Г 3

<П£ L „(6)-||Xm (6) - Xm-1(6)|| + о L j=1

E L 1 j ( 6 ) ^L 1(3 + j ) ( 6 ) J| K^ ( 6 , ^ )|| -| X m G) - X m - 1G)|| d S + j = 1                          0

2                 ⁶

+ L 13 (6) E L 1 ( 3+ j ) (6) J || K j ( 6, ^ )|| ■ | X m © - X m -1 ©|| dd ^ = 1               0

+ M 2

■ d 6 +

t

+J

t 1

E ^L 2 j ⁽ s ) ‘I ^X m ⁽ s ) ^{- X} m - 1⁽ s )|| + j■ = 1

2                       s

E ^L2 j ⁽ s ) ^L 2 ( 3 + j ) ⁽ s ) J|| K j ( s , n )|| ‘ ^Xm (П) ^{- X}m - 1 ⁽ П )|| ^d П ⁺ j = 1                          0

⁺ L 23 ^{( S} ) E ^L 2 ( 3 + j ) j = 1

s

⁽ S ) J | I K ⁰ ( S , П )|| ‘ | X m ⁽ П) ^- X m -1 СП)11 ^d П 0

■ ds <

< G 1 ( t 1 ) • || X m ( 6 ) - X m - 1 ( 6 )|| + G 2 ( t ) • || X m ( t ) - X m - 1 ( t )|| <

< q 2 • ^X m ⁽ t ) - ^X m - 1⁽ t )||, t ^{е T} 2 •            (14)

В силу последнего условия леммы из оценок (13) и (14) следует, что оператор А 2 ( х ; t ) в правой части СНФИУ (5) является сжимающим. Следовательно, СНФИУ (5) имеет единственное непрерывное решение, удовлетворяющее условию Липшица на отрезке Т ₂ .

Доказательство леммы для случаях i = 3, 4 можно провести аналогичным образом.

Из доказанной выше леммы следует, что справедлива теорема.

Теорема. Пусть выполняются условия леммы. Тогда задачи (1)-(3) имеют единственное решение на отрезке Т ₀ , которое представимо в виде

^А 1 ( ^X ; t ) , t ^е T 1 ,

A ( x ; t ) , t е T , , x ( t ) = / _x

A 3 ( x ; t ) , t ^е T 3 ,

A ₄ ( x ; t ) , t е T ₄.

В заключение отметим, что в теоретическом отношении результаты статьи являются дальнейшим развитием теории дифференциальных уравнений с максимумами Доказательство теоремы конструктивно и позволяет построить алгоритмы при численных расчетах прикладных задач^ Полученные результаты могут найти применение в теории колебаний и автоматического регулирования^