Краевые задачи для неоднородных систем полигармонических уравнений с приложениями в теории тонких оболочек и пластин

Ряд задач теории упругости, теории гетерогенных сред, теории тонких оболочек и пластин сводится к решению краевых задач для систем неоднородных полигармонических уравнений. В работе предложен численный алгоритм решения систем полигармонических уравнений вида в односвязных областях с кусочно-гладким контуром с заданными граничными условиями. Рассмотрены два случая, когда функция является известной полигармонической функцией и когда функция является также искомой полигармонической функцией. Граничные условия могут иметь вид, аналогичный условиям Дирихле, условиям Неймана, а могут иметь смешанный вид, когда на одной части границы заданы условия типа Дирихле, а на другой - условия типа Неймана. На основе многократного применения оператора Лапласа и метода граничных элементов, в основе которого лежит интегральное тождество Грина, заданная система сведена к системе интегральных тождеств. После аппроксимации границы вписанным N -угольником и дискретизации системы интегральных тожеств последняя сведена к системе линейных алгебраических уравнений, которую удобно представить в виде системы матричных уравнений. Существование и единственность решения следует из существования единственного решения системы линейных алгебраических уравнений. Особое внимание уделено приложению построенного алгоритма к решению задач об изгибе тонких пластин, причем изгибающая нагрузка может быть известной функцией, а может быть неизвестной полигармонической функцией произвольного порядка с заданными граничными условиями. Решена задача об изгибе тонкой пластинки эллиптической формы с известной нагрузкой на поверхности, а также задача об изгибе тонкой квадратной пластинки с неизвестной нагрузкой, являющейся решением гармонического уравнения с заданными граничными условиями. Построены линии уровня и приведены формы изогнутых пластинок.