Критерий оптимальности в условиях неопределенности

В условиях неопределенности лицо, принимающее решение, не может сказать что-либо о возможных состояниях природы, т.е. абсолютно неизвестно, какое из состояний будет иметь место. Для решения данной задачи наиболее распространенным критерием принятия решений является критерий Сэвиджа.

Приведем пример постановки задачи принятия решений.

Предположим, что необходимо выбрать одно из трех (n=3) действий: купить облигации (a1) , купить акции предприятия (a2) или положить деньги в банк на депозит (a3) . Каждое из действий зависит от четырех (m=4) возможных состояний природы, которые являются состояниями экономики в течении одного года: быстрый подъем экономики (w1) , средний подъем экономики (w2) , спад экономики (w3) .

Сожаление в теории принятия решений – это потери в результате упущенных возможностей. Пусть природа находится в состоянии wj . Мера сожаления для k -го действия и j -го состояния природы определяется как разность:

∆ukj = maxuij– ukj

Мера сожаления ∆ukj определяется как разность между максимальным элементом в столбце матрицы полезности и самим значением полезности ukj в этом столбце. Она означает максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если для j -го состояния природы вместо k -го действия выбрать оптимальное для этого состояние действие. Мера сожаления всегда положительна. Согласно критерию минимакса сожалений Сэвиджа, действие ak является оптимальным, если:

maxukj = minmaxuij

Фактически для принятия решений используется критерий минимакса (минимум из максимальных значений), но не для матрицы полезности, а для матрицы сожалений. Используем данный критерий в задаче с вложением денег.

Табл.1 матрица сожалений

	Быстрый подъем	Средний подъем	Неизменное состояние	Спад
Облигации	3	0	1	4
Акции	0	1	4	9
Депозит	8	1	0	0

Обозначив Qi = maxj= ∆uij , можно записать:

Q1 = max (3; 0; 1; 4) = 4;

Q2 = max (0; 1; 4; 9) = 9;

Q3 = max (8; 1; 0; 0) = 8.

Отсюда min(Q1; Q2; Q3) = min(4; 9; 8) = 4, следовательно, оптимальное действие – это покупка облигаций (a1).

Рассмотрим критерий минимакса сожалений Сэвиджа на примере ситуации с компанией «Российский сыр», предположив, что после проведения определенных исследований потенциала рынка, компании стало известно, что спрос на 6, 7, 8 или 9 ящиков ожидается соответственно с вероятностями 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. В данных условиях в качестве показателя эффективности принимаемого решения о производстве того или иного количества ящиков продукции (6, 7, 8 или 9 ящиков) можно рассматривать среднее ожидаемое значение прибыли (математическое ожидание прибыли), а в качестве меры риска решения - среднеквадратическое отклонение для прибыли. Данные характеристики для каждого решения соответственно разные: для 6 ящиков:

x6 = 0,1 • 300 + 0,3 • 300 + 0,5 • 300 + 0,1 • 300 = 300;

Средняя ожидаемая прибыль, равная 317, меньше чем для 8 ящиков (352,5), мера риска - среднеквадратическое отклонение 76 для 9 ящиков больше аналогичного показателя (63,73) для 8 ящиков. А вот целесообразно ли производить 8 ящиков по сравнению с 7 или 6 - неочевидно, так как риск при производстве 8 ящиков больше, но одновременно и средняя ожидаемая прибыль тоже больше. В некоторых работах в такой ситуации предлагается в качестве критерия выбора использовать коэффициент вариабельности прибыли, т. е. отношение риска к среднему ожидаемому значению. Окончательное решение должен принимать генеральный директор компании «Российский сыр», исходя из своего опыта, склонности к риску и степени достоверности показателей вероятностей спроса: 0,1; 0,3; 0,5; 0,1.

Рассмотрим еще один пример более сложной ситуации принятия решений в условиях риска, анализ которой также базируется на среднем ожидаемом значении прибыли. Процесс принятия решения в данном примере осуществляется в несколько этапов, когда последующие решения основываются на результатах предыдущих, поэтому для его анализа используется дерево решений.

Большая химическая компания успешно завершила исследования по усовершенствованию строительной краски. Руководство компании должно решить, производить эту краску самим либо продать патент или лицензию, а также технологии независимой фирме, которая имеет дело исключительно с производством и сбытом строительной краски.

Строительство крупного предприятия 200000 -180000 2 Строительство малого предприятия 100000 -20000 3 Продажа патента 10000 10000.Без проведения дополнительного исследования для руководства компании вероятность и благоприятного, и неблагоприятного рынков одинакова и равна 0,5. Прежде чем принимать решение о строительстве, руководство должно предварительно решить, заказывать ли дополнительное исследование состояния рынка или нет, если известно, что исследование обойдется компании в 10  000 долл. Руководство понимает, что дополнительное исследование по-прежнему не способно дать точной информации, но оно может уточнить ожидаемые оценки конъюнктуры рынка, изменив тем самым значения вероятностей. Относительно фирмы, которой можно заказать прогноз, известно, что она способна уточнить значения вероятностей благоприятного или неблагоприятного исхода. Прогнозы этой фирмы сбываются не всегда: так, если фирма утверждает, что рынок благоприятный, то с вероятностью 0,78 этот прогноз оправдывается, а с вероятностью 0,22 могут возникнуть неблагоприятные условия. Если же фирма утверждает, что прогноз неблагоприятный, то это сбывается с вероятностью 0,73.

Предположим, что дополнительное обследование конъюнктуры рынка не  проводилось, тогда  средние ожидаемые денежные оценки:

для крупного предприятия: 0,5x200 000  - 0,5x180 000 =  10000;

для  малого предприятия:  0,5x100  000  - 0,5x20  000  = 40000;

для патента 0,5x10   000   +   0,5x10   000   =    10000.

Таким образом, если дополнительное обследование конъюнктуры рынка не проводилось, то максимальную среднюю денежную оценку имеет вариант, заключающийся в строительстве малого предприятия.

Предположим, что решили провести дополнительное обследование конъюнктуры рынка и прогноз фирмы, проводившей обследование, оказался благоприятным, тогда средние ожидаемые денежные оценки:

для крупного предприятия: 0,78x200 000 - 0,22x180 000 = 116 400;

для малого предприятия: 0,78x100 000 - 0,22x 20 000 = 73 600;

для патента: 0,5x100 000 + 0,5x10 000 = 10 000.

Данные значения показывают, что при благоприятном прогнозе конъюнктуры рынка максимальную среднюю денежную оценку имеет вариант, заключающийся в строительстве крупного предприятия.

В случае если после дополнительного обследования конъюнктуры прогноз оказался неблагоприятным, ожидаемые средние денежные оценки:

для крупного предприятия: 0,27x200 000 - 0,73x180 000 = -7400;

для малого предприятия: 0,27x100 000 - 0,73x20 000 = 12 400;

• - для патента:

0,5x10 000 + 0,5x10 000 = 10 000.

Следовательно, при неблагоприятном прогнозе конъюнктуры рынка максимальную среднюю денежную оценку имеет вариант, заключающийся в строительстве малого предприятия.

В данном примере ожидаемая денежная оценка при наличии точной информации равна 0,45x116 400 + 0,55x12 400 = 59 200, а максимальная денежная оценка при отсутствии точной информации равна 40 000. Таким образом, ожидаемая ценность точной информации равна:

• 59 200 - 40 000 = 19 200, поэтому исследование, которое стоит 10 000 р., выгодно для фирмы.

Таким образом, в условиях неопределенности, при отсутствии информации о вероятностях состояний среды, принимаемые решения в значительной мере носят субъективный характер. Это объясняется не слабостью предлагаемых методов решения, а неопределенностью, отсутствием информации в рамках самой ситуации. Единственный разумный выход в подобных случаях - попытаться получить дополнительную информацию путем проведения исследований и экспериментов.