Кручение упругопластического стержня, нагруженного давлением вдоль образующей

В предлагаемой работе используются законы сохранений дифференциальных уравнений. Их использование позволяет свести нахождение компонент тензора напряжений в каждой точке к контурному интегралу по границе рассматриваемой области, а это дает возможность построить упругопластическую границу. При этом предполагается, что граница является кусочногладкой.

Упругопластические задачи, в силу их практической важности, уже давно изучаются механиками. Основной проблемой, которая возникает при решении таких задач, является определение упругопластической границы. Условие пластичности накладывает дополнительную связь, и это, по словам Г. П. Черепанова [1], упрощает задачу. С другой стороны, возникает новый неизвестный элемент: упругопластическая граница, затрудняющая решение.

В настоящее время решение упругопластических задач продолжает оставаться в центре внимания исследователей. Появляются новые аналитические подходы к их решению, совершенствуются численные методы. Проведем краткий обзор таких работ. В [2] с помощью законов сохранения решена задача о кручении упругопластического стержня, армированного упругими волокнами. Для решения задачи используются законы сохранения. В [3] рассмотрен упругопластический коробчатый брус, который изгибается поперечной силой. Предполагается, что деформации в стержне упругопластические и боковая поверхность его свободна от напряжений. Центр тяжести поперечного сечения не совпадает с точкой приложения силы. С помощью законов сохранения построено точное решение, описывающее напряженное состояние этой конструкции, которое вычисляется в каждой точке рассмотренной фигуры с помощью интегралов по внешним контурам поперечного сечения. В [4] исследуется упругопластическое кручение многослойного стержня, который состоит из нескольких слоев. Упругие свойства слоев различны, но коэффициент пластичности у всех слоев одинаков. В статье построены законы сохранения, позволившие вычислить компоненты тензора напряжений с помощью контурных интегралов по границе слоев. В [5] рассматривается упругопластическое кручение анизотропного трехслойного цилиндрического стержня некругового поперечного сечения. Внутренний слой стержня находится в упругопластическом состоянии, два внешних слоя полностью пластические. Предполагается пластическая анизотропия. Параметры анизотропии каждого слоя различны. В [6] рассмотрено решение задачи определения упругопластического состояния тяжелого пространства, ослабленного отверстием эллиптической формы. Материал среды обладает свойствами анизотропии. Решение задачи выполнялось методом малого параметра. Кручение двухслойного стержня коробчатого сечения рассмотрено в [7]. В [8] численными методами рассчитывается напряженно-деформированное состояние связующего композитных материалов. Расслоения стальных труб при сложном нагружении моделируются в [9]. Упругопластический анализ круговой трубы, вывернутой наизнанку, проведен в [10]. В [11] изучается влияние типа плоской задачи для упругопластического адгезионного слоя на значение J-интегралов. В [12] в рамках одной модели больших упругопластических деформаций рассматривается нестационарная динамика среды, не связанная с дополнительным накоплением пластических деформаций к уже имеющимся. Показано, что в общем случае каждая из упругих волн может сопровождаться скачкообразным поворотом пластических деформаций. В [13] изучен процесс производства необратимых деформаций во вращающемся цилиндре, изготовленном из материала с упругими вязкими и пластическими свойствами.

Постановка задачи

Имеется упругопластический стержень постоянного поперечного сечения, который находится под действием линейного гидростатического давления и пары сил, которые скручивают его вокруг центральной оси, совпадающей с осью oz .

Предполагаем, что выполнены следующие условия cr = -X z + C, ст,, = -Xz + C, ct_ = -X z + C, т„, = 0, x                 y                 zxy тxz = u (x, У), тxz = u (x, У),тyz = v(x, У)•(1)

В этом случае уравнения, описывающие упругую деформацию в стационарном случае, имеют вид ux + v„ = X, vx -u., = -2а.(2)

xyxy

Система (2) состоит из уравнения равновесия и уравнения совместности упругих деформаций.

В пластической области система имеет вид ux + Vy — X, u + v = k .(3)

Здесь ст _x , ст y , ст _z , т xy , т _xz , т _yz - компоненты тензора напряжений; X , а = G 0 , k - постоянные; G - модуль упругости; 0 - угол кручения; к - постоянная пластичности, равная пределу текучести при чистом сдвиге.

Предполагается, что боковая поверхность стержня свободна от напряжений и находится в пластическом состоянии, поэтому систему (1) следует решать со следующими граничными условиями un1 + vn 2| L = 0,    и2 + v2 = к2.                                    (4)

Здесь n ₁, n ₂ – компоненты вектора внешней нормали к кусочно-гладкому внешнему контуру L , ограничивающему конечную область S .

Замечание 1. Если а = 0, задача (4) для системы уравнений (2) с точностью до обозначений совпадает с задачей [1]. В [1] показано, что в этом случае для задачи (2)–(4) решение существует и единственно, если стержень имеет овальное сечение и - 1/ Х> к / GR min , где R m in - минимальный радиус кривизны кривой L .

Замечание 2. Случай, когда X = 0, а ^ 0 соответствует классическому случаю упругопластического кручения, рассматриваться не будет. Рассмотрению его посвящена работа [1].

Для удобства запишем уравнения (2) в виде

F = их + vv -X = 0,F =-uv + vv + 2а = 0,

1xy2 решим краевую задачу (2), (4) с помощью законов сохранения.

Законы сохранения системы уравнений (2)

Определение. Законом сохранения для системы уравнений (2) назовем выражение вида

Ax + By = й1 F + Й2 F2,(6)

где й 1 , й ₂ - линейные дифференциальные операторы, одновременно не равные нулю тождественно.

A = а1 u + Р1 v + у1, B = а2 u + р2 v + у2,(7)

а ¹, р ¹, у ¹, а ², р ², у ² - некоторые гладкие функции, зависящие только от x , у .

Замечание 3. Более общее определение закона сохранения, подходящее для произвольных систем уравнений, можно найти в [14].

Из (6) c учетом (7) получаем аYu + а их + р Yv + р vY + у Y + аил + а uv + рVv + р vv + у v = x    x  x    x x y    yy    yy

= й1( ux + vy -X) + й2(-uy + vx + 2а)-

Из (8) следует а x + а у = 0, р x + ру = 0, а = й^, р = СО2, а = —й2, р = й^, у x + у у = -Хй1 + 2ай2.

Отсюда получаем а1 =р2, а2 =-р1.(9)

Поэтому аX-ру = 0, ау +px = 0, уX +у у = -Ха1 + 2ар1.(10)

Из приведённых формул следует, что система уравнений (2) допускает бесконечно много законов сохранения; далее будут приведены только те, которые позволяют решить поставленную задачу.

Сохраняющийся ток имеет вид

A = а 1 u + Р ¹ v + у 1 , B = -р 1 и + а 1 v + у ².

Из (6) по формуле Грина получаем jj (Ax + Ву) dxdy = С-Ady + Bdx = 0,                        (11)

SL где S – область, ограниченная кривой L.

Решение задачи (2), (4)

Для нахождения значений u , v внутри области S необходимо построить решения системы (10), имеющие особенности в произвольной точке ( x ₀, у ₀) е S .

Первое из таких решений имеет вид

1 _        T T o           1 _        y - y 0

a              л              7 , P              77,

( X - X 0 ) + ^{( y} - y 0 )         ^{( T} - X 0 ) + ⁽ y - y 0 )

y1 = 2a ------y—y0-----г dx = 2a arctg ——Xo-,(12)

^J ( x - x 0 ) + ( y - y 0 )                 y - y 0

у ² = -x[------ ^X—^X 0----- 2 dy = -X arctg y—y ⁰.

J (X-X0) + (y -y0)

В точке ( x ₀, y ₀) e S функции a ¹, p ¹ имеют особенности, поэтому окружим эту точку окружностью

е : ( x - X о )² + ( y - y о )² = s ².

Тогда из формулы (11) получаем

$ - Ady + Bdx + $ - Ady + Bdx = 0,                       (13)

L                  е вычислим последний интеграл в формуле (13). Имеем

- Ady + Bdx = $ - (---- U i l-Xo^ v ^{( y - y} o )    + y 1 ) dy +

I               ; ( X - X 0 ) + ( x - X 0 )    ( x - X 0 ) + ( x - X 0 )

-      ^{u (} y ^- y 0 )

+

v ( X - X 0 )

^{( x - x} 0 ^{)2 + ( y - y} 0 ⁾²

Л

+ y ² dx .

Введем новые координаты x - x ₀ = s cos ф , y - y ₀ = s sin ф . Получаем

2 п

$-Ady + Bdx = j [-(u cos ф + v sinф)cos ф- (u sin ф + v cos ф)s in ф]dф = е                      0

2п j udф = -2пu(x0,y0).

Последнее равенство получено по теореме о среднем при е ^ 0.

Для окончательного построения решения найдем значения u , v на границе L . Из формулы (13) получаем

2п u (x0, y 0) = cj-(-a1 n 2 + р1 n1 +у1) dy + (р1 n 2 +a1 n1 + у2) dx.(15)

L

Второе решение системы уравнений (10) возьмем в виде

„ 1 _       y - y 0          R1 _ _ x xo a              7             7, P                77,

^{( x - x} 0 ) ^{+ ( y - y} 0 )           ^{( x - x} 0 ) ^{+ ( y - y} 0 )

y1 = -%[------y—y0-----— dx = -X arctg -—Xo-,(16)

^J ( x - x o )² + ( y - y o )²                y ^- y 0

у ² = - 2 a j------ ^X—^{X o}----- 2 dy = - 2 a arctg y—— .

^{( x - x} o ) + ^{( y - y} o )                  ^{x - x} 0

Проделав выкладки, аналогичные выкладкам, проделанным с решением (12), получаем

2 n v ( x₀ , y 0 ) = ^ - ( -a ¹ n ₂ + p ¹ n 1 + у ¹) dy + ( p ¹ n ₂ + a 1 n 1 + у ²) dx .                  (17)

L

Заключение

В работе построены законы сохранения для системы уравнений (2), описывающие кручение упругопластического стержня, находящегося под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей. Используя построенные законы сохранения, найдены компоненты тензора напряжений a_xz , c _yz по формулам (15) и (17), которые позволяют определить упругопластическую границу в рассматриваемом стержне.