Впервые в работе [1] Ц.Б. Шойнжурова исследовались весовые кубатурные формулы в пространстве C. Л. Соболева W_p^m ( E_n ) с нормой

p

m

p

, 1 <  p < да ,

II ¹ W ; = J ^{(1 -A )! 1} x) dx

L En                       J

В статье В.И. Половинкина и Л.И. Дидур [2] изучались весовые кубатурные формулы в пространстве С.Л. Соболева L^m_p с нормой

II ¹ ₄ =-

E n

m ! z wx )

^ a . |a |= m

m

p dx

p

В этой работе доказано, что весовые кубатурные формулы с регулярным пограничным слоем в пространстве L m _p при нечетном m асимптотически оптимальны при h ^ 0 .

В нашей работе рассматриваются кубатурные формулы в пространстве W m ( E n ), 1 <  p < да с нормой

II ¹ II w m

a .         \p ^p

= J2 Ц ^ ¹ x ) dx ,1 <  P <^да ,

E„ a <  ■ a

p

n

зависящей от функции и ее производных.

Основные обозначения и терминология

E n — n - мерное евклидово пространство, x — точка пространства E n , R - множество n — мерных целочисленных векторов, | ( x ) — скалярная функция в E n , P_m ( x ) — многочлен степени не выше m , fi — ограниченная область в E n с кусочно-гладкой границей Г = r ( Q ), s _n ( x ) — характеристическая функция области fi , mesQ. = |Q| — объем области fi , N — число узлов кубатурной формулы, ^{mes fi} пл                  и                     ™                                „

-----= h , h — шаг решетки, H — квадратная матрица порядка I n х n l , E — единичная матрица, N

Q ₀ - фундаментальная область для матрицы H , т.е. такая, что характеристическая функция s _Qo ( x ) области Q ₀ удовлетворяет при всех x тождеству T Q ₀ ( x - в ) 1, А = { x е E n = 0 <  х, <  1, i 1,2, . = , n } - фундаментальный n - мерный единичный куб, β

А n - куб объема h", А he - куб, полученный из куба А n переносом на вектор he, Ahe = А he nQ и mesА^в * hn, р(x,r(Q))- расстояние между точкой x е En и границей r(Q), a = (a1,a2,...,an) - мультииндекс:

= x a ¹ x a ...x ^ " , D ^aф (x ) =

d ^аф ( x ) ( d x ) ^a

- частная

производная

порядка a | функции многих переменных, B ₀ - некоторое конечное множество целочисленных векторов, l а ⁽ x ) = ^s а ^{( x} ) ^- T C _Y‘ 5 (x - у ' ) -элементарный функционал погрешности, supp l _А ( x ) - носитель Y ’e B 0

функционала l _А ( x ), C ” ( Q ) - пространство финитных бесконечно дифференцируемых в Q функций, S -пространство Шварца, C m ( Q ) - пространство, состоящее из равномерно непрерывных в Q функций, имеющих равномерно непрерывные в Ω производные до порядка m включительно и конечную норму II ф|| C m < п ) = sup ^ “ ф ( x )|. Вместо суммы T — ф “ ф ( x )| p иногда пишется T ^ “ ф ( x )| ^Р .

I a

Пусть B - банахово пространство, B* - его сопряженное пространство. Пространство B вложено в пространство C непрерывных функций: B с C

Рассмотрим весовую кубатурную формулу

N

J p(x ф( x)dx -% £ скф( xk),

Q гдеp(x) е Lp‘(Q),xk = (x1(к),x2к),...,x"к)), с функционалом погрешности вида

(lQ,p (x), Ф(x)) = ( sQ (x)p(x) - 'NT Ck5(x - xk )ф(.x)),(2)

\                     к=1/ где фе B и lQp (x) е B *.

Норма функционала погрешности lQ p (x) е B* определяется формулой lQ p ,ф)

IIlnils- = SUP И---= SUP (lQ, p,ф = d (xk, Ск (p X N)

B      ф *0    |ф|| B=

Пусть x = {x_k = (x^{( к}), x 2^к),..., x"^к)), к = 1,2,..., N }-узлы       кубатурной формулы,

C = {С_к, p е L_p, (Q), к = 1,2,..., N}-коэффициенты, (x, c) - совокупность узлов и коэффициентов.

Кубатурная формула (1) с функционалом погрешности lQ(x) (2) называется оптимальной в пространстве В, если

0                КХ) „, ф/ lQ   = inf sup          = d (x«, ск, N)                          (4)

B. ^(x,^c) ф*0     |ф|B

Операцию нахождения минимума (4) по x_k, с_к называют экстремальной задачей теории кубатур-ных формул.

Функция ф₁ (x) е B, если она существует, реализующая минимум выражения (4), называется экс0 тремальной функцией функционала 1 n (x).

Пусть узлы формулы (1) расположены на решетке Г(^hH0), det H = 1, x_k = hHP_k, k = 1,2,...,N.

a

Функционал погрешности 1 й p (x, c N) с узлами на решетке, зависящий от вектора С и N, назы- a вается асимптотически оптимальным, если 1й p (x, С, N) е B* и выполняется условие:

• ¹    й, p

  lim

  N ^x

  
  

  a

  ¹ й, p

  
  

  B *

  
  

  B^ = 1.

  
  

  Основные пространства

  Пространство Wp (En), 1 < p определяем как множество функций, интегрируемых в p -й степени на En вместе со своими всевозможными частными производными до порядка m включительно.

  Норма функции ф(x) в Wm (En) определяется формулой

  
  

  II V= w;

  
  

  J X lay |d“vfx)|^pdx , En a|<m a !

  
  

  1 <p.

  
  

  n

  
  

Аналогично определяется норма функции ф(x) в Wm (й)

ф II

1и IIwm (й )

J X И!|D>(x)pdx й —<m ^—

p

< X .

Пусть й - ограниченная область в En с кусочно-гладкой границей Г = Г(й). Тогда существует линейный ограниченный оператор продолжения Пф = ф, переводящий Wm (й) в Wm (En) и обладающий следующими свойствами:

• 1.    ф(x) = ф(x) при xей

• 2.    1Ф IIWm_(E ) = CHl Wm_(й), где С — постоянная, не зависящая от x.

Введем пространство Wp¹ (й) как замыкание C ” (й) по норме

II^фw; (й) = inf HI L; (E„), где ф( x) = ф( x) при x ей и нижняя грань берется по всем ф е C ” продолжением на все пространство E_n .

Норма функции в пространстве Wm определяется предельным равенством

p

< X .

IIф IIw- =^lim J" X at|^D—Ф^(x)^pd^{x W},   p^x

E„^—I < ^{m —}

n

В работе Ц.Б. Шойнжурова [1] показано, что lim [ X -—- ^“ф(x)|p dx p^^

E I—< m ^— •

n

p

= sup vrai\D“ф( x )| = Мф, xеEn la<^{m 1              1}

т.е.  М w; = ^Мф.

Линейные функционалы в Wm .

Общий вид линейного функционала (2) связан с фундаментальным решением m -метагармонического уравнения.

Фундаментальное решение m -метагармонического уравнения ^m

(1 -Д)"ф(x) = £(-1) a Д^аф(x) = 6(x)

a =0

имеет вид

ф( x) = s 2 m (|x|) = F- [(1 + M²)" ] =

2 ^m-lГ(m)

Kn-2m„

2 ' ^xl)

n-2 m x '

,

где K_a (x) - функция Макдональда порядка a .

Ц.Б. Шойнжуровым в [1] приведены оценки:

| Ds2 m (|x ) < C.

е-И n-2m+1, |x| > 1, n, m, s - ллюбы

I x| ”

In|x|, |x| < 1, n - 2m + |s| = 0, |s| - четное

x

Uxf

_n2_m+s , |x| < 1, n - 2m + |sI > 0, n - 2m + |s| = 0, |s| - нечетное

|2 m n s, |x| < 1, n - 2m + |s| < 0,

где C непрерывно зависит от n, m, s и не зависит от x.

Лемма. Пусть 1 < p< да, — + — = 1, pm > n, ф₀ e Wpm. Тогда m -метагармонический оператор Р Р'

(1-Д)^m переводит функцию ф₀(x) в обобщенную функцию (1 -Д)^mф₀ = 1_np(x) e W_p^m и выражение

(1П, Р ,ф = J £ °аф0( x) Daф( x) dx, ^фЕ Wpm En a < m представляет собой ограниченный линейный функционал над пространством Wm .

Доказательство: Рассмотрим выражение фф0,фА) = j ^Гпаф0(x)Пафк (x)dx, En a

По определению обобщенной производной из (6), получим

(Ф0,Ф_А)   J £ ^(-1)aD²“ф0(x)фh⁽x)dx = J £ ^(-1)“^|дНФ0(x)Фh(x)dx =

En l“l<^m                                                   E„ l“l<^m

= J (1^-Д)^mФ⁽^)Ф h⁽x)dx = J¹Пр^(x )фи^(x)^dx^ф^ЕWpm. ^EnEn

Левая часть выражения (7) имеет предел при h ^ 0, равный ^1П р ,ф, следовательно, правая часть также имеет предел и J 1П pф(x)dx существует Vф e Wp1. Из равенств (6) и (7) при h ^ 0 следует пред-En ставление функционала

11n, p (x), ф( x)) = J Y^^o( x) D“v( x) dx.

En la^{5 m}

Линейность функционала 1_np (x) очевидна, докажем ограниченность.

J¹ n,p^(x)Ф^(x)^dx = J 2^D“ф0^(x)^D“ф^(x) ⁵⁵

En 1“^{5 m}

En

(.

J 2 D-Ф о(x )| p

VEni “1^5m                  )

p

(

J,Z |^Daф(■x)|

VEni “1^5m

p

)

p

= ^Фо|V” ||^ф| wm

Следовательно, 1_{n p} (x) - ограниченный линейный функционал из Wp¹ .

Лемма доказана.

Воспользовавшись равенством (7), найдем общее представление функционала (5).

Теорема. Пусть pm > n, 1 _np (x) - произвольный финитный функционал общего вида из про-

*    mrrm странства финитных функционалов S с Wp . Тогда существует функция u (x) = 82m (x) * 1 n p (x), являющаяся единственным решением m- метагармонического уравнения

(1 -A) ^mu (x) = 1 n, p (x),                                     (8)

и функционал погрешности общего вида имеет следующее представление:

(1 np • Ф = J2(D ■ 2 m (x) * 1n, p (x ))D“ф( x) dx, Уфе W.              (9)

En “1^{5 m}

Доказательство. Производная порядка a от 8_2m (x) удовлетворяет следующим оценкам:

2 m - n -1

e-x |x| ², |x| > R, n, m - любые

|DX. (x) 5 C -

lnx,

I I m - n ^x

|x| < R, n - m = 0,

|x| < R, n - m > 0 или n - m = 0,

1, |x| < R, n - m< 0

Покажем, что u e Wp” . Для этого следующий интеграл разобьем на два интеграла:

p'                                                                                           Ip'

J 2 ^D“⁸2m^(x) * ¹ n,p^(x)| ^dx = J 2 ^D“⁸2m⁽x) * ¹П,p⁽x)| +

En |“|5m                                            x|

+ J 2 D“82m (x) * 1 n,p (x)| dx = 11 + 12.

|x|>Rn |“|^5m

Рассмотрим интеграл: p'                                                           Ip'

11 5 Csup J|d“8_2m (x) dx 5 C 1 J|D^m8_2m(x) dx.

I “1^{5 m}|x|5 R                                      |x|5 R

Пусть n - m > 0 или n - m = 0. Переходя к полярным координатам в (11) и учитывая условия вло жения pm > n и то, что p > 1, имеем:

r                              pm - n

11 5 C J Jr^(m-n)^p'r^n-1drdO 5 Cr"^7- |R< m .

⁰ |e| =1

Если n - m< 0, очевидно, 11 < m.

Если n - m = 0, то

11 5 C

,            R ^p'                  R p^-1

J|ln|x|pdx 5 C J|lnr| rn-1 dr = C J rp x| 5 R                      0                             0

p

In r dr< m.

Из оценок (10) следует оценка интеграла I₂:

Из неравенств (12)-(14) следует, что u∈W_p^m′ . На основании леммы находим вид функционала lΩ_,p в виде интеграла (8) ∀ϕ∈W_p^m .

Теорема доказана.

Статья выполнена при поддержке аналитической ведомственной целевой программы Министерства образования и науки Российской Федерации «Развитие научного потенциала высшей школы» (2009-2010 годы), регистрационный номер: 2.1.1/1533.