Лазерные пучки Эрмита-Гаусса с орбитальным угловым моментом

Моды Эрмита–Гаусса (ЭГ) известны в оптике с 1966 года [1]. Элегантные пучки ЭГ описываются функциями с комплексным аргументом. Эти пучки впервые рассмотрел в 1973 году A.E. Siegman [2]. В [3,4] рассмотрены обобщённые пучки ЭГ, которые также являются решением параксиального уравнения распространения и имеют явный аналитический вид. Эти пучки при определённых параметрах переходят в моды ЭГ [1] и элегантные пучки ЭГ [2]. В [5] с помощью астигматического модового конвертора модa ЭГ высокого порядка преобразовывалась в моду Ла-герра–Гаусса (ЛГ), обладающую фазовой сингулярностью. В [6] был рассмотрен интерференционный модовый π/2-конвертор. В [5] также получена формула, позволяющая получить моду ЛГ как конечную сумму мод ЭГ. Например, для того чтобы получить моду ЛГ с топологическим зарядом 2, требуется сложить минимум три моды ЭГ с определёнными комплексными коэффициентами. В [4] показано, что можно получить световое поле с любым целым ОУМ, сложив только две моды ЭГ с определёнными номерами. В [7] c помощью астигматического модового конвертора формировались пучки Эрмита–Лагерра– Гаусса, обладающие дробным ОУМ.

В данной работе рассмотрены вихревые моды Эрмита–Гаусса (ВЭГ-моды). Эти пучки являются суперпозицией ( n +1)-й моды ЭГ. Комплексная амплитуда ВЭГ-мод пропорциональна многочлену Эрмита n -й степени, аргумент которого зависит от действительного параметра a . При | a | < 1 на вертикальной оси в поперечном сечении пучка имеются n изолированных нулей, которые порождают оптические вихри с топологическим зарядом +1 ( a <0) или –1 ( a >0). При | a | > 1 у ВЭГ-моды аналогичные изолированные нули лежат на горизонтальной оси. При | a | = 1 все n изолированных нулей собираются на оптической оси в центре пучка и порождают оптический вихрь n -го порядка и ВЭГ-мода совпадает с модой Лагерра–Гаусса по-

рядка (0, n ), а при a =0 ВЭГ-мода совпадает с модой Эрмита–Гаусса порядка (0, n ). Рассчитан орбитальный угловой момент (ОУМ) ВЭГ-мод, который зависит от параметра a и меняется от 0 (при a =0 и a → ∞) до n ( a = 1). Показано, что две моды с разными номерами n и m – ортогональны, а две моды с одинаковым номером, но разными значениями параметра a не ортогональны.

1. Комплексная амплитуда ВЭГ-моды

Комплексная амплитуда ЭГ – моды имеет вид [1]:

E nm ( X ,y, Z ) = i n ⁺ m

x exp

x exp

где

^Z 0 =

w

w ( Z )

2 x

(Z ).

2 y

. w ( Z ).

x2 + y2 + ik (x 2 + У 2) w2 ( z )     2 R ( z )

- i (n + m +1) arctg

kw ²

2,

w ( z ) = w

R ( z ) = z

w – это радиус перетяжки Гауссова пучка, R ( z ) – радиус кривизны волнового фронта Гауссова пучка, z ₀ – длина Рэлея, k – волновое число света, H_n ( x ) – многочлен Эрмита. Пучки ЭГ (1) не имеют ОУМ. Линейная комбинация пучков ЭГ с действительными коэффи-

циентами тоже будет иметь ОУМ, равный нулю. Отличным он нуля ОУМ может быть только для линейной комбинации пучков ЭГ с комплексными коэффициентами [4,5]. Рассмотрим линейную комбинацию мод ЭГ (1) при z =0 с определёнными коэффициентами:

\ I X 2 + y 2 )

U n ( x , У , z ) = i exp I-- 2— I^х

2. Орбитальный угловой момент ВЭГ-моды

Получим выражение для ОУМ светового поля (5).

Найдём ОУМ такого пучка по формуле [9]:

I d E   d E

J_z = Im E I x-- y — I d x d y .

jj (a y     a ^x j

A n ! ( ia ) k , x x

- kn k H k ⁽ ‘ ) H n - k ⁽ y ) ,

где a – действительный параметр. В (3) ввели безразмерные координаты 2X x / w A x , 41y / w A y .

Используя справочное выражение из [8]

Строго говоря, в (7) показан не весь ОУМ, а только усреднённая по поперечной плоскости его проекция (определённая с точностью до константы) на оптическую ось. ОУМ (7) сохраняется по мере распространения пучка [9], и поэтому его можно вычислять в любой плоскости, например, при z =0. Подставив (3) в (7), получим:

J z = - n 2 ⁿn ! l 2 na ( 1 + a ² )

-JtA;H‘( x ) Hn - k ( y )= k=0 k !( n - k )!

n /2

= ( 1 + 1 ² )    H ,

tx + y

V i+ 1¹

При выводе (8) воспользовались свойством ортогональности функций Эрмита–Гаусса [8]:

да

J exp ( ^{- X 2} ) ^H n ^{( X} ) ^H m ^{( X )d x} = Тя ² n ⁿ ! 5 nm ,        ⁽⁹⁾

-да

вместо (3) получим выражение для комплексной амплитуды ВЭГ-моды:

U n ( x , y , z ) = i n exp

2     2 A x + y I

2 J

х ( 1 - a ² ) n ^/2 H n

iax + y I

V1 - a ² J

Так как в сумме (3) сумма номеров ЭГ-мод одинакова для всех слагаемых ( k +( n – k )= n = const), то все ЭГ-моды в линейной комбинации (3) имеют одинаковую фазовую скорость (одинаковые фазы Гоу ( n + m + 1) arctg( z / z 0 )), и поэтому весь пучок (3) тоже является параксиальной модой и распространяется без изменения поперечной структуры интенсивности (с точностью до масштаба и вращения). Но если исходные ЭГ-моды (1), из которых составлен пучок (5), имеют нулевой ОУМ, то пучок (5) имеет ОУМ, отличный от нуля (если n ≠ 0).

Из (5) следует, что при a =0 ВЭГ-мода совпадает с обычной ЭГ-модой с номерами (0, n ), а при a → ∞ ВЭГ-мода совпадает с обычной ЭГ-модой с номерами ( n , 0). При n =0 ВЭГ-мода (5) совпадает с обычным Гауссовым пучком. Найдём, предел амплитуды (5) при a → 1. Член многочлена Эрмита H n ( x ) имеет максимальную степень, равную (2 x ) ⁿ , поэтому при a = 1 из (5) получим:

где δ nm – символ Кронекера. Для того, чтобы ОУМ не зависел от мощности лазерного излучения, рассмотрим нормированный на интенсивность ОУМ. Мощность пучка (3) описывается выражением:

I = JJ E * E d x d y = n 2 n n ! ( 1 + a ² ) n .              (10)

B ²

Поэтому нормированный ОУМ (ОУМ, делённый на мощность пучка) для ВЭГ-моды равен:

J_z _ 2 an

T1 + a ² .

Интересно, что ОУМ (11) совпадает с ОУМ пучков, состоящих из линейной комбинации всего двух мод ЭГ, которые были рассмотрены авторами ранее в [4]. Из (11) следует, что при a = 1 ОУМ ВЭГ-мод равен целому числу

^y = - n . (12)

U n ( x , y , z ) = i n 2 ⁿ exp

X + y 1/.      \n

--------- ( iX + y )

2 J^v

Из (12) следует, что так как при a = 1 ВЭГ-мода совпадает с обычной модой Лагерра–Гаусса с номером (0, n ) (6), то и ОУМ будет равен по модулю топологическому заряду оптического вихря exp( in φ).

Заметим, что при некоторых значениях n ОУМ будет равен целому числу и при значениях a ≠ 1. Например, при a = 1/2 ОУМ (11) будет целым числом при n , кратных 5: при n =5 J z / I =–4, при n = 15 J z / I =–12 и т.д. Из (11) следует, что при a =0 и a → ∞ ОУМ равен нулю.

= ( - 2 )

exp ( - in ф ) .

3. Численное моделирование

Перепишем (5) в размерных переменных: f 2     2 A

I X ² + y ² I

E n ( X , y , Z = 0 ) = i exp I-- 2— |x

( w J

где r = ( x ² + y ²)^1/2, ф = arctg (y / x ).

Из (6) следует, что ВЭГ-мода при a = 1 совпадает с обычной модой Лагерра–Гаусса с номером (0, n ).

х ( 1 - a ² ) ^{n / 2} H n

V² ( iax + y )

w 4 1 - a ¹

По формуле (13) была рассчитана интенсивность и фаза в начальной плоскости ( z = 0) для ВЭГ-мод с разными значениями параметра a . На рис. 1 показаны результаты расчёта. Параметры расчёта следующие: длина волны монохроматического света X = 532 нм, топологический заряд (или номер многочлена Эрмита) n = 3, радиус перетяжки

Гауссова пучка с начальной плоскости w = 10 X , размер области расчёта - 50 X < x , у < +50 X .

На рис. 1 показаны интенсивность (рис. 1 а , б , в ) и фаза (рис. 1 г , д , е ) ВЭГ-моды в начальной плоскости ( z = 0) при разных значениях а :0,5 (рис. 1 а , г ); 1,5 (рис. 1 б , д ); 1 (рис. 1 в , е ). На рис. 2 а показано сечение интенсивности из рис. 1 а при x = 0.

б)

д)

Рис. 1. Интенсивность (а, б, в) и фаза (г, д, е) ВЭГ-мод в начальной плоскости (z = 0) при разных значениях параметра a: а = 0,5 (а, г); а = 1,5 (б, д); а = 1,001 (в, е)

Рис. 2. Сечение интенсивности ВЭГ-моды при a = 0,5 и x = 0 (а), при a = 1,05 и y = 0: целиком (б) и увеличенный фрагмент (в)

Из этого рисунка видно наличие трёх нулей интенсивности. На рис. 2 б показано сечение интенсивности при а =1,05 и у = 0, а на рис. 2 в - увеличенный фрагмент сечения в центре картины (рис. 2 б ) при этих же параметрах. На рис. 2 в также видно наличие трёх нулей, не видимых на рис. 2 б . ОУМ, рассчитанный по формуле (11), для показанных мод был равен: J_z / 1 = -2,4 (рис. 1 а, г ); J z / 1 =-2,77 (рис. 1 б, д ); J z / 1 =-3 (рис. 1 в, е ). Зависимость ОУМ от параметра а показана на рис. 3.

Из рис. 3 видно, что для заданного n ОУМ имеет максимальное значение при а = 1.

• 4.    Изолированные нули интенсивности ВЭГ-моды

Найдём из (13) координаты изолированных нулей интенсивности ВЭГ-моды в начальной плоскости. Приравняем аргумент многочлена Эрмита значению корня этого многочлена уnk, то есть Hn (уnk) = 0. Тогда получим координаты изолированных нулей интенсивности:

x nk

= 0,

y nk =^Y nk

, | а | < 1,

и

Г         ( w ) ГЧ

I xnk = Ynk I -ту I Va -1, a > 1,

• <         VaV2 )

[ Упк = °.

Из (14) видно, что при |а|<1 у ВЭГ-моды n-го порядка (13) есть n изолированных нулей интенсивности, которые лежат на оси y и имеют координаты, пропорциональные корням многочлена Эрмита ynk, но умень- шенным в (1 – a2)–1/2 раз. При этом при а =0, когда ВЭГ-мода совпадает с обычной ЭГ-модой с номером (0, n), нули интенсивности имеют координаты, равные корням γnk, и уже не являются изолированными нулями интенсивности, а принадлежат линиям нулевой интенсивности, параллельным оси x. С ростом параметра a от 0 до 1 изолированные нули (14) смещаются вдоль оси y к центру (x = y = 0), и при a = 1 все нули «сливаются» в один изолированный ноль (n-кратно вырожденный) интенсивности в центре координат. Из (15) следует, что аналогичная динамика только вдоль оси x наблюдается у изолированных нулей ВЭГ-моды при |a| > 1. С ростом a нули интенсивности «удаляются» от центра координат и в пределе при a → ∞ координаты всех нулей совпадают с корнями γnk, а сами нули интенсивности принадлежат линиям нулей, параллельным оси y.

Рис. 3. Зависимость ОУМ от параметра a

С каждым изолированным нулём интенсивности ВЭГ-моды связан оптический вихрь с топологическим зарядом -1 при a >0 или +1 при a <0. Это следует из (6).

При распространении ВЭГ-моды (5) или (13) в аргументе многочлена Эрмита радиус перетяжки Гауссова пучка w нужно заменить на выражение из (2):

221/2

w ( z ) = w ( 1 + z / z 0 ) .

Подставим (16), например, в (14), получим для координат изолированных нулей:

X k = 0,

Укк = Y _nk

- a ² , | a | < 1.

Из (17) следует, что изолированные нули интенсивности (и сама картина интенсивности) ВЭГ-моды меняется при распространении только масштабно: нули интенсивности, оставаясь на оси y , удаляются от начала координат с ростом расстояния z .

Из (14) и (15) следует замечательное свойство изолированных нулей интенсивности: минимальное расстояние между ними не ограничивается дифраки-онным пределом и длиной волны, а может быть любым. При значении параметра a , отличающегося от единицы на бесконечно малую величину 5 << 1, расстояние между крайними изолированными нулями интенсивности для ВЭГ-моды (13) будет меньше величины ^2 n ( n - 1) w 5 . Правда, при распространении в пространстве с ростом z расстояние между нулями будет расти: 2 n ( n - 1) w 5^1 + z ² / z 2 .

• 5.    Ортогональность ВЭГ-мод

Рассмотрим скалярное произведение двух ВЭГ-мод с разными параметрами n, a и m, b . Можно показать, что имеет место равенство:

(Ena , Emb^ = да

= J E n ( X , y , z = 0; a ) E* * ( X , У , z = 0; b ) d x d y = (18)

-да

= n 2 ⁿ ( n ! ) 2

' 1 - ( ab ) ^{n +1} " 1 - ( ab )

nm ^,

где δ nm – символ Кронекера. Из (18) следует, что ВЭГ-моды ортогональны по номеру n и не ортогональны по параметру a . При ab → 1 неопределённость в (18) раскрывается: ( E_na , E * _b ) = n 2 ⁿn !( n +1)! 5 _n * . Интересно заметить, что две ВЭГ-моды с разными номерами n и m будут ортогональны и будут иметь одинаковый ОУМ (но не максимальный) при условии, что параметры a и b удовлетворяют условию:

n m b Y 1 + a a a JI 1 + bb

.

Физически это объясняется тем, что ОУМ лазерного пучка зависит не только от числа изолированных нулей, например, с топологическим зарядом +1, но и от того, какие они имеют координаты [4]. Чем дальше нули интенсивности находятся от центра Гауссова пучка, тем меньше их вклад в ОУМ. Максимальный вклад в ОУМ нули интенсивности дают, когда они все «собираются» в один вырожденный ноль в центре Гауссова пучка.

• 6.    Эксперимент

  Для формирования вихревых ВЭГ-пучков использована оптическая схема, представленная на рис. 4. Для вывода изображений фаз был использован пространственный модулятор света SLM PLUTO-VIS (разрешение 1920 × 1080 пикселов, размер пикселя – 8 мкм). Выходной пучок твердотельного лазера Laser ( X = 532 нм) ослаблялся с помощью фильтров нейтральной плотности F. Система из микрообъектива MO (40×, NA = 0,6), линзы L 1 ( f =350 мм) и пинхола PH (размер отверстия – 40 мкм) была использована для получения однородного Гауссового профиля интенсивности освещающего SLM лазерного пучка. Кроме того, это позволяло произвести расширение пучка, для того чтобы он полностью покрывал дисплей модулятора. Диафрагма D₁ позволяла менять радиус пучка, падающего на дисплей модулятора света. Отражённый от модулятора пучок с помощью делителя пучка BS и прямоугольной призмы RP направлялся на линзу L 2 ( f 3 =350 мм). Данная линза в сочетании с диафрагмой D 2 была использована для высокочастотной оптической фильтрации. Далее с помощью линзы L 3 ( f 2 = 150 мм) строилось изображение на матрице CMOS-камеры MDCE-5A (1/2", разрешение 1280 × 1024 пикселов). Расстояние между диафрагмой D 2 и линзой L 3 было больше фокусного

Рис. 5. Некодированная фаза для формирования ВЭГ-пучка (n = 3) (а) и экспериментально сформированные распределения интенсивности (негативы) на различных расстояниях: 400 мм (б); 550 мм (в). Шаг сетки на изображениях равен 0,3 мм, топологический заряд оптического вихря n = 3

расстояния линзы, равного 150 мм, это позволяло получить сходящий световой пучок, при этом фокус системы получался на расстоянии около 550 мм от плоскости z = 0, сопряжённой с плоскостью дисплея модулятора. Для разделения в пространстве нулевого и первого порядков дифракции было использовано сложение исходной фазовой функции с линейной фазовой маской.

Рис.4. Оптическая схема для формирования световых ВЭГ-пучков: Laser - твердотельный лазер ( X = 532 нм), F - фильтр нейтральной плотности, MO – микрообъектив (40×, NA = 0,6), PH – пинхол (40 мкм), L₁, L₂ – линзы с фокусным расстоянием f₂ = f₃ = 350 мм, L₃ – линза с фокусным расстоянием f₄ = 150 мм, BS – делитель пучка, SLM – пространственный модулятор света PLUTO_VIS, RP – прямоугольная призма, D – диафрагма, CMOS – CMOS-камера MDCE-5A (1280 × 1024), Rail – оптические рельсы

производят распределение интенсивности идеального ВЭГ-пучка (рис. 6 б ).

в)

г)

д)

Рис. 6. Кодированная фаза для формирования ВЭГ-пучка (n = 10) (а), расчётная амплитуда (негатив) (б) и экспериментально сформированные распределения интенсивности (негативы) на различных расстояниях: 100 мм (в); 150 мм (г); 200 мм (д). Шаг сетки на изображениях равен 0,5 мм

Заключение

Изображение фазы, использованной в эксперименте, имело размер 1024 × 1024 пикселов, таким образом, размер выведенного на дисплей модулятора фазового элемента составил примерно 8,2 × 8,2 мм. Диаметр освещающего пучка в ходе экспериментов составил около 3 мм. Данные параметры эксперимента позволили сформировать ВЭГ-пучок, изображения которого на различных расстояниях от SLM показаны на рис. 5. Данные изображения были сформированы с помощью фазового распределения, представленного на рис. 5 а (линейная фаза не показана). Из представленных изображений видно, что сформированный лазерный пучок похож на рассчитанный (рис. 1 а ) и сохраняет свою структуру при распространении в пространстве с точностью до масштаба.

В заключении укажем, что двухпараметрическое ( n, a ) семейство ВЭГ-мод (13) можно обобщить на трёхпараметрическое семейство ( n, a, b ), используя формулу сложения многочленов Эрмита [10, 8.958], [11, с. 254]:

n^ ( ia ) k ( b ) n - k

£ k ! ( n - k ) ! H ⁽ * ) H n - k ⁽ y ) =

= ( n I)^- 1 bb 2 - a 2 ) ^{n /2} H f ia

( )(      )    n I Vb2^a^

С учётом (20), вместо (13) будем иметь:

^E nab ( * , L , z = ⁰ ) = i n exP

*2 + L2)

— Iх w I

x( b2

-

n 2

a ² ) H n

V2 (ia* + by)

w^b ² - a ²

На рис. 6 показана кодированная фаза (n = 10), которая учитывает амплитуду ВЭГ-пучка при z = 0. Поэтому картины интенсивности, зарегистрированные на разных расстояниях от модулятора (рис. 6в, г, д), во-первых, также сохраняют свой вид при распространении, а во-вторых, более точно вос- где a, b – действительные числа. Уравнение (21) описывает комплексную амплитуду обобщённых ВЭГ-пучков, ОУМ которых достигает максимума при a = b. Заметим, что замена a' = a/b сводит пучки (21) к пучкам (13).

В работе получены следующие результаты. Рассмотрены вихревые моды Эрмита–Гаусса (ВЭГ-моды), комплексная амплитуда которых пропорциональна многочлену Эрмита n-й степени, аргумент которого зависит от действительного параметра a. При |a|< 1 на вертикальной оси в поперечном сечении пучка имеется n изолированных нулей, которые порождают оптические вихри с топологическим зарядом +1 (a <0) или –1 (a >0). При |a|> 1 у ВЭГ-моды аналогичные изолированные нули лежат на горизонтальной оси. При |a|= 1 все n изолированных нулей собираются на оптической оси в центре пучка и порождают оптический вихрь n-го порядка и ВЭГ-мода совпадает с модой Лагерра–Гаусса порядка (0, n), а при a =0 ВЭГ-мода совпадает с модой Эрмита– Гаусса порядка (0, n). Рассчитан орбитальный угловой момент (ОУМ) ВЭГ-мод, который зависит от параметра a и меняется от 0 (при a =0 и a → ∞) до n (a = 1). Показано, что две ВЭГ-моды ортогональны, если имеют разные значения номера n, и не ортогональны, если имеют разные значения параметра a и одинаковый номер n. Экспериментально с помощью жидкокристаллического пространственного фазового модулятора света сформированы ВЭК-пучки c топологическим зарядом n =3, 10, которые согласуются с расчётными и сохраняет свою структуру при распространении.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ, а также грантов РФФИ 13-0797008, 14-29-07133.