Лестничные модели и деформационная теория пластичности

В работе* была высказана новая идея построения теории пластичности, основанная на обобщении лестничных моделей среды. Оказалось, что такой псдхс:: приводит к принципиально новому типу определяющих соотношений, содержащих дифференциальные уравнения в частных производных. В данной работе выбран конкретный вариант новой теории и приведен анализ следствий теории.

Согласно работе рассмотрим следующую группу определяющих соотношений при полностью активном нагружении в двуосном случае:

деГ /dt т,

------L                                                                                             / | >  de^dt г_; ’

= CjE[ ; —^ = СуЬ; С} = const,i2)

Т, =T(^) -COS(O(^,/‘) ]

т2 =T©sinGXc,o/ ef (£,0) = 0; T|(x,0 = O|,

£^,0) = 0;'

ос

Ю. И. Кадашевич

Здесь е" , еС - локальные пластические деформации; о,. <т₂- составляющие макроскопического тензора, напряжений; т, ,т₂- составляющие тензора сухого трения: 6) - знак осреднения; ф = х - точка, в которой реализуются равенства (4).

Можно показать, что исходная система соотношений (1) - (5) имеет решение в самом обшем случае где функции ^-(r)w Ь\^ подлежат специальному определению.

При полностью активном нагружении, как уже было указано, существует точка ф - х . в которой г, = ст,, г2 = <т2. Не нарушая общности, можно принять , что ф = х - z. тогда

т(г)

Функция o:(t,t) находится из условий, что r(Z) =' х<у^ ;    cos&>(/,z) - —;==S= .

Легко проверить, что, если to(t,t) = то

ю(§.0 = [g(0 - g^'^) + <р(Ф)1, zo(O.z) = [g«) - g(O)pr(O) + ^(0) J'

Отметим, что если функцию

определяет история нагружения, го функция gU) свободна, она может быть определена из различных условий, например:

• a)                                     g(z) = ^(Z)r(O).i9i

Легко проверить, что эта гипотеза эквивалентна требованию, чтойСОд ) = соил^ , то есть направление течения при ф = 0 и ф = / одинаково.

В этом случае, если о, - интенсивность напряжений, то е" - a. -t(0)-g./а,,

0 “  ~ /ф '

Нетрудно заметить, что это решение тождественно совпадает с решением гю классической деформационной теории пластичности с линейным упрочнением в зоне полностью активного нагружения.

Важной особенностью нового варианта теории является следующий факт. Классическая деформационная геория пластичности имеет: ограниченную область применения. Теория не способна описать поведение материала при нагрхжеюш с промежуточными разгрузками, а также при круговых траекториях нагружения (ст, = const ). Приведенный же вариант теории не имеет ограничений при задании истории нагружения, Например, пр» нагружении по кругу он дает сред устанавливающийся предельный цикл в пространстве пластических деформаций. При треугольных нагружениях с промежуточными разгрузками теория описывает вполне реальное поведение предельных кривых пластического деформирования.

Центральной особенностью новой теории является то обстоятельство, что граничное условие при полностью активном нагружении записывается в виде г1(ц/) = ст1; т2(/,/)-<72, а при промежуточных разгрузках - в форме

О'] -<т₀ = тсо$со-т; сг₂ = rsincy

(при условии, что сг₀ = т есть условие при прямом нагружении в направлении а, ).

Кроме предположения (9) были изучены еще две гипотезы:

• б)                                          g = B

• в)                                g = Л \<р + В(\ - ехр(-а^))].

Эти гипотезы существенно уточняют поведение материала при круговом и треугольном нагружении, лучше отвечают опытным данным.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 01-01 -00229).

Получено 15.02.2001