Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Приведем общий вид линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами а о У(n) + a У(n-1) + ••• + an -1У ‘ + апУ = 0(1)

Для решения уравнения (1) необходимо составить характеристическое уравнение a0 Я( n) + a 2( n-1) + ••• + a„ AX + a„ = 0(2)

Затем найти все его корни ^ ,..., ^ .

Общим решение уравнения (1) будет сумма

n

,Уоо=Z Се"’(3)

= 1

для каждого простого корня X, где C - произвольные постоянные и y = (C  + C x +... + C  xk-1) eX                       (4)

оо       m+1     m+2            m+k в случае кратных корней с кратностью к. [1, с. 49]

В случае вещественных коэффициентов в уравнении (1) для каждых комплексных сопряженных корней X = а ± в в общее решение добавляются следующие слагаемые

C m + 1 в^ах cos вх + C m + 2 e^ax sin в                         (5)

для простых корней и

P_ _t ( x ) e^ax cos ex + Qk- 1 ( x ) e ^ x sin в                        (6)

в случае кратных корней с кратностью к , р /x ) и Q_k ^x ) .

Рассмотрим случаи неоднородных уравнений с различными видами правой части.

Для уравнения с правой частью f (x) = Pm (x) e^x                                   (7)

в котором р (x) = b0 + bxx +... + bmxm  частное решение записывается следующим образом

У чн = xQ ( x ) e                              (8)

Q_m ( x ) - многочлен степени m . Число s = 0, если у = 0 не является корнем характеристического уравнения (2), в противном случае оно ровняется кратности корня у .

В случае вещественных коэффициентов в левой части уравнения (1) для уравнения с правой частью вида f (x) = eax (P (x) cos Px + Q (x) sin px)                      (9)

частное решение ищется в виде

У ч . н = х e " ( D m ( x ) cos в + G m ( x ) sin в )

Рассмотрим решение на следующем примере №1

У"- 2 у ‘- 5 у = e ⁴ x

Составим характеристическое уравнения для (11)

2 ² - 2 2 - 5 = 0

Найдем все корни 2 характеристического уравнения (12)

2 = 1 + V6 2 = 1 - V6

Корни в данном случае вещественные и простые, следовательно, общее решение исходного уравнения (11) будет определяться суммой, указанной в (3), то есть уо о = cve(1+^x + Се ^x(14)

частное решение неоднородного уравнения (11) будем искать в виде

• У . = Ae4 x(15)

воспользуемся методом неопределенных коэффициентов

• У ч . н = Ae 4 x

• У ’ . н = 4 Ae 4 x

уч. н = 16 Ae4 x подставим получившиеся значения в уравнение (11)

16 Ae ⁴ x - 8 Ae ⁴ x - 5 Ae ⁴ x = e ⁴ x

• 3    Ae ⁴ x = e ⁴ x

• 3 A = 1

A =1

найденное значение A подставим в (15) и получим частное решение неоднородного уравнения (11)

^yч . н

_e 4 x

Окончательно получим следующее общее решение уравнения (11), которое является суммой решений общего однородного уравнения и частного неоднородного.

4x yo H = C^(1+* + C2e(1-^)" + e— (19)

Для составления решения, приведенного в качестве примера, линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами мы воспользовались методом решения линейных однородных дифференциальных уравнений, а также методом неопределенных коэффициентом.