Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Приведем общий вид линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами а о У(n) + a У(n-1) + ••• + an -1У' + апУ = 0(1)

Для решения уравнения (1) необходимо составить характеристическое уравнение a0 ^n) + a^n-1) + ••• + a„ ЧЛ + an = 0(2)

Затем найти все его корни ^ ,..., ^ .

Общим решение уравнения (1) будет сумма

n

.Уоо = Z СУ’(3)

= 1

для каждого простого корня X , где C - произвольные постоянные и

У оо = ( C m + 1 + C m + 2 X + ... + C m + k ^ ^) ^

в случае кратных корней с кратностью к. [1, с. 49]

В случае вещественных коэффициентов в уравнении (1) для каждых комплексных сопряженных корней X = а ± p i в общее решение добавляются следующие слагаемые

Cm+1eaa cos вх + Cm+2eax sin вх(5)

для простых корней и

P , (х)еах cos вх + QkAeax sin в(6)

в случае кратных корней с кратностью к , р /х ) и Q_k /х ).

Рассмотрим решение на следующем примере №1

у" + 2 у'- 7 у = 0(7)

Составим характеристическое уравнения для (7)

X + 2X - 7 = 0(8)

Найдем все корни X характеристического уравнения (8)

X =- 1 + V8

X =- 1 - V8

Корни в данном случае вещественные и простые, следовательно, общее решение исходного уравнения (7) будет определяться суммой , указанной в (3), то есть

( - 1 + 78) х         ( - 1 - 78) х

У e        + e

Приведем решение следующего примера №2

у"'-у " + 4 у ‘- 4 у = 0                              (11)

Характеристическое уравнения (11) имеет вид

Л3 - Л2 + 4Л - 4 = 0

Найдем все корни Л этого уравнения

Л(Л + 4) - (Л2 + 4) = 0

(Л2 + 4)(Л -1) = 0

Л + 4 = 0

_Л -1 = 0

Л

Л = 1

Л = 2 i

Л =- 2 i

Л = 1

Начнем с корня Л он является вещественным и простым, следовательно, в решение войдет по формуле (3), корни Д и Д являются комплексными и сопряженными по отношению друг к другу и в решение войдут по формуле (5). Окончательно получим следующее общее решение уравнения (11)

y = Се x + С ₂ cos2 x + С ₃ sin2 x (14)

Методы решения линейных однородных дифференциальных уравнений необходимы для решения линейных неоднородных уравнений, так как их общее решение является суммой решений общего однородного уравнения и частного неоднородного. Некоторые системы, состоящие из n-го числа уравнений можно свести к одному уравнения n-го порядка, что в некоторых случаях также определяет важность линейных уравнений с постоянными коэффициентами.